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【名师A计划】2017高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第六节 幂函数与二次函数习题 理


第六节
[基础达标] 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

幂函数与二次函数

1.若函数 f(x)=ax +bx+c(a<0)满足 f(5)=f(1),则 A.f(4)>f(2) C.f(4)>f(1) B.f(5)>f(2) D.f(0)=f(5)

2

>(

)

1.C 【解析】∵a<0,f(5)=f(1),∴函数 f(x)的对称轴为 x=3,且开口向下,数形结合得

f(4)>f(1).
2. (2015·杭州二中模拟) 已知函数 f(x)=a-x (1≤x≤2)与 g(x)=x+1 的图象上存在关于 x 轴 对称的点,则实数 a 的取值范围是 A. B.[1,2] ( )
2

C.

D.[-1,1]
2 2

2.D 【解析】由题得方程 a-x =-x-1,x∈[1,2]有解,即求函数 a=x -x-1,x∈[1,2]的值域, 易求得 a∈[-1,1]. 3.已知函数 f(x)=x +x+c,若 f(0)>0,f(p)<0,则必有 A.f(p+1)>0 C.f(p+1)=0 B.f(p+1)<0 D.f(p+1)的符号不能确定
2

(

)

3.A 【解析】因为对称轴为 x=- ,由 f(0)>0,可知 f(-1)>0,由 f(p)<0,数形结合可知

f(p+1)>0,即选项 A 正确.
4. (2015·上海静安区期末考试) 已知函数 f(x)=-x +4x,x∈[m,5]的值域是[-5,4],则实数 m 的取值范围是 A.(-∞,-1) B.(-1,2]
2 2

( C.[-1,2] D.[2,5)

)

4.C 【解析】 二次函数 f(x)=-x +4x 的图象是开口向下的抛物线,最大值为 4,且在 x=2 时取 得,而当 x=5 或-1 时,f(x)=-5,结合图象可知 m 的取值范围是[-1,2]. 5. (2015·济宁模拟) 设函数 f(x)=

1

若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为 A.4 B.2 C.1 D.3

(

)

5.D 【解析】由 f(-4)=f(0),可得- =-2,解得 b=4.又由 f(-2)=4-8+c=-2,可求得 c=2,∴

f(x)=

又 f(x)=x,则当 x≤0 时,x2+4x+2=x,解得 x1=-1,x2=-2.当 x>0

时,x=2,综上可知关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为 3. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.若函数 y=mx +x+5 在[-2,+∞)上是增函数,则 m 的取值范围是 6. 【解析】 由题可知①当 m=0 时符合;②
2

.

解得 0<m≤ ,综合得 0≤m≤ .

7. (2015·宿迁三校质检) 已知函数 f(x)= 的解集为

为奇函数,则不等式 f(x)<4

.
数形结合,令 x -3x=4,
2

7.(-∞,4) 【解析】 由题得 b=-1,a=-3,所以 f(x)= 解得 x=4,x=-1(舍),故不等式 f(x)<4 的解集为(-∞,4).

8.设 f(x)=x -ax-a,若关于 x 的不等式 x -ax-a≤-3 的解集不是空集,则 a 的取值范围 是

2

2

.

8.(-∞,-6]∪[2,+∞) 【解析】 由题得存在实数 x,使得 f(x)≤-3 成立,即只需 f(x)min≤-3, 从而有≤-3,解得 a≤-6 或 a≥2.

[高考冲关] 1.(5 分) (2015·湖南师大附中月考) 已知函数 f(x)= 实数 a 的值为 A. B.
0

若 f(f(0))=4a,则 ( )

C.2
2

D.9

1.C 【解析】f(0)=2 +1=2,f(f(0))=f(2)=2 +2a=4+2a,所以 4+2a=4a,解得 a=2.
2

2.(5 分) (2015·湖北黄石二中模拟) 若定义在 R 上的函数 f(x)满足

f(-x)=f(x),f(2-x)=f(x),且当 x∈[0,1]时,其图象是四分之一圆(半径为 1),则函数 H(x)=|xex|-f(x)在区间[-3,1]上的零点个数为
A.5 B.4 C.3 D.2 ( )

2.B 【解析】由 f(-x)=f(x),f(2-x)=f(x)可知函数为偶函数,且 f(2-x)=f(x)=f(-x),得

T=2,H(x)=|xex|-f(x)在区间[-3,1]上的零点个数即为 f(x)图象与 y=ex|x|
图象的交点个数,而 y=ex|x|=

①当 x≥0,g(x)=x·ex 单调递增,且

g(0)=0,g(1)=e>0,其图象与 f(x)有一个交点;②当 x<0
时,g(x)=-x·ex,g'(x)=-(ex+xex)=-ex(x+1).当 x∈(-∞,-1)时,g'(x)>0,当 x∈(-1,0) 时,g'(x)<0,所以当 x=-1 时,g(x)取得极大值且 0<g(-1)=e <1,作出简图图象,易知 g(x)与
-1

f(x)有 3 个交点,因此共有 4 个交点.
3.(5 分) (2015·福建莆田一中模拟) 定义:如果函数 f(x)在[a,b]上存在 x1,x2(a<x1<x2<b)满 足 f'(x1)= ,f'(x2)= ,则称函数 f(x)是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数 ( )

f(x)=x3-x2+a 是[0,a]上的“双中值函数”,则实数 a 的取值范围是
A. B.

C.

D.

3.C 【解析】由定义可知

=a2-a,而 f'(x)=3x2-2x,所以题意转化为方程

3x2-2x=a2-a 在[0,a]上有两解,即方程 3x2-2x-a2+a=0 在(0,a)内有两解,必须满足

解得 <a<1.

3


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