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【金识源】高中数学 2.1.1 平面习题 新人教A版必修2


2.1.1 平面
一、选择题 1.用符号表示“点 A 在直线 l 上,l 在平面 α 外”,正确的是( A.A∈l,l?α C.A? l,l?α B.A∈l,l?α D.A? l,l?α )

解析:选 B 注意点与直线、点与平面之间的关系是元素与集合间的关系,直线与平面 之间的关系是集合与集合间的关系. 2. 下列说法正确的是( A.三点可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面 C.四边形是平面图形 D.两条相交直线可以确定一个平面 解析:选 D A 错误,不共线的三点可以确定一个平面.B 错误,一条直线和直线外一 个点可以确定一个平面.C 错误,四边形不一定是平面图形.D 正确,两条相交直线可以确 定一个平面. 3.空间两两相交的三条直线,可以确定的平面数是( A.1 C.3 B.2 D.1 或 3 ) )

解析:选 D 若三条直线两两相交共有三个交点,则确定 1 个平面;若三条直线两两相 交且交于同一点时,可能确定 3 个平面. 4.下列推断中,错误的是( )

A.A∈l,A∈α ,B∈l,B∈α ? l? α B.A∈α ,A∈β ,B∈α ,B∈β ? α ∩β =AB C.l?α ,A∈l? A?α D.A,B,C∈α ,A,B,C∈β ,且 A,B,C 不共线? α ,β 重合 解析:选 C A 即为直线 l 上有两点在平面内,则直线在平面内;B 即为两平面的公共 点在公共直线上;D 为不共线的三点确定一个平面,故 D 也对. 5.在空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点,如果 EF 与 HG 交于点 M,那么( )

A.M 一定在直线 AC 上 B.M 一定在直线 BD 上 C.M 可能在直线 AC 上,也可能在直线 BD 上 D.M 既不在直线 AC 上,也不在直线 BD 上

解析:选 A 点 M 一定在平面 ABC 与平面 CDA 的交线 AC 上. 二、填空题 6. 线段 AB 在平面 α 内,则直线 AB 与平面 α 的位置关系是________. 解析:因为线段 AB 在平面 α 内,所以 A∈α ,B∈α .由公理 1 知直线 AB? 平面 α . 答案:直线 AB? 平面 α 7.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.

(1)A?α ,a? α ________. (2)α ∩β =a,P?α 且 P?β ________. (3)a?α ,a∩α =A________. (4)α ∩β =a,α ∩γ =c,β ∩γ =b,a∩b∩c=O________. 解析:(1)图 C 符合 A?α ,a? α (2)图 D 符合 α ∩β =a,P?α 且 P?β (3)图 A 符合 a?α ,a∩α =A (4)图 B 符合 α ∩β =a,α ∩γ =c,β ∩γ =b,a∩b∩c=O 答案:(1)C (2)D (3)A (4)B 8.平面 α ∩平面 β =l,点 A,B∈α ,点 C∈平面 β 且 C?l,AB∩l=R,设过点 A,B,

C 三点的平面为平面 γ ,则 β ∩γ =________.
解析:根据题意画出图形,如图所示,因为点 C∈β ,且点 C∈γ ,所 以 C∈β ∩γ .因为点 R∈AB,所以点 R∈γ ,又 R∈β ,所以 R∈β ∩γ , 从而 β ∩γ =CR. 答案:CR 三、解答题 9.求证:如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交,那么这四条直线共面. 解:已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C. 求证:直线 a,b,c 和 l 共面. 证明:如图所示,因为 a∥b,由公理 2 可知直线 a 与 b 确定一个平面,设为 α . 因为 l∩a=A,l∩b=B,所以 A∈a,B∈b,则 A∈α ,B∈α .又因为 A∈l,B∈l,所 以由公理 1 可知 l? α . 因为 b∥c,所以由公理 2 可知直线 b 与 c 确定一个平面 β ,同理可知 l? β . 因为平面 α 和平面 β 都包含着直线 b 与 l,且 l∩b=B,而由公理 2 的推论 2 知:经

过两条相交直线,有且只有一个平面,所以平面 α 与平面 β 重合,所以直线 a,b,c 和 l 共面. 10.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为 D1C1,C1B1 的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF =Q. 求证:(1)D,B,F,E 四点共面; (2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点,则 P,Q,R 三点共线. 证明:如图.(1)连接 B1D1.∵EF 是△D1B1C1 的中位线,∴EF∥B1D1. 在正方体 AC1 中,B1D1∥BD,∴EF∥BD.∴EF、BD 确定一个平面,即 D,

B,F,E 四点共面.
(2)正方体 AC1 中, 设平面 A1ACC1 确定的平面为 α , 又设平面 BDEF 为β . ∵Q∈A1C1,∴Q∈α .又 Q∈EF,∴Q∈β . 则 Q 是 α 与 β 的公共点,同理 P 是 α 与 β 的公共点, ∴α ∩β =PQ. 又 A1C∩β =R,∴R∈A1C. ∴R∈α ,且 R∈β ,则 R∈PQ. 故 P,Q,R 三点共线.



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