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高中数学苏教版选修4-4课件:4.4.3.1 直线的参数方程的应用


阶 段 一

4.4.3 第 1 课时

参数方程的应用 直线的参数方程的应用

阶 段 三

阶 段 二

学 业 分 层 测 评

1.写出直线的参数方程. 2.通过直线的参数方程的应用,感受参数的意义及其作用.

[基础· 初探] 直线的参数方程 直线参数方程的常见形式:过定点 P0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线的参数方程
? ?x= 为? ? ?y=

x0+lcos α



y0+lsin α

(l 为参数). 其中参数 l 的几何意义是有向线段 P0P 的数量,

|l|表示 P0P 的长度.

[思考· 探究] 1.怎样理解参数 l 的几何意义?

【提示】 参数 l 的几何意义是 P0 到直线上任意一点 P(x,y)的有向线段 P0P 的数量.当点 P 在点 P0 的上方或右方时,l 取正值,反之,l 取负值;当点 P 与 P0 重合时,l=0.

2.如何由直线的参数方程求直线的倾斜角?
【提示】
? ?x=x0+tcos θ, 如果直线的参数方程是? ? ?y=y0+tsin θ

(t 为参数)的形式,由方程

直接可得出倾斜角,即方程中的角 则直线的倾斜角为 15° .

? , ?x=1+tcos 15° θ,例如,直线的参数方程为? ? , ?y=1+tsin 15°

? , ?x=1+tsin 15° 如果不是上述形式,例如直线? ? ?y=1+tcos 15°

(t 为参数)的倾斜角就不能直

? , ?x-1=tsin 15° 接判断了.第一种方法:把参数方程改写为? ? , ?y-1=tcos 15°

消去 t,

1 有 y-1=tan 15° (x-1),即 y-1=tan 75° (x-1),故倾斜角为 75° .第二种方法:
? , ?x=1+tcos 75° 把原方程化为参数方程和标准形式,即? ? , ?y=1+tsin 75°

可以看出直线的倾斜角

为 75° .

[质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问1:_____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________ 疑问2:_____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________ 疑问3:_____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________

求直线的参数方程
已知直线 l 过(3,4),且它的倾斜角 θ=120° . (1)写出直线 l 的参数方程; (2)求直线 l 与直线 x-y+1=0 的交点.

【自主解答】

(1)直线 l 的参数方程为 (t 为参数),

? , ?x=3+tcos 120° ? ? ?y=4+tsin 120°

1 ? ?x=3-2t, 即? ?y=4+ 3t 2 ?

(t 为参数).

1 ? ?x=3-2t, (2)把? ?y=4+ 3t 2 ?

代入 x-y+1=0,

1 3 得 3-2t-4- 2 t+1=0,得 t=0. 1 ? ?x=3-2t, 把 t=0 代入? ?y=4+ 3t 2 ?

得两直线的交点为(3,4).

[再练一题] 1.已知两点 A(1,3),B(3,1)和直线 l:y=x,求过点 A、B 的直线的参数方程, 并求它与直线 l 的交点 M 分 AB 的比.
【解】 AP 【导学号:98990032】 设直线 AB 上动点 P(x,y),选取参数 λ=PB,

? ?x=1+3λ, 1+λ ? 则直线 AB 的参数方程为? ? 3+λ y= ? ? 1+λ

(λ 为参数,λ≠-1).①

1+3λ 3+λ AM 把①代入 y=x,得 = ,得 λ=1,所以 M 分 AB 的比:MB=1. 1+λ 1+λ

直线参数方程的应用
? ?x=2+t, 求直线? ? ?y= 3t

(t 为参数)被双曲线 x2-y2=1 截得的弦长.

【思路探究】

先求出直线和双曲线的交点坐标,再用两点间的距离公式,

或者用直线参数方程中参数的几何意义求弦长.

【自主解答】
? ?x=2+t′cos ? ? ?y=t′sin θ

1 令 t= 2 2 t′ ,即 t′ = 2t ,则直线的参数方程为 1 +? 3?

θ,

3 1 (其中 sin θ= 2 ,cos θ=2), θ, 代入双曲线方程,得

? ?x=2+t′cos 将? ? ?y=t′sin θ

t′2-4t′-6=0, 所以弦长=|t1′-t2′|= ?t1′+t2′?2-4t1′t2′= 42+4×6=2 10.

? ?x=x0+at, 方程? ? ?y=y0+bt

中 t 的几何意义为定点 P0(x0,y0)到动点 P(x,y)的有向线段

的数量,有两个原则:其一为 a2+b2=1,其二为 b≥0.这是因为 α 为直线的倾斜角 时,必有 sin2α+cos2α=1 及 sin α≥0.不满足上述原则时,则必须通过换元的方法 进行转化后,才能利用直线参数方程的几何意义解决问题.

[再练一题] 2.(湖南高考)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线
? ?x=at, l2:? ? ?y=2t-1 ? ?x=2s+1, l1:? ? ?y=s

(s 为参数)

和直线

(t 为参数)平行,则常数 a 的值为________.

【解析】

? ?x=2s+1, 由? ? ?y=s

消去参数 s,得 x=2y+1.

? ?x=at, 由? ? ?y=2t-1

消去参数 t,得 2x=ay+a.

2 1 ∵l1∥l2,∴a=2,∴a=4.

【答案】 4

[真题链接赏析] (教材第 57 页习题 4.4 第 6 题)运用 4.4.2 小节中例 3 的结论: π (1)求经过点 P(1,-5),倾斜角是3的直线的参数方程; (2)求(1)中的直线与直线 x-y-2 3=0 的交点到点 P 的距离.

( 江苏高考 ) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为
? ?x=t+1, ? ? ?y=2t

(t 为参数),曲线 C

2 ? ?x=2tan θ, 的参数方程为? ? ?y=2tan θ

(θ 为参数).试求直线 l

和曲线 C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.

【命题意图】

本题考查参数方程与普通方程的互化以及直线与抛物线的位

置关系等基础知识,考查转化、分析问题的能力和运算能力.

【解】 因为直线 l

? ?x=t+1, 的参数方程为? ? ?y=2t

(t 为参数),由 x=t+1,得 t=x

-1,代入 y=2t,得到直线 l 的普通方程为 2x-y-2=0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y2=2x.
? ?y=2?x-1?, 联立方程组? 2 ? ?y =2x, ?1 ? 解得公共点的坐标为(2,2),?2,-1?. ? ?

? , ?x=-2+tcos 50° 1.直线? ? ?y=3-tsin 40°

(t 为参数)的倾斜角 α=________.

【解析】

-sin 40° 根据 tan α= cos 50° =-1,因此倾斜角为 135° .

【答案】 135°

? ?x=-2+5t, 2.曲线? ? ?y=1-2t

(t 为参数)与坐标轴的交点是________.

【解析】

【导学号:98990033】 2 1 当 x=-2+5t=0 时,解得 t=5,可得 y=1-2t=5,

当 y=1-2t=0 时, 1 解得 t=2, 1 可得 x=-2+5t=2, 1 1 ∴曲线与坐标轴的交点坐标为(0,5),(2,0).

1 1 【答案】 (0,5),(2,0)

?x=2t, ? 3.点(-3,0)到直线? (t 为参数)的距离为________. 2 y= 2 t ? ?

?x=2t, ? 【解析】 直线? 化为普通方程为 x-2 2y=0. 2 y= 2 t ? ? |-3-0| ∴点(-3,0)到直线的距离为 2=1. 1+?-2 2?
【答案】 1

1 ? ?x=2-2t, 4.直线? ?y=-1+1t 2 ?

(t 为参数)被圆 x2+y2=4 截得的弦长为________.

【答案】

14


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