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§3 空间向量基本定理


江苏省涟水中学 2013-2014 高二数学教学案

§ 3 空间向量基本定理
教学目的:1.掌握空间向量基本定理及其推论,理解空间任意一个向量可以用不共 面的三个已知向量线性表示,且方法唯一; 2.在简单问题中会选择适当的基底表示任一空间向量. 教学重点:空间向量的基本定理 一、问题情境: 平面向量基本定理: 二、学生活动: 上述结论是否可推广到空

间?是何种形式? 三、数学建构: 1、空间向量基本定理: 证明: (1)存在性 (2)唯一性 注: (1) e1, e2 , e3 也叫空间向量的一组基底,也叫基向量 (2)若 e1, e2 , e3 两两垂直:正交分解

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又若 | e1 |?| e2 |?| e3 |? 1 ? 单位正交基底,常用 i, j , k 表示 (3)空间任一向量都可用不共面的三个向量 e1, e2 , e3 线性表示 2、 推论: 若 O, A, B, C 为不共面的四点, 则对空间任一点 P 存在唯一实数组 x, y, z , 使 OP ? xOA ? yOB ? zOC 注: OA, OB, OC 为基底。

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O C

A 四、数学运用:
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B
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P

例 1、在正方体 OADB- CA D B 中,点 E 是 AB 与 OD 的交点,M 是 OD 与CE 的交 点,试用向量 OA, OB, OC 表示向量OD 和 OM 注:平几知识仍可用 练习: P78 1 2 3 练习: 在空间四边形 OABC 中, 已知 E 是线段 BC 的中点, G 在 AE 上, 且 AG=2GE, 试用向量 OA, OB, OC 表示向量 OG .

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1

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例 2、 (1) a, b, c 是空间一组基底,则下列能作为空间向量的另一组基底的是 A、a ? b, a ? b, a

? ? ?

? ? ? ? ?

(2)从 4 个向量 a, b, c, d 中最多可构成

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B、a ? b, a ? b, b

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C、a ? b, a ? b, c

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组空间向量的基底。

例 3、直三棱柱 ABC ? A ' B ' C ' 中, O 为 B ' C ' 中点,证明: AC ' ∥面 A ' BO 证:法一:连 B ' A 交 BA ' 于点 O ' ,连 OO ' A' C' ? OO ' ∥ AC '
O B'
O'

c b A a C

B

法二:设 AB ? a, AC ? b, AA ' ? c ,则 AC ' ? b ? c ,又? A ' O ?

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???? ? ? ???? ? ???? ? ???? BA ' ? c ? a ,设 AC ' ? xA ' O ? yBA ' ,则 x ? 2, y ? 1 ???? ? ???? ? ???? ? AC ' ? 2 A ' O ? BA ' ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? AC ', A ' O, BA ' 共面,又 AC ' ? 面 A ' OB ? AC ' ∥面 A ' OB ???? ? 注:本题将 AC ' 用面 A ' OB 中向量线性表示(方向不明确时可用)

1 ? ? (a ? b) 2

例 4、在平面六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中, E , F , G 分别是 A ' D ', D ' D, D ' C ' 中 点,请选择恰当的基底,证明: C' D' G EG (1) ∥AC E (2)平面 EFG ∥平面 AB ' C B'
A' F D A B

C

五、课堂小结:

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§ 3 空间向量基本定理作业
? ? ? ? ? ? ? 1、已知 {a, b, c} 是空间向量的一个基底,则可以与向量 p ? a ? b, q ? a ? b 构成基
底的向量是 ①a ②b ③ a ? 2b 2、下列等式中,使 M 与 A, B, C 一定共面的有 ① OM ? OA ? OB ? OC 班级 姓名 学号 得分

?

?

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④ a ? 2c

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? 1 ??? ? 1 ???? 1 ??? OA ? OB ? OC 5 3 2 ???? ???? ???? ? ? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ③ MA ? MB ? MC ? 0 ④ OM ? OA ? OB ? OC ? 0 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3、 a, b, c 是三个不共面的向量, p 是空间任一向量,① p ? xa ;② p ? xa ? yb
② OM ? ③ p ? xa ? yb ? zc .其中表示正确的是 4、已知点 G 是正方形 ABCD 中心,点 P 为正方形 ABCD 所在平面外一点,则

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??? ? ??? ? ??? ?

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???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PG PA ? PB ? PC ? PD = ??? ? ???? ? ???? ? 5、在正方形 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,用 AC, AB ', AD ' 作为基向量, ???? ? 则 AC ' ? 6、已知四边形 ABCD 为矩形, P 点为平面 ABCD 外一点,且 PA ? 面 ABCD, G ???? ??? ? ??? ? ??? ? 为 PCD 重心,若 AG ? xAB ? yAD ? z AP ,则 x ? ,y ? ,z ?
→ 3→ 1→ 1→ 7、对空间任意一点 O,若OP= OA+ OB+ OC,则 A,B,C,P 四点 4 8 8 面,不共面) 8、四棱锥 P ? OABC 的底面为一矩形, PO ? 面 OABC ,设 . (共

? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? OA ? a, OC ? b, OP ? c, E, F 分别是 PC 和 PB 的中点,用 a, b, c 表示 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BF , BE, AE, EF 。

9、已知 {a, b, c} 是空间的一个基底,问向量 a ? b, a ? b, c 是否可以组成向量的一 个基底,并说明理由。

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? ? ? ??

3

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10、 已知 u , v 是两个不共线向量,a ? u ? v, b ? 3u ? 2v, c ? 2u ? 3v , 求证:a, b, c 共面。

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11、证明: P, A, B, C 四点共面 ? 存在 x, y, z 且 x ? y ? z ? 1 使

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? xOA ? yOB ? zOC

12、 A, B, C 三点不共线, O 为平面ABC外一点,满足下列条件的 M 与 A, B, C 是否共面? ① OM ?

? 1 ??? ? 1 ???? 1 ??? OA ? OB ? OC 3 3 3 ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? ② OM ? 2OA ? OB ? OC

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