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江西省南昌市铁路一中2013届高三第四次月考数学(理)试题


江西省南昌市铁路一中 2013 届高三第四次月考数学(理)试题 2013-01-03
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求。 把答案填写在答题卡上 1.如果 A.1

2 ? 1 ? mi ( m ? R , i 表示虚数单位) ,那么 m ? ( 1? i
B.

? 1 C.2

) D.0

2? 0.5 2 若 a ? 2 , b ? log? 3 , c ? log 2 sin ,则( ) 5 A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? a ? b
3.要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? x ? A.向右平移

D. b ? c ? a

? ?

?? ? 的图象( ) ??

? ? ? ? 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向左平移 个单位 ? ? ? ? 4 在等差数列 {an } 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 ak ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 ,则 k ? ( ) A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 5.已知直线 l , m ,平面 ? , ? ,且 l ? ? , m ? ? ,给出四个命题: ①若 ? ∥ ? ,则 l ? m ;②若 l ? m ,则 ? ∥ ? ;③若 ? ? ? ,则 l∥m;④若 l∥m,则 ? ? ? .其中真命题的个数是( )
A.4

? ? ? ? ? 1 3 1 ? 2 ? ? 6 已知 | a |? 2 | b |,| b |? 0 ,且关于 x 的函数 f ( x) ? x ? | a | x ? a ? bx 在 R 上有极值,则 a 与 b 的夹角范围为 3 2
( )

B.3

C.2

D.1

,? ] 3 3 3 6 7 把边长为1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使得平面 ABD ? 平面 CBD ,形成三棱锥 C ? ABD 的正视图与俯
A. ? 0, ? B. ( C. (

? ?? ? 6?

?

,? ]

? 2?
,

]

D. (

?

视图如下图所示,则侧视图的面积为 (



A.

1 2

B 。

2 2

C。

2 4

D。

1 4

8.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足下列三个条件:①对任意的 x ? R 都有 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,②对于任意的

0 ? x1 ? x2 ? 2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,
③ y ? f ( x ? 2) 的图象关于 y 轴对称,则下列结论中,正确的是 A . f (4.5) ? f (6.5) ? f (7) C. f (7) ? f (4.5) ? f (6.5) ( )

B. f (4.5) ? f (7) ? f (6.5) D. f (7) ? f (6.5) ? f (4.5)

9.函数 y ? ln |

1 | 与y ? ? x 2 ? 1 在同一平面直角坐标系内的大致图象为 ( x



10.定义在(— ? ,0) ? (0,+ ? )上的函数 f ( x ) ,如果对于任意给定的等比数列{ an },{ f (an ) )仍是等 比数列,则称 f ( x ) 为“保等比数列函数” .现有定义在(— ? ,0) ? (0,+ ? )上的如下函数:① f ( x ) = x2 : ② f ( x) ? 2x ;③ f ( x) ? | x | ;④ f ( x) ? ln | x | .则其中是“保等比数列函数”的 f ( x ) 的序号为( A.①② B.③④ C.①③ 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11. 某个几何体的三视图如下,单位 : cm则此几何体的体积为____. D.②④ )

12. 已知 f ( x) ? ?

?3e x ?1 , x ? 3 ? 则 f ( f (3)) 的值为 ?log3 ( x 2 ? 6), x ? 3, ?

.

13.

已 知 函 数

f ?x ? ? s i x n c ox s , 且 f ??x ? ? 2 f ?x ? , f ?? x ? 是 f ?x ? 的 导 函 数 , 则 ?


1 ? sin 2 x ? cos2 x ? sin 2 x

14. .底面边长为 1 、侧棱长为 2 的正四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上, E 是侧棱 AA1 的中 1 点, F 是正方形 ABCD 的中心,则直线 EF 被球 O 所截得的线段长为 15.下列结论:
2 ①已知命题 p: ?x ? R, tan x ? 1 ;命题 q: ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0.



则命题“ p ? ?q ”是假命题; ②函数 y ?

1 |x| 的最小值为 且它的图像关于 y 轴对称; 2 2 x ?1

a b ③“ a ? b ”是“ 2 ? 2 ”的充分不必要条件;

④在 ?ABC 中,若 sin A cos B ? sin C ,则 ?ABC 中是直角三角形。
2

⑤若 tan ? ? 2, 则sin 2? ?
0 0

4 ; 5
. (把你认为正确的命题序号填在横线处

其中正确命题的序号为

7

0

3

2

6

2012~2013 年南昌铁一中第四次月考理科 数 学 答 题 卷 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求。 把答案填写在答题卡上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.---------------------------- -----------------; 12.--------------- --------------------------------;

13.--------------------------------------------------;

14.--------------------------- ---------------------;

15.- --------------------------------------------------. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(共 6 题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分)已知集合 A ? {x | (1)当 m ? 3 时,求 A ? (C R B) ;

6 ? 1, x ? R}, B ? {x | x 2 ? 2 x ? m ? 0} x ?1

(2)若 A ? B ? {x | ?1 ? x ? 4}, 求实数 m 的值.

17. (本小题满分 12 分)设 m ? R , a ? (cos x, sin x), b ? (m sin x,2 cos(

?
2

? x)) , f ( x) ? a ? (b ? a) 且

? ?? f ? ? ? ? f ? 0? , ? 3? (Ⅰ)求 m 的值;
(Ⅱ)设 ?ABC 三内角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c 且

a2 ? c2 ? b2 c ,求 f (x) 在 ?0, B ?上的值域 ? 2 2 2 2a ? c a ?b ?c

18. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 命 题 p : 函 数 f ( x) ? x ? ax? 2 在 [?1,1] 内 有 且 仅 有 一 个 零 点 . 命 题 q :
2

1 3 x2 ? 3(a ? 1) x ? 2 ? 0 在区间 [ , ] 内恒成立.若命题“p 且 q” 是假命题,求实数 a 的取值范围. 2 2

19. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA 丄 平 面 A B C D AC 丄 AD , AB 丄 ,

BC , ?BAC =450 , PA=AD =2 , AC =1 .
(Ⅰ)证明 PC 丄 AD ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? D 的正弦值; (Ⅲ)设 E 为棱 PA 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30 ,求 AE 的长
0

P

B A C

D

20. (本小题满分 13 分)数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a 2 ? ⑴ 记 d n ? an?1 ? an ,求证 ?d n ? 是等比数列; ⑵ 求数列 ?an ? 的通项公式; ⑶ 令 bn ? 3n ? 2 ,求数列 ?an ? bn ?的前 n 项和 S n 。

3 3 1 , an ? 2 ? an ?1 ? an ?n ? N *? 。 2 2 2

21. (本小题满分 14 分)函数 数 y ? f (x) 的图像在点 (n,

f ( x) ?

1 x ( x ? 0) ,数列 {an } 和 {bn } 满足: a1 ? , an?1 ? f (an ) ,函 2 1? x

f (n))(n ? N * ) 处的切线在 y 轴上的截距为 bn .

(1)求数列{ an }的通项公式; (2)若数列 {

bn ? b ? ? } 的项中仅 5 ? 2 2 an an a5 a5

最小,求 ? 的取值范围 ;

(3)若函 数 g ( x )

?

x 1? x2 1 ,0 ? x ? 1, 数列 {xn } 满足: x1 ? ,0 ? x n ? 1 ,令函数 h( x) ? [ f ( x) ? g ( x)] ? 2 1? x 2 1? x

且 xn?1 ? h( xn ) 其中 n ? N ? .

( x ? x )2 ( x1 ? x2 )2 ( x2 ? x3 )2 ? ? … ? n?1 n ? 证明: x1 x2 x2 x3 xn xn?1

2 ?1 8 .

2012 年南昌一中、南昌十中第四次联考数学试卷(理) 参考答案 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求。 把答案填 写在答题卡上

解:(Ⅰ) f ( x) ? m sin x cos x ? cos x ? sin x ?
2 2

f ( ? ) ? f ( 0) ? m ? 2 3 3
a 2 ? c 2 ? b 2 2ac cos B c cos B c ? ? ? 2 2 2 2ab cosC b cosC 2a ? c a ?b ?c 即 2a cos B ? c cos B ? b cos C , 又由正弦定理知: 2 sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cosC ? sin?B ? C ? ? sin A
(Ⅱ)由余弦定理知: 即 cos B ?

?

m sin 2 x ? cos 2 x 2

1 ? ,所以 B ? 2 3

当 x ? ? 0,

? ?

??

? ? ? ?? ? 时, 2 x ? 6 ? ? ? 6 , 2 ? , 3? ? ?

??? ? ??? ? ??? ??? ? ? PC ? (0,1, ?2), AD ? (2,0,0) ? PC?AD ? 0 ? PC ? AD
(2) PC ? (0,1, ?2), CD ? (2, ?1,0) ,设平面 PCD 的法向量 n ? ( x, y, z)

??? ?

??? ?

?

? ??? ? ? ?n?PC ? 0 ? y ? 2z ? 0 ? y ? 2z ? ?? ?? 则 ? ? ??? 取 z ? 1 ? n ? (1, 2,1) ? ?2 x ? y ? 0 ? x?z ? n? ? 0 ? CD ???? AD ? (2,0,0) 是平面 PAC 的法向量 ???? ? ???? ? ???? ? AD?n 6 30 cos ? AD, n ?? ???? ? ? ? sin ? AD, n ?? 6 6 AD n
得:二面角 A ? PC ? D 的正弦值为

30 6

显然 1 ? xn ?1 ? xn ? ? x2 ?

1 . 2

…………8 分

xn?1 ? xn ? xn (1 ? xn ) ?

1 ? xn 1 1 1 1 2 ?1 ? ? ? ? ? 2 2 xn ? 1 4 x ? 1 ? 8 ?2 4 2 2 ?2 n xn ? 1

?

( xn?1 ? xn )2 xn?1 ? xn 1 1 2 ?1 1 1 ? ( xn?1 ? xn ) ? ( xn?1 ? xn )( ? )? ( ? ) xn xn?1 xn xn?1 xn xn?1 8 xn xn?1

( xn?1 ? xn )2 ( x1 ? x2 )2 ( x2 ? x3 )2 2 ?1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? …? ? [( ? ) ? ( ? ) ? … ? ( ? )] x1 x2 x2 x3 xn xn?1 8 x1 x2 x2 x3 xn xn?1 ? 2? 1 1 1 ( ? )? 8 x1 xn? 1
?1 ?

? 1 2 1 (? 2 ) 8 xn? 1
1 1 ?2 , ? 0 ? 2 ? xn ?1 xn?1 ?1

………12 分

1 ? ? xn ?1 ? 1, 2

( xn?1 ? xn )2 ( x1 ? x2 )2 ( x2 ? x3 )2 2 ?1 1 2 ?1 ? ? ? …? ? (2 ? )? x1 x2 x2 x3 xn xn?1 8 xn?1 8

…………14 分


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