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高中函数归纳及练习(含答案)


数学函数
1、指数函数 a>1
6

0<a<1
6

5

5

图 象
-4 -2

4

4

3

3

2

2<

br />
1

1

1

1

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

(1)定义域:R 性 质 (2)值域: (0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 2、对数的运算性质:
M N M N MN b log a ? log a ? logaN ;③ logb loga ? loga ? loga a ? N log a ; ① ;② M
N

(4)在 R 上是减函数



log b ? aM

N 1 N log b log b ? log b 1 a a aM loga M M a ? 1;loga ? 0 。 ;⑤ ;⑥

指数函数 y ? a 与对数函数 y ? log a x 互为反函数
x

3、幂函数 掌握 y ? x, y ? x , y ? x , y ?
2 3

1 1 , y ? x 2 的图象(一定出现在第一象限一定不 x

在第四象限) 4、复合函数 (1)单调性规律 如果函数 u=g(x)在区间[m,n]上是单调函数,且函数 y=f(u)在区间[g(m),g(n)] (或 [g(n), g(m)])上也是单调函数, 那么若 u=g(x), y=f(u)增减性相同, 则复合函数 y=f[g(x)] 为增函数;若 u=g(x),y= f(u)增减性不同,则 y=f[g(x)]为减函数. (2)奇偶性规律 若函数 g(x),f(x),f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的,则 u=g(x),y=f(u)都是奇 函数时,y=f[g(x)]是奇函数;u=g(x),y=f(u)都是偶函数,或者一奇一偶时,y= f[g(x)] 是偶函数. 1. (2012 高考安徽文 3) ( log 2 9 ) · ( log 3 4)= (A)

1 4

(B)

1 2

(C)2

(D)4

【答案】D

1 2.(2012 高考新课标文 11)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是 2 (A)(0, 【答案】B 3.(2012 高考山东文 3)函数 f ( x) ? (A) [?2, 0)
(0, 2]
1 ? 4 ? x 2 的定义域为 ln( x ? 1)

2 ) 2

(B)(

2 ,1) 2

(C)(1, 2)

(D)( 2,2)

(B) (?1, 0)

(0, 2]

(C) [?2, 2]

(D) (?1, 2]

【10 湖北】函数 y ?

1 的定义域为( A ) log 0.5 (4 x ? 3)
3 ,∞) 4
C(1,+∞) D. (

A.(

3 ,1) 4

B(

3 ,1)∪(1,+∞) 4


2 例 2: (2010· 天津高考文科· T6) 设 a ? log5 4,b ? ( (log5 3) ,c ? log45 ,则

(A)a<c<b

(B) )b<c<a

(C) )a<b<c

(D) )b<a<c

【命题立意】考查利用对数的性质及对数函数的单调性比较大小。 【思路点拨】根据对数的性质及对数函数 y ? log5 x 的图像,可得 0 ? log5 3 ? log5 4 ? 1,

c ? log4 5 ? 1 。
【规范解答】选 D,由对数函数 y ? log5 x 的图像,可得 0 ? log5 3 ? log5 4 ? 1,

? b ? (log5 3)2 ? log5 4 ,又 c ? log4 5 ? 1,?b ? a ? c 。
6.(2012 高考重庆文 7)已知 a ? log 2 3 ? log 2 3 , b ? log 2 9 ? log 2 3 , c ? log 3 2 则 a,b,c 的大小关系是 (A) a ? b ? c (B) a ? b ? c (C) a ? b ? c 【答案】B (D) a ? b ? c
? 1 2

7.(2012 高考全国文 11)已知 x ? ln ? , y ? log 5 2 , z ? e (A) x ? y ? z 【答案】D 2011 陕西文)6.方程 x ? cos x 在 ? ??, ??? 内 (A)没有根 (C) 有且仅有两个根 (B)有且仅有一个根 (D)有无穷多个根 (B) z ? x ? y

,则 (D) y ? z ? x

(C) z ? y ? x

( )

【分析】数形结合法,构造函数并画出函数的图象,观察直观判断. 【解】选 C

(湖南文) 8. 已知函数 f ( x) ? ex ?1, g ( x) ? ? x2 ? 4 x ? 3, 若有 f (a) ? g (b), 则 b 的取值范 围为 A. [2 ? 2, 2 ? 2] 答案:B 解 析 : 由 题 可 知 f ( x) ? e x ? 1 ? ?1 , g ( x) ? ? x2 ? 4 x ? 3 ? ?( x ? 2)2 ? 1 ? 1 , 若 有 则 f ( a)? g ( b) , g (b) ? (?1,1] ,即 ?b2 ? 4b ? 3 ? ?1 ,解得 2 ? 2 ? b ? 2 ? 2 。 B. (2 ? 2, 2 ? 2) C. [1,3] D. (1,3)

8.(2012 高考全国文 2)函数 y ? (A) y ? x ? 1( x ? 0)
2

x ? 1( x ? ?1) 的反函数为
(B) y ? x ? 1( x ? 1)
2

(C) y ? x ? 1( x ? 0)
2

(D) y ? x ? 1( x ? 1)
2

【答案】B 9.(2012 高考四川文 4)函数 y ? a ? a (a ? 0, a ? 1) 的图象可能是(
x



【答案】C 10.(2012 高考陕西文 2)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A. y ? x ? 1 【答案】D. (x+1)2+sinx 22 (2012 高考新课标文 16) 设函数 f(x)= 的最大值为 M, 最小值为 m, 则 M+m=____ x2+1 【答案】2 B. y ? ? x
2



C. y ?

1 x

D. y ? x | x |

( x ? 1) 2 ? sin x x 2 ? 1 ? 2 x ? sin x 2 x ? sin x ? ?1? 【解析】 f ( x) ? ,令 2 2 x ?1 x ?1 x2 ? 1
g ( x) ? 2 x ? sin x ,则 g ( x) 为奇函数,对于一个奇函数来说,其最大值与最小值之和为 0, x2 ? 1

即 g ( x) max ? g ( x) min ? 0 , 而 f ( x) max ? 1 ? g ( x) max , f ( x) min ? 1 ? g ( x) min , 所 以

f ( x) max ? f ( x) min ? 2 .
7.已知函数 f ( x) ? log 2 x ,正实数 m,n 满足 m ? n ,且 f (m) ? f (n) ,若 f ( x) 在区间 [m2 , n] 上的最大值为 2,则 n ? m ? 8.已知 a ? 关系为 7.
m?



5 ?1 ,函数 f ( x) ? a x ,若实数 m 、 n 满足 f (m) ? f (n) ,则 m 、 n 的大小 2
. 【 解 析 】 由 已 知 得

1 1 1 1 ,0 ? m ? 1, n ? 1,?[m 2 , n] ? [ 2 , n], f ( 2 ) ? log 2 2 ? 2 log 2 n ? 2 f ( n). n n n n

所以 f ( x) 在区间 [m2 , n ] 上的最大值为 f (
5 n?m? . 2 5 答案: . 2

1 1 ) ? 2 f (n).? 2 log2 n ? 2, n ? 1,? n ? 2.m ? . 故 2 n 2

8. 【解析】 a ?

5 ?1 ? (0,1) ,函数 f ( x) ? a x 在 R 上递减。由 f (m) ? f (n) 得:m<n 2

答案:m<n[来源:学科网]

【补充 1】已知向量 a ? ( x2 , x ? 1), b ? (1 ? x, t ), 若函数 f ?x? ? a ? b 在区间 ? ?1,1? 上是增函 数,求 t 的取值范围. 【补充 1】 依定义 f ( x) ? x 2 (1 ? x) ? t ( x ? 1) ? ? x 3 ? x 2 ? tx ? t , 则f ?( x) ? ?3x 2 ? 2x ? t.

? ?

f ?x ? 在区间 ?? 1,1? 上是增函数等价于 f ??x? ? 0 在区间 ?? 1,1? 上恒成立;
2 而 f ??x ? ? 0 在区间 ?? 1,1? 上恒成立又等价于 t ? 3x ? 2 x 在区间 ?? 1,1? 上恒成立;

设 g ?x? ? 3x ? 2 x, x ? ?? 1,1?
2

进而 t ? g ?x ? 在区间 ?? 1,1? 上恒成立等价于 t ? g max ?x ?, x ? ?? 1,1? 考虑到 g ?x? ? 3x ? 2 x, x ? ?? 1,1? 在 ? ? 1, ? 上是减函数,在 ? ,1? 上是增函数,
2

? ?

1? 3?

?1 ? ?3 ?

则 g max ?x ? ? g ?? 1? ? 5 . 于是, t 的取值范围是 t ? 5 .

【补充 2】已知函数 f ?x ? ? ln x , g ? x ? ?

1 2 ax ? bx , a ? 0 . 2

若 b ? 2 ,且 h?x ? ? f ?x ? ? g ?x ? 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; 【答案】 当 b ? 2时, h( x) ? ln x ?

1 2 1 ax2 ? 2 x ? 1 ax ? 2 x ,则 h?( x) ? ? ax ? 2 ? ? . 2 x x

因为函数 h ? x ? 存在单调递减区间,所以 h?( x) ? 0 有解. 由题设可知, h?x ? 的定义域是 ?0,??? , 而 h??x ? ? 0 在 ?0,??? 上有解,就等价于 h??x ? ? 0 在区间 ?0,??? 能成立, 即a ?

1 2 1 2 ? , x ? ?0,???成立, 进而等价于 a ? umin ?x? 成立,其中 u ? x ? ? 2 ? . 2 x x x x
2

1 2 ?1 ? 由 u ? x ? ? 2 ? ? ? ? 1? ? 1 得, u min ?x ? ? ?1 . x ?x ? x
于是, a ? ?1 , 由题设 a ? 0 ,所以 a 的取值范围是 ?? 1,0? ? ?0,??? 【补充 4】若对任意的实数 x , sin x ? 2k cos x ? 2k ? 2 ? 0 恒成立,求 k 的取值范围。
2

【补充 4】解法一:原不等式化为 cos x ? 2k cos x ? 2k ? 1 ? 0
2
2 2 令 t ? cos x ,则 t ? 1 ,即 f (t ) ? t ? 2kt ? 2k ? 1 ? ? t ? k ? ? k ? 2k ? 1 在 t ? ? ?1,1? 上恒 2

大于 0。 ⑴若 k ? ?1 ,要使 f (t ) ? 0 ,即 f (?1) ? 0 , k ? ?

1 ? k 不存在 2

2 ⑵ 若 ?1 ? k ? 1 , 若 使 f (t )? 0, 即 f ( k )? ? k ? 2 k ? 1 ? 0 ?1 ? 2 ? k ? 1 ? 2

?1 ? 2 ? k ? 1
⑶若 k ? 1 ,要使 f (t ) ? 0 ,即 f (1) ? 0 , k ? 1
2

由⑴,⑵,⑶可知,? k ? 1 ? 2 。

解法二: f (t ) ? t ? 2kt ? 2k ? 1 ? 0 ,在 ??1,1? 上恒成立。 ⑴ ? ? k 2 ? 2k ?1 ? 0

?1? 2 ? k ? 1? 2

? ? ? k 2 ? 2k ? 1 ? 0 ? ? f (1) ? 0 ⑵? ?k ? 1? 2 ? f ( ?1) ? 0 ? ? k ? 1或k ? ?1
【补充 5】若函数 y ?

由⑴,⑵可知, k ? 1 ? 2 。

mx2 ? 6mx ? m ? 8 在 R 上恒成立,求 m 的取值范围。
2

【补充 5】分析:该题就转化为被开方数 mx ? 6mx ? m ? 8 ? 0 在 R 上恒成立问题,并且注 意对二次项系数的讨论。 略解:要使 y ? 恒成立。

mx2 ? 6mx ? m ? 8 在 R 上恒成立,即 mx2 ? 6mx ? m ? 8 ? 0 在 R 上

1 m ? 0 时, 8 ? 0 ? m ? 0 成立 2

? ?m ? 0 m ? 0 时, ? ,? 0 ? m ? 1 2 ? ? 36 m ? 4 m ? 8 ? 32 m m ? 1 ? 0 ? ? ? ? ? ?

由 1 , 2 可知, 0 ? m ? 1

【补充 8 】已知函数 f ( x ) 是定义在 ??1,1 ? 上的奇函数,且 f (1) ? 1,若 a, b ???1,1? ,

a ? b ? 0 ,有

f (a ) ? f (b) ?0 a?b

(1)证明 f ( x ) 在 ??1,1? 上的单调性; (2)若 f ( x) ? m2 ? 2am ?1 对所有 a ?? ?1,1? 恒成立,求 m 的取值范围。 【补充 8】分析: 。 (1) 简证:任取 x1, x2 ?? ?1,1? 且 x1 ? x2 ,则 ? x2 ?? ?1,1?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2

?? x1 ? x2 ?? f ( x1) ? f (?x2 ) ? ? 0



f ( x) 是奇函数

?? x1 ? x2 ?? f ( x1) ? f ( x2 ) ? ? 0
(2) 解:

? f ( x) 在 ??1,1? 上单调递增。

f ( x) ? m2 ? 2am ? 1 对所有 x ???1,1? , a ???1,1? 恒成立,即 fmax ? f (1) ? 1 ?m2 ? 2am ? 1 ? 1 ?m2 ? 2am ? 0

m2 ? 2am ? 1 ? fmax ,

1 ? a?? ? ? g (?1) ? 1 ? 2a ? 0 ? 2 ?? 即 g (a) ? ?2am ? m2 ? 0 在 ??1,1? 上恒成立。? ? ? g (1) ? 1 ? 2a ? 0 ?a ? 1 ? ? 2
1 1 ?? ? a ? 。 2 2
(2010 辽宁文数) (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (a ? 1)ln x ? ax2 ? 1. (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 a ? ?2 ,证明:对任意 x1 , x2 ? (0, ??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | x1 ? x2 | . 解:(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+ ? ), f ?( x) ?

a ?1 2ax 2 ? a ? 1 ? 2ax ? . x x

当 a≥0 时, f ?( x ) >0,故 f(x)在(0,+ ? )单调增加; 当 a≤-1 时, f ?( x ) <0, 故 f(x)在(0,+ ? )单调减少; 当-1<a<0 时,令 f ?( x ) =0,解得 x= ?

a ?1 .当 x∈(0, 2a ?

?

a ?1 )时, f ?( x ) >0; 2a

x∈( ?

a ?1 ,+ ? )时, f ?( x ) <0, 故 f(x)在(0, 2a

a ?1 a ?1 )单调增加,在( ? , 2a 2a

+ ? )单调减少. (Ⅱ)不妨假设 x1≥x2.由于 a≤-2,故 f(x)在(0,+ ? )单调减少. 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 等价于

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥4x1-4x2,
即 f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令 g(x)=f(x)+4x,则

g ?( x) ?


a ?1 ? 2ax +4 x

2ax 2 ? 4 x ? a ? 1 . x

于是 g ?( x ) ≤

?4 x 2 ? 4 x ? 1 ?(2 x ? 1) 2 = ≤0. x x

从而 g(x)在(0,+ ? )单调减少,故 g(x1) ≤g(x2), 即

f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2,故对任意 x1,x2∈(0,+ ? ) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 .

22.据调查,安徽某地区有 100 万从事传统农业的农民,人均年收入 3000 元.为了增加农民 的收入,当地政府积极引资建立各种加工企业,对当地的农产品进行深加工,同时吸收当地 部分农民进入加工企业工作. 据估计,如果有 x(x>0)万人进入企业工作,那么剩下从事传 统农业的农民的人均年收入有望提高 2x%, 而进入企业工作的农民人均年收入为 3000a 元 (a >0 为常数). (I)在建立加工企业后,要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立 前的年总收入,求 x 的取值范围; (II)在(I)的条件下,当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作,才能使这 100 万 农民的人均年收入达到最大? 10. 【解】 (I)据题意, (100-x)·3000· (1+2x%)≥100×3000, 即 x2-50x≤0,解得 0≤x≤50. 又 x>0,故 x 的取值范围是(0,50]. (II)设这 100 万农民的人均年收入为 y 元,则

(100 ? x) ? 3000(1 ?
y=

2x ) ? 3000ax 100

100

3 =- [x-25(a+1)]2+3000+475(a+1)2 (0<x≤50). 5 (1)若 0<25(a+1)≤50,即 0<a≤1,则当 x=25(a+1)时,y 取最大值; (2)若 25(a+1)>50,即 a >1,则当 x=50 时,y 取最大值. 答:当 0<a≤1 时,安排 25(a+1)万人进入加工企业工作,当 a>1 时,安排 50 万人进入 企业工作,才能使这 100 万人的人均年收入最大.


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