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2013高考数学导数压轴题


导数压轴题训练一 1(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? a x ? b x ? 3 x 在 x ? ? 1 处取得极值。
3 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求证:对于区间 [ ? 1,1] 上任意两个自变量的值 x1 , x 2 ,都有 | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? 4 ; (Ⅲ)若

过点 A (1, m ) 可作曲线 y ? f ( x ) 的三条切线,求实数 m 的取值范围。 【解析】 (Ⅰ) f ' ( x ) ? 3 ax ? 2 bx ? 3 ,依题意, f ' (1) ? f ' ( ? 1) ? 0 , …………1 分
2

即?

?3a ? 2b ? 3 ? 0 ?3a ? 2b ? 3 ? 0

,解得 a ? 1, b ? 0 ,? f ( x ) ? x ? 3 x
3

…………………3 分

经检验符合。 (Ⅱ)? f ( x ) ? x ? 3 x ,? f ' ( x ) ? 3 x ? 3 ? 3 ( x ? 1)( x ? 1)
3 3

当 ? 1 ? x ? 1 时, f ' ( x ) ? 0 ,故 f ( x ) 在区间 [ ? 1,1] 上为减函数,
f max ( x ) ? f ( ? 1) ? 2 , f min ( x ) ? f (1) ? ? 2

……………………5 分

∵对于区间 [ ? 1,1] 上任意两个自变量的值 x1 , x 2 , 都有 | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? | f max ( x ) ? f min ( x ) |
?| f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? | f max ( x ) ? f min ( x ) | ? | 2 ? ( ? 2 ) |? 4

…………………………7 分

(Ⅲ) f ' ( x ) ? 3 x ? 3 ? 3 ( x ? 1)( x ? 1) ,
2

∵曲线方程为 y ? x ? 3 x ,∴点 A (1, m ) 不在曲线上,
3

设切点为 M(x0,y0),则点 M 的坐标满足 y 0 ? x 0 ? 3 x 0 。
3

因 f ' ( x 0 ) ? 3 ( x 0 ? 1) ,故切线的斜率为 3 ( x 0 ? 1) ?
2

2

x0 ? 3 x0 ? m
3

x0 ? 1



整理得 2 x 0 ? 3 x 0 ? m ? 3 ? 0 。
3 2

∵ 过 点 A(1,m) 可 作 曲 线 的 三 条 切 线 ∴ 关 于 x 0 的 方 程 2 x 0 ? 3 x 0 ? m ? 3 ? 0 有 三 个 实
3 2

根. ……………………9 分 设 g ( x 0 ) ? 2 x 0 ? 3 x 0 ? m ? 3 ,则 g ? ( x 0 ) ? g x 0 ? 6 x 0 ,
3 2
2

2.已知函数 f ( x ) ? ln x ?

a x

, g ( x ) ? f ( x ) ? ax ? 6 ln x ,其中 a ? R .

(Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若 g ( x ) 在其定义域内为增函数,求正实数 a 的取值范围; (Ⅲ)设函数 h ( x ) ? x ? mx ? 4 , 当 a ? 2 时,若 ? x1 ? ( 0 ,1) , ? x 2 ? [1, 2 ] ,总有
2

g ( x1 ) ? h ( x 2 ) 成立,求实数 m 的取值范围.
21、 【解题指导】 (1)第 1 问,一般利用导数来求函数的单调性,注意分类讨论; (2)第 2 问,一般转化为一个恒成立问题解决,最好利用分离参数法解答; (3)第 3 问实际上就是 最值问题,等价于“ g ( x ) 在 ( 0 ,1) 上的最大值不小于 h ( x ) 在 [1, 2 ] 上的最大值”,所以先分 别求出两个函数的最大值即可。 【解析】 (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 ( 0 , ?? ) ,且 f ' ( x ) ?
x?a x
2



--------1分 ----2 分

①当 a ? 0 时, f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上单调递增; ②当 a ? 0 时,由 f ' ( x ) ? 0 ,得 x ? ? a ;由 f ' ( x ) ? 0 ,得 x ? ? a ; 故 f ( x ) 在 ( 0 , ? a ) 上单调递减,在 ( ? a , ?? ) 上单调递增. (Ⅱ) g ( x ) ? ax ?
a x ? 5 ln x , g ( x ) 的定义域为 ( 0 , ?? )

----4 分

g '(x) ? a ?

a x
2

?

5 x

?

ax

2

? 5x ? a x
2

-----5 分

因为 g ( x ) 在其定义域内为增函数,所以 ? x ? ( 0 , ?? ) , g ' ( x ) ? 0
5x x ?1
2

? ax

2

? 5 x ? a ? 0 ? a ( x ? 1) ? 5 x ? a ?
2

? a ?

? 5x ? ? x2 ? 1? ? ? max



5x x ?1
2

?

5 x? 1 x

?

5 2

,当且仅当 x ? 1 时取等号,

所以 a ?

5 2

---8 分
2 x

(Ⅲ)当 a ? 2 时, g ( x ) ? 2 x ?
1 2

? 5 ln x , g ' ( x ) ?

2x ? 5x ? 2
2

x

2

由 g '(x) ? 0 得 x ?
1

或x ? 2
1

当 x ? ( 0 , ) 时, g ' ( x ) ? 0 ;当 x ? ( ,1 ) 时, g ' ( x ) ? 0 .
2 1 2 2

所以在 ( 0 ,1) 上, g ( x ) max ? g ( ) ? ? 3 ? 5 ln 2 而“ ? x1 ? ( 0 ,1) , ? x 2 ? [1, 2 ] ,总有 g ( x1 ) ? h ( x 2 ) 成立”等价于 “ g ( x ) 在 ( 0 ,1) 上的最大值不小于 h ( x ) 在 [1, 2 ] 上的最大值” 而 h ( x ) 在 [1, 2 ] 上的最大值为 max{ h (1), h ( 2 )}
? 1 g ( ) ? h (1) ? 2 ? 所以有 ? ? g ( 1 ) ? h(2) ? 2 ?

----10 分

-------------------------12 分

? m ? 8 ? 5 ln 2 ? ? 3 ? 5 ln 2 ? 5 ? m ? ? ? ? ? ? m ? 8 ? 5 ln 2 1 ? ? 3 ? 5 ln 2 ? 8 ? 2 m ? m ? (11 ? 5 ln 2 ) 2 ?

所以实数 m 的取值范围是 [ 8 ? 5 ln 2 , ? ? ) ----------------------------------13 分

3.已知函数 f ( x ) ? ln ( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 , (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若 f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)证明:
ln 2 3 ? ln 3 4 ? ln 4 5 ?? ln n n ?1 ? n ( n ? 1) 4

(n ? N 且n ? 1 )
*

解析:该题通过求函数 f ( x ) 的单调区间考查用导数研究函数的单调性、对数函数性质、 导数的运用、分类讨论;通过研究不等式 f ( x ) ? 0 恒成立考查单调性在不等式方面的应用; (3) 考查学生利用已知结论转化问题的能力以及增加利用导数研究不等式的意识;该题属于 较难题. 解:(1) f ( x ) ?
'

1 x ?1

? k , ( x ? 1) ,所以,
'

当 k ? 0 时 , f ( x ) ? 0; 当 k ? 0 时 ,由 f ( x ) ? 0 得: x ? 1 ?
'

1 k

, 所以,

当 k ? 0 时 f ( x ) 在 ? 1, ? ? ? 上为增函数;

1? 1 ? ? ? 当 k ? 0 时 f ( x )在 ? 1 ,?1 ? 上为增函数;在 ? 1 ? , ? ? ? 上为减函数; k ? k ? ? ?

[来源:高&考%资(源#网 KS5U.COM]

(2)因为 f ( x ) ? 0 恒成立,所以, ? x ? 1, ln ( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 ? 0,
? ? x ? 1, ln ( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1, 所以,k>0,

4.重庆市西南大学附属中学 2012 届高三第二次月考数学试题解析

【解析】解:(1) 设 g ( x ) ? ∴ g (1 ? ∴ ∴
a ?

ax ? bx ? c
2

x ) ? g ( x ? 1) ? 2 a ( x ? 1) ? 2 c ? ( x ? 1) ? 2
2 2

1 2

, c ? ? 1, 又 1 2 1 2

∵ g (1) ?

? 1 ,则 b ? ?

1 2

g (x) ?

x ?
2

x ?1

··········· ··········· ······· 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ······· 5
( x ? 1)( x ? m ) x ? 0

(2) ∵ 对 ? x ? [1, m ], H ∴
H (x)

'( x ) ?

在[1,m]内单调递减
H ( x 2 ) | ? H (1) ? H ( m ) ? 1 2
3 2m

于是 | H ( x1 ) ?

1 2 1 2

m ? m ln m ?
2

1 2

| H ( x1 ) ? H ( x 2 ) | ? 1 ?

m ? m ln m ?
2

?1?

1 2

m ? ln m ?

3 2m

? 0

········ 分 ······· 8 ·······

记 h(m )

?

1 2

m ? ln m ?

(1 ? m ? e ) ,则

h '( m ) ?

1 2

?

1 m

? 1 2

3 2m
2

?

3

(

1

? 3

1 3

) ?
2

1 3

? 0

2 m

∴ 函数 h ( m ) ? ∴

m ? ln m ? e 2 3 2e

在 (1, e ] 是单调增函数
? 0

2m ?1? ? ( e ? 3)( e ? 1) 2e

h (m ) ? h (e ) ?

∴ 命题成立 ··································· 分 ·································· 12 ·········· ··········· ··········· ··

5.浙江省温州中学 2012 届高三 10 月月考数学(理)试题解析
22.(15 分)设函数 f ( x ) = ln x - p x + 1 (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的极值点; (Ⅱ)若对 任意的 x ? 0 ,恒有 f ( x ) ? 0 ,求 p 的取值范围; (Ⅲ)证明:
ln 2 2
2

?

ln 3 3
2

?? ?

ln n n
2

?

2n ? n ? 1
2

4 ( n ? 1)

( n ? N , n ? 2 ).
1 x 1 ? px x

解: (1)? f ( x ) ? ln x ? p x ? 1,? f ( x )的 定 义 域 为 (0, ? ? ) , f ? ( x ) ?
?x ? 0

? p ?



当 p ? 0 时, f ? x ? ? 0
'

?

f

? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上单调递增,?
1 p

f

? x ? 无极值点;

? 当 p ? 0 时,令 f ? ( x ) ? 0, x ?

? (0 , ? ? ), f ? ( x )、 f ( x ) 随 x 的变化情况如下表:

x

(0,

1 p

)

1 p

(

1 p

,+

)

f '( x )

+ ↗

0 极大值

- ↘

f (x)

? ( n ? 1) ? (

1 2

?

1 3

?

1 3

?

1 4

?? ?

1 n

?

1 n ?1

) ? ( n ? 1) ? (

1 2

?

1 n ?1

)?

2n ? n ? 1
2

2 ( n ? 1)

∴结论成

立.


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