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第29讲 函数与方程思想、数形结合思想 1.考题展望 函数与方程思想是中学数学的基本数学思想,高考试题 中考查函数与方程思想的题目占较大比例,题型涉及选 择题、填空题、解答题,难度有难有易,试题中的大部 分压轴题与函数方程思想有关,作为中学数学的主要思 想,今后将仍然是高考考查的重点内容. 数形结合思想在每年的高考中都有所体现,尤其是某些 选择题、填空题,数形结合非常有效.

从近几年的高考 题来看,数形结合的重点是研究“以形助数”,但“以 数定形”在今后的高考题中将会有所加强,应引起重 视. 2.高考真题 考题1(2012 辽宁)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x) =f(x),f(x)=f(2-x),且当 x∈[0,1]时,f(x) =x3.又函数 g(x)=|xcos(π x)|,则函数 h(x)= 1 3 g(x)-f(x)在[- , ]上的零点个数为( 2 2 A.5 B.6 C.7 D.8 ) 【解析】选 B. 1 3 原题转化为函数 f(x)与 g(x)的图象在[- , ]上 2 2 有几个交点问题. 可知函数 f(x)为偶函数, 故 f(x) =f(2-x)=f(x-2),所以函数 f(x)是周期为 2 3 1 1 的函数.当 x= , ,0,- 时,g(x)=0,当 x 2 2 2 =1 时,g(x)=1,且 g(x)是偶函数,值域为非负, 由此可画出函数 y=g(x)和函数 y=f(x)的图象如 图所示,由图可知两图象有 6 个交点,所以选 B. 【命题立意】本题考查函数的奇偶性、周期性,函 数与零点,函数与导数的综合应用,意在考查考生 分析问题、解决问题的能力及数形结合思想的应 用. 1 考题2 (2012 安 徽 ) 设 函 数 f(x) = ae + x + ae x b(a>0). (1)求 f(x)在[0,+∞)上的最小值; (2)设曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 3 y= x,求 a,b 的值. 2 1 【解析】(1)f′(x)=ae - x ae x 当 f′(x)>0 即 x>-lna 时,f(x)在(-lna,+ ∞)上递增; 当 f′(x)<0 即 x<-lna 时, f(x)在(-∞, -lna) 上递减; ①当 0<a<1 时,-lna>0,f(x)在(0,-lna) 单调递减,在(-lna,+∞)单调递增 从而 f(x)在[0,+∞)内的最小值为 f(-lna)=2 +b ②当 a≥1 时,-lna≤0, f(x)在[0,+∞)单调递增 从而 f(x)在[0,+∞)内的最小值 1 为 f(0)=a+ +b. a 1 3 (2)f′(2)=ae - 2= ae 2 2 1 解得:ae =2 或 ae =- (舍去) 2 2 2 2 1 1 ∴a= 2,代入原函数可得:2+ +b=3,即 b= . e 2 2 2 1 故 a= 2,b= . e 2 【命题立意】本题考查函数、导数的基础知识,运 用导数研究函数性质的基本方法,考查分类讨论思 想,代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问 题和解决问题的能力. 1.函数与方程思想 (1)函数思想指应用函数的概念和性质去分析和解决问 题,具体表现在:通过函数性质解题,应用映射和函 数观点去观察和分析问题,有关不等式或讨论方程解 的个数,求参数的范围等问题通过构造函数运用函数 性质求解. (2)方程思想是指应用变量间相等关系,建立方程(或方 程组)后解答问题,如:将函数与方程间等价转化,通 过

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