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2008年浙江省高中数学竞赛试卷与解析


2008 年浙江省高中数学竞赛试卷 2008.4.13 一、选择题 (本大题满分 36 分,每小题 6 分) 1.已知集合 A ? y y ? x 2 ? 1, x ? R , B ? x x 2 ? x ? 2 ? 0 ,则下列正确的是( A. A B ? ? y y ? 1? , C. A ? B ? ? y ?2 ? y ? 1? B. A B ? ? y y ? 2? D. A ? B ? ? y y ? 2或y ? ?1? ? ? ? ? ) 解: 因为 A ? ? y y ? 1? , B ? ? x x ? 1, 或 x ? ?2? , 所以有 A B ? ? y y ? 1? , 正确答案为 A。 2.当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x ,则下列大小关系正确的是( lg x ) A. f 2 ( x) ? f ( x2 ) ? f ( x) C. f ( x) ? f ( x2 ) ? f 2 ( x) B. f ( x2 ) ? f 2 ( x) ? f ( x) D. f ( x2 ) ? f ( x) ? f 2 ( x) 2 ? x ? x x2 2 解:当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? ? 0 , f (x ) ? ? 0 , f 2 ( x) ? ? ? ? 0。 2 lg x lg x ? lg x ? 又因为 x x2 2 x ? x 2 (2 ? x) x ? ? ? ? 0 。所以 f ( x) ? f ( x2 ) ? f 2 ( x) 。 选 C。 2 lg x lg x 2lg x 2lg x 3.设 f ( x) 在 [0,1] 上有定义,要使函数 f ( x ? a) ? f ( x ? a) 有定义,则 a 的取值范围为 ( ) 1 1 1 1 1 1 A. (??, ? ) ; B. [? , ] ; C. ( , ??) ; D. (??, ? ] ? [ , ??) 2 2 2 2 2 2 解: 函数 f ( x ? a) ? f ( x ? a) 的定义域为 [a,1 ? a] ? [?a,1 ? a] 。 当 a ? 0 时, 应有 a ? 1 ? a , 1 1 ;当 a ? 0 时,应有 ?a ? 1 ? a ,即 a ? ? 。 因此,选 B。 2 2 4 . 已 知 P 为 三 角 形 ABC 内 部 任 一 点 ( 不 包 括 边 界 ), 且 满 足 即a ? ( PB ? PA)(PB ? PA ? 2PC) ? 0 ,则△ABC 一定为( ) A.直角三角形;B. 等边三角形;C. 等腰直角三角形;D. 等腰三角形 解 : 因 为 PB ? PA ? AB, PB ? PA ? 2PC ? CB ? CA , 所 以 已 知 条 件 可 改 写 为 AB ? (CB ? CA) ? 0 。容易得到此三角形为等腰三角形。 因此 选 D。 第 1 页 共 8 页 5.已知 f ? x ? ? x 2 ? ? a 2 ? b 2 ? 1? x ? a 2 ? 2ab ? b 2 是偶函数,则函数图象与 y 轴交点的纵 坐标的最大值是( A. 2 B. 2 ) C. 2 2 D. 4 解:由已知条件可知, a 2 ? b2 ? 1 ? 0 ,函数图象与 y 轴交点的纵坐标为 a 2 ? 2ab ? b2 。 令 a ? cos ? , b ? sin ? ,则 a2 ? 2ab ? b2 ? cos2

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