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等差数列知识点总结和题型分析


等差数列
知识点 1、等差数列的定义: 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示
d ? 0 ? ?an ? 为递增数列; d ? 0 ? ?an ? 为递减数列; d ? 0 ? ?an ? 为常数列。

例 1:判断下列是否为

等差数列 (1) 2, 4,6,8,? ? ? , 2 ? n ? 1? , 2n 知识点 2、 等差中项:
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(2) 1,1, 2,3,? ? ? , n,? ? ?

? ? , a ,? ? ? (3) a, a, a,?

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如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 即: A ?
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a?b 或 2A ? a ? b 2

在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等 差中项. 例 2:若 m 和 2 n 的等差中项是 4 , 2 m 和 n 的等差中项是 5 ,求 m 和 n 的等差中项。 知识点 3、等差数列的判定方法: 定义法:对于数列 ?an ? ,若 an?1 ? an ? d (常数),则数列 ?an ? 是等差数列 等差中项:对于数列 ?an ? ,若 2an?1 ? an ? an?2 ,则数列 ?an ? 是等差数列 知识点 4、 等差数列的通项公式:
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如果等差数列 ?an ? 的首项是 a 1 ,公差是 d ,则等差数列的通项为 an ? a1 ? (n ? 1)d 该公式整理后是关于 n 的一次函数
Ⅱ第二通项公式: an ? am ? ? n ? m? d Ⅲ第三通项公式: an ? pn ? q ,其中 d ? p, a1 ? p ? q 特别说明: 1、有数列的首项,与公差,可写出通项公式; 2、有数列的任意两项,可确定通项公式; 3、有数列的通项公式可以求得数列中的任意一项,也可以判定某数是否为数列的项;
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Ⅰ第一通项公式: an ? a1 ? ? n ? 1? d , a1 为首项, d 为公差

? ?求: 例 3:已知等差数列 ?an ? : 3, 7,11,15,?
? (1) 135, 4m ? 19 m ? N 是 ?an ? 中的项吗?并说明理由。

?

?

及时演练:
? ?是等差数列,判断 52 是否为该数列的项?若是,是第几项? 1、已知数列 ?5, ?3, ?1,1,?

? ?的第 30 项; 2、 (1)写出数列 8,5, 2,?
1

? (2)已知数列 ?an ? ,且 a1 ? ?1, an ?1 ? an ? 3 n ? N ,求数列的第 20 项

?

?

3、已知 ?an ? 为等差数列,分别根据下列条件写出它的通项公式 (1) a3 ? 5, a7 ? 13 ; (2)前三项为 a, 2a ? 1,3 ? a

4、若 ?an ? 为等差数列, a15 ? 8, a60 ? 20 ,则 a75 ? 5、若等差数列的前三项依次为

。 。

1 5 1 , , ,那么这个数列的第 101 项等于 x ? 1 6x x

知识点 5、等差数列的前 n 项和: ⑥ Sn ?
n(a1 ? a n ) 2
S n ? na1 ? n(n ? 1) d 2
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对于公式 2 整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数 知识点 6、等差数列的性质:

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⑦等差数列任意两项间的关系:如果 an 是等差数列的第 n 项, a m 是等差数列的第 m 项,且 m ? n , 公差为 d ,则有 an ? am ? (n ? m)d ⑧ 对于等差数列 ?an ? ,若 n ? m ? p ? q ,则 an ? am ? a p ? aq 也就是: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?? 特别地,若 m ? n ? 2 p ,则 am ? an ? 2a p ⑨若数列 ?an ? 是等差数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N * ,那么 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2 k 成等差数列 如下图所示:
S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k
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10 、 等差数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n ? n ? ? * ? ,则 S2n

? n ? an ? an?1 ? ,且 S偶 ? S奇 ? nd ,
S奇 n (其中 S奇 ? nan , ? S偶 n ? 1

S奇 a ? n S偶 an ?1

* .②若项数为 2n ? 1 n ? ? ,则 S2n?1 ? ? 2n ?1? an ,且 S奇 ? S 偶 ?a n ,

?

?

. S偶 ? ? n ?1? an )

及时演练:
1、等差数列 ?an ? 中,若 a3 ? a9 ? 。

1 ,则 a6 ? 2

;若 a2 ? a3 ? a10 ? a11 ? 48 ,则 a6 ? a7 ? 。 。
2

2、已知等差数列 ?an ? 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1 ,则 a12 ?

3、设 ?an ? 为等差数列,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450 ,则 a2 ? a8 ?

4、设 ?an ? , ?bn ? 都为等差数列,且 a1 ? 26, b1 ? 75, a2 ? b2 ? 100 ,则 a37 ? b37 ? 5、已知数列 ?an ? 是等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? a13 ? a17 ? 117 ,则 a3 ? a15 ? 。



二、题型选析:
题型一、计算求值(等差数列基本概念的应用)
1、.等差数列{an}的前三项依次为 a-6,2a -5, -3a +2,则 a A . -1 A.49 B.1 C .-2 B.50 D. 2 ( D.52 ) D.45 ) ) C.51 2.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则 a101 的值为 等于( )

3.等差数列 1,-1,-3,…,-89 的项数是( A.92 B.47 C.46

4、已知等差数列 {an } 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1, 则a12 的值是( ( A 15 B 30 C 31 )

D 64 )

5. 首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差的取值范围是?( A.d>

8 3

B.d<3

C.

8 ≤d<3 3

8 D. <d≤3 3

6、.在数列 { a n } 中, a1 ? 3 ,且对任意大于 1 的正整数 n ,点 ( an , an?1 ) 在直线 x ? y ? 3 ? 0 上,则

an =_____________.
7、在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则 a4+a5+…+a10= .

题型二、等差数列性质
1、已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则 a5 等于( (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 ) ) )

2、设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 35 ,则 a4 ? (

3、 若等差数列 ?an ?中, a3 ? a7 ? a10 ? 8, a11 ? a4 ? 4, 则 a7 ? __________ . 4、记等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 2 ? 4 , S 4 ? 20 ,则该数列的公差 d=(
A.7 B. 6 C. 3 D. 2 )

1 5、等差数列 {an } 中,已知 a 1 ? , a 2 ? a 5 ? 4 , a n ? 33 ,则 n 为( 3
(A)48 (B)49 (C)50 (D)51

6.、等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100,则 n=( (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7、设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若

) )

a5 5 S ? ,则 9 ? ( a3 9 S5

3

A.1

B.-1

C.2

D.

1 2

8、已知等差数列{an}满足 α1+α2+α3+…+α101=0 则有( ) A.α1+α101>0 B.α2+α100<0 C.α3+α99=0 D.α51=51 9、如果 a1 , a2 ,…, a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ? 0 ,则(

)

(A) a1 a8 ? a4 a5 (B) a8 a1 ? a4 a5 (C) a1 + a8 ? a4 + a5 (D) a1 a8 = a4 a5

等差数列练习
1. (2015 春?武汉校级期中) +1 与 A.1 B.﹣1 C. D.±1 ﹣1 的等差中项是( )

2. (2015 春?双流县校级期中)已知 an+1﹣an﹣3=0,则数列{an}是( A.等差数列 B.等比数列 C.摆动数列 D.既等差数列又等比数列



3. (2014 春?苍南县校级期末)如果三个数 2a,3,a﹣6 成等差,则 a 的值为( A.﹣1 B.1 C.3 D.4 4. (2014 春?沙坪坝区校级期中)若实数 x 为 10 和 90 的等差中项,则 x 的值为( A.30 B.40 C.50 D.60 5. (2014 秋?苍山县期中)已知 x+1 是 5 和 7 的等差中项,则 x 的值为( A.5 B.6 C.8 D.9 6. (2014 秋?闽清县校级月考)x+1 与 y﹣1 的等差中项为 10,则 x+y 等于( A.0 B.10 C.20 D.不确定 7. (2013 春?金牛区校级期中)数列{an}中,a1=﹣1,an+1=an﹣3,则 a8 等于( A.﹣7 B.﹣8 C.﹣22 D.27 )









8. (2013 秋?宁远县校级月考)已知数列{an}的通项公式是 an=2n+5,则此数列是( A.以 7 为首项,公差为 2 的等差数列 B.以 7 为首项,公差为 5 的等差数列 C.以 5 为首项,公差为 2 的等差数列 D.不是等差数列 9. (2013 春?成都校级月考)已知 an=3﹣2n,则数列{an}为( A.首项为 3 的等差数列 B.公差为 3 的等差数列 C.公差为﹣2 的等差数列 D.公差为﹣2n 的等差数列 )



10. (2011?重庆二模)在等差数列{an}中,a2=4,a6=12,则公差 d=( A.1 B.2 C.±2 D.8 11. (2015?漳浦县校级模拟)在等差数列{an}中,a2=5,a6=17,则 a14=( A.45 B.41 C.39 D.37





4

12. (2015?岳阳模拟)已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a3=2a1,则 A. B. C. D. )

的值为(



13. (2015?广东模拟)等差数列{an}中,a2=4,a3+a7=20,则 a8=( A.8 B.12 C.16 D.24

14. (2015?河池一模)等差数列{an}中,若 a2+a8=15﹣a5,则 a5 的值为( A.3 B.4 C.5 D.6



15. (2015?惠州模拟)已知数列{an}为等差数列,且 a1=2,a2+a3=13,则 a4+a5+a6=( A.45 B.43 C.40 D.42 16. (2015?重庆校级二模)在等差数列{an}中,a1=1,a3+a7=﹣14,则 a10=( A.﹣16 B.﹣17 C.﹣18 D.﹣19 17. (2015?怀化一模)已知{an}是等差数列,若 2a7﹣a5﹣3=0,则 a9 的值是( A.9 B.6 C.3 D.1 )





18. (2015 春?金华校级期中)若数列{an}的通项公式是 an=2(n+1)+3,则此数列( A.是公差为 2 的等差数列 B.是公差为 3 的等差数列 C.是公差为 5 的等差数列 D.不是等差数列 19. (2015?重庆)在等差数列{an}中,若 a2=4,a4=2,则 a6=( A.﹣1 B.0 C.1 D.6 )



20. (2015?河池一模)等差数列{an}中,若 a2+a8=15﹣a5,则 a5 等于( A.3 B.4 C.5 D.6



21. (2016?红桥区模拟)在等差数列{an}中,若 a2=5,a10=21,则 a6 等于( A.13 B.15 C.17 D.48



22. (2015?威海模拟)已知等差数列{an}满足 a6+a10=20,则下列选项错误的是( A.S15=150 B.a8=10 C.a16=20 D.a4+a12=20



=题型三、等差数列前

n 项和

1 、 等 差 数 列 ?an ? 中 , 已 知 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a10 ? p , an?9 ? an?8 ? ? ? an ? q , 则 其 前 n 项 和

Sn ?

. ( ) 1 n?3n ? 4 ? 2
1 n?3n ? 7 ? 2
5

2、等差数列 ? 2,1,4,? 的前 n 项和为 1 1 n?3n ? 7 ? A. n?3n ? 4 ? B. C. 2 2

D.

3、已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a99 ? 0 ,则 A. a1 ? a99 ? 0 则n ? B. 。

( D.



a1 ? a99 ? 0

C.

a1 ? a99 ? 0

a50 ? 50 [来源:学科网 ZXXK]

4、在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? 15, an ? an?1 ? an?2 ? 78 , S n ? 155, 5、等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S2 ? 2, S4 ? 10, 则S6等于 ( A.12 B.18 C.24 D.42 )

6、若等差数列共有 2n ? 1 项 n ? N * ,且奇数项的和为 44,偶数项的和为 33, 则项数为 A. 5 ( B. 7 ) C. 9 D. 11

?

?

7、 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? a S 7n 8、 若两个等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别是 Sn,Tn ,已知 n ? ,则 5 等于( b5 Tn n ? 3 2 27 21 A. 7 B. C. D. 8 4 3 8、等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,若 a2 ? 1, a3 ? 3, 则S 4=( )
(A)12 (B)10 (C)8 (D)6 9、设数列 ?a n ?的首项 a 1 ? ?7, 且满足a n ?1 ? a n ? 2 (n ? N) ,则 a 1 ? a 2 ? ? ? a 17 ? ______. 10、已知{an}为等差数列,a3 + a8 = 22,a6 = 7,则 a5 = __________ 11、已知数列的通项 an= -5n+2,则其前 n 项和为 Sn= . 12、设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S4 =14, S10 ? S7 ? 30 ,则 S9 =



.

题型四、等差数列综合题精选
1、等差数列{ an }的前 n 项和记为 Sn.已知 a10 ? 30, a20 ? 50. (Ⅰ)求通项 an ; (Ⅱ)若 Sn=242,求 n.

2、已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 。 (1)求 {an } 的通项 an ; (2)求 {an } 前 n 项和 Sn 的最大值。

3、设 ?a n ?为等差数列, S n 为数列 ?a n ?的前 n 项和,已知 S 7 ? 7 ,

S15 ? 75 , Tn 为数列 ?

?Sn ? ? 的前 n 项和,求 Tn 。 ?n?
6

4、已知 ?an ? 是等差数列, a1 ? 2 , a3 ? 18; ?bn ? 也是等差数列, a 2 ? b2 ? 4 , b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? a1 ? a2 ? a3 。 (1)求数列 ?bn ? 的通项公式及前 n 项和 S n 的公式; (2)数列 ?an ? 与 ?bn ? 是否有相同的项? 若有,在 100 以内有几个相同项?若没有,请说明理由。

5、设等差数列{an}的首项 a1 及公差 d 都为整数,前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)若 a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式.

' 6、已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点

(n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; m 3 ? (Ⅱ)设 b n ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立的最小正整数 m; 20 a n a n ?1

五、等差数列习题精选
1、等差数列 {an } 的前三项依次为 x , 2 x ? 1 , 4 x ? 2 ,则它的第 5 项为( A、 5 x ? 5 B、 2 x ? 1 C、5 D、4 ) D、12 2、设等差数列 {an } 中, a4 ? 5, a9 ? 17 ,则 a14 的值等于( A、11 B、22 C、29 )

3、设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 , 则 a11 ? a12 ? a13 ? ( A. 120 ) B. 105 C. 90 ( )
7

D. 75

4、若等差数列 {an } 的公差 d ? 0 ,则

(A) a2 a6 ? a3 a5 (C) a2 a6 ? a3 a5 A. ? ? 0 (A) 3 A、 p ? q A 、1 9、已知 A. -1 (B) B. ? ? 0 2 (C)

(B) a2 a6 ? a3 a5 (D) a2 a6 与 a3 a5 的大小不确定 ) C. ? ? 0 D. ? ? ?3 ) 2 或?2 D、 pq

5、 已知 ?an ? 满足, 对一切自然数 n 均有 an?1 ? an , 且 an ?n 2 ? ? 则实数 ? 的取值范围是 ( n 恒成立, 6、等差数列 ?an ? 中,a1 ? 1, 公差d ? 0, 若a1 , a2 , a5成等比数列,则 d为 (

?2

(D)

7、在等差数列 ?an ? 中, a p ? q, aq ? p( p ? q) ,则 a p?q ? B、 ? ( p ? q ) B、2 C、0 8、设数列 ?an ? 是单调递增的等差数列,前三项和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是 C、4 D、8 为等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 105, a2 ? a4 ? a6 ? 99 ,则 a20 等于( B. 1 C. 3 D.7 )

10、已知 ?an ? 为等差数列,且 a 7 -2 a 4 =-1, a3 =0,则公差 d=

1 1 C. D.2 2 2 11、在等差数列 ?an ? 中, a2 ? a8 ? 4 ,则 其前 9 项的和 S9 等于 (
A.-2 B.- A.18 A.63 则n ? A. S n ? An2 ? Bn ? C C. 。 ( ) B. D. B 27 B.45 C 36 C.36 D9

) )

12、设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( D.27 13、在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? 15, an ? an?1 ? an?2 ? 78 , S n ? 155, 14、数列 ?an ? 是等差数列,它的前 n 项和可以表示为

S n ? An2 ? Bn

S n ? An2 ? Bn ? C ?a ? 0?

S n ? An2 ? Bn ?a ? 0?

小结
8

1、等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ?

a?b 2

2、为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…,a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d … (公差为 d ) ;偶数个数成等差,可设为…, a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,…(公差为 2 d ) 3、当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且斜率为 公差 d ;若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 ,则为常数 列。 4、当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2a p . 5 、若 {an } 、 {bn } 是等差数列,则 {kan } 、 {kan ? pbn } ( k 、 p 是非零常数 ) 、 {a p?nq }( p, q ? N * ) 、

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,…也成等差数列,而 {a an } 成等比数列;

等差数列参考答案 题型一:计算求值 题号 答案 题号 答案 1 B 8 C 2 D 9 153 3 C 10 15 4 A 11 -(5n2+n)/2 5 D 12 54 6 3n2 13 7 -49 14

题型二、等差数列的性质 1 、C 4 、C 10、A 题型三、等差数列前 n 项和
9

2、 D 5、 C

3、12(a3+a7-a10+a11-a4=8+4=a7=12) 6、B 7、 A 8、C 9、B

1、5n(p+q) 7、45

2、B

3、C

4、n=10

5、24

6、S 奇/S 偶=n/n-1=4/3, n=4 8、D(a5/b5=S9/T9)

题型四:等差数列综合题精选
1、解: (Ⅰ)由 an ? a1 ? (n ? 1)d , a10 ? 30, a20 ? 50, 得方程组

?a1 ? 9d ? 30, ……4 分 解得 a1 ? 12, d ? 2. 所以 an ? 2n ? 10. ? ?a1 ? 19d ? 50. n(n ? 1) d , S n ? 242 得方程 (Ⅱ)由 S n ? na1 ? 2 n(n ? 1) 12 n ? ?2 ? 242 . ……10 分 解得 n ? 11 或n ? ?22(舍去). 2 ?a1 ? d ? 1 2、解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件,得 ? , ?a1 ? 4d ? ?5 解出 a1 ? 3 , d ? ?2 .所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? ?2n ? 5 . n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 . (Ⅱ) S n ? na1 ? 2 所以 n ? 2 时, Sn 取到最大值 4 .
3、解:设等差数列 ?a n ?的公差为 d ,则 Sn ? na1 ? n?n ? 1?d

1 2

∵ ∴ ?

S7 ? 7 , S15 ? 75 ,

?7a1 ? 21d ? 7 , ?15a1 ? 105d ? 75 ,
a1 ? ?2 , d ? 1 。

即 ?

?a1 ? 3d ? 1 , ?a1 ? 7d ? 5 ,

解得 ∵ ∴

Sn?1 Sn 1 ? ? ,∴ n ?1 n 2 1 9 Tn ? n 2 ? n 。 4 4

Sn 1 1 ? a1 ? ?n ? 1?d ? ?2 ? ?n ? 1? , n 2 2 ?S ? 1 数列 ? n ? 是等差数列,其首项为 ? 2 ,公差为 , 2 ?n?



4、解: (1)设{an}的公差为 d1,{bn}的公差为 d2 由 a3=a1+2d1 得 所以 a n ? 2 ? 8(n ? 1) ? 8n ? 6 ,所以 a2=10, a1+a2+a3=30

d1 ?

a3 ? a 1 ?8 2

?b1 ? d 2 ? 6 ?b1 ? 3 ? 依题意,得 ? 解得 ? ,所以 bn=3+3(n-1)=3n 4?3 4b1 ? d 2 ? 30 ?d 2 ? 3 ? 2 ? n(b ? b ) 3 2 3 1 n S ? ? n ? n. n 2 2 2
10

(2)设 an=bm,则 8n-6=3m, 既 n ?

3(m ? 2) ①,要是①式对非零自然数 m、n 成立,只需 8 m+2=8k, k ? N ? ,所以 m=8k-2 , k ? N ? ② ②代入①得,n=3k, k ? N ? ,所以 a3k=b8k-2=24k-6,对一切 k ? N ? 都成立。 所以,数列 ?an ? 与 ?bn ? 有无数个相同的项。 53 , 又 k ? N ? ,所以 k=1,2,3,4.即 100 以内有 4 个相同项。 令 24k-6<100,得 k ? 12

5、解: (Ⅰ)由 S14=98 得 2a1+13d=14, 又 a11=a1+10d=0,故解得 d=-2,a1=20. 因此,{an}的通项公式是 an=22-2n,n=1,2,3…

? S14 ? 77, ? (Ⅱ)由 ?a11 ? 0, ?a ? 6 ? 1

?2a1 ? 13d ? 11, ?2a1 ? 13d ? 11, ? ? 得 ?a1 ? 10d ? 0, 即 ?? 2a1 ? 20d ? 0, ?a ? 6 ?? 2a ? ?12 1 ? 1 ? 11 1 由①+②得-7d<11。即 d>- 。由①+③得 13d≤-1 即 d≤- 7 13 11 1 于是- <d≤- ,又 d∈Z, 故 d=-1,将④代入①②得 10<a1≤12. 7 13
an=12-n 和 an=13-n,n=1,2,3,…

又 a1∈Z,故 a1=11 或 a1=12. 所以,所有可能的数列{an}的通项公式是

6、解: (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x-2,得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x. 又因为点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn =3n2-2n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- ( 3 n ? 1) ? 2(n ? 1) =6n-5.
2

?

?

当 n=1 时,a1=S1=3×1 -2=6×1-5,所以,an=6n-5 ( n ? N )
2

?

1 1 1 3 3 ? ), = = ( a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1 n 1 ? 1 1 1 1 1 1 ? 1 故 Tn= ? bi = ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ). ? )? = (1- 2 ? 6n ? 1 7 7 13 6n ? 5 6n ? 1 ? 2 i ?1 1 1 m 1 m 因此,要使 (1- )< ( n ? N ? )成立的 m,必须且仅须满足 ≤ ,即 m≥10, 2 6n ? 1 20 2 20
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn ? 所以满足要求的最小正整数 m 为 10

题型五、精选练习 题号 答案 题号 答案 1 D 8 B 2 C 9 B 3 B 10 B 4 B 11 A 5 A 12 B 6 B 13 10 7 C 14 B
11

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