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2014年高考数学(理)二轮专题复习知能提升演练:1-6-3直线与圆锥曲线的综合问题 Word版含解析]


第3讲

直线与圆锥曲线的综合问题

一、选择题 x2 y2 1.(2013· 济南 3 月模拟)若双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)与直线 y= 3x 无交点,则 离心率 e 的取值范围是 A.(1,2) C.(1, 5) 解析 B.(1,2] D.(1, 5] ( ).

b 因为双曲线的渐近线为 y

=± ax,要使直线 y= 3x 与双曲线无交点,

b 则直线 y= 3x 应在两渐近线之间,所以有a≤ 3, 即 b≤ 3a,所以 b2≤3a2, ∴c2-a2≤3a2,则 c2≤4a2,故 1<e≤2. 答案 B

2.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交 于 A,B 两点,|AB|=4 3,则 C 的实轴长为 A. 2 C.4 解析 x2 y2 设 C:a2-a2=1.
2

(

).

B.2 2 D.8

x2 y2 ∵抛物线 y =16x 的准线为 x=-4,联立a2-a2=1 和 x=-4 得 A(-4, 16-a2),B(-4,- 16-a2), ∴|AB|=2 16-a2=4 3,∴a=2,∴2a=4. ∴C 的实轴长为 4. 答案 C

x2 y2 3.(2013· 四川高考)从椭圆a2+b2=1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左 焦点 F1,A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是 ( ).

2 A. 4 2 C. 2 解析

1 B.2 3 D. 2 y0 b 由题意可设 P(-c,y0)(c 为半焦距),kOP=- c ,kAB=-a,由于 OP
2

?bc?2 ? ?-c? ? bc? ?a? y0 b bc ? ∥AB, ∴- c =-a, y0= a ,把 P?-c, a ?代入椭圆方程得 a2 + b2 =1, ? ? c 2 ? c? 1 因而?a?2=2,∴e=a= 2 . ? ? 答案 C

4.在抛物线 y=2x2 上有一点 P, 它到 A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小, 则点 P 的坐标是 ( ).

A.(-2,1) C.(2,1) 解析

B.(1,2) D.(-1,2)

显然点 A 在抛物线 y=2x2 内部,

过点 A 作准线 l 的垂线 AH,垂足为 H,交抛物线于 P. 由抛物线定义,|PF|=|PH|, ∴(|PA|+|PF|)min=|PH|+|PA|=|AH|, 将 x=1 代入 y=2x2,得 y=2, ∴点 P 的坐标为(1,2). 答案 B

x2 y2 5.(2013· 潍坊质检)已知双曲线 C1:a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2.若抛物线 C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方 程为 ( ).

8 3 A.x2= 3 y C.x2=8y 解析

16 3 B.x2= 3 y D.x2=16y

x2 y2 ∵双曲线 C1:a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,

a2+b2 c ∴a= a =2,∴b= 3a, ∴双曲线的渐近线方程为 3x± y=0, p? ? ∴ 抛 物 线 C2 : x2 = 2py(p>0) 的 焦 点 ?0,2? 到 双 曲 线 的 渐 近 线 的 距 离 为 ? ? p? ? ? 3×0± 2? ? ? =2,∴p=8. 2 ∴所求的抛物线方程为 x2=16y. 答案 D

二、填空题 x2 y2 6.椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A、B,左、右焦点分别是 F1、F2. 若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为________. 解析 由题意知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,且三者成等比数列,

则|F1F2|2=|AF1|· |F1B|, 1 5 即 4c2=a2-c2,a2=5c2,所以 e2=5,所以 e= 5 . 答案 5 5

7.(2013· 浙江高考)设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过点 P(-1,0)的直线 l 交抛 物线 C 于 A、B 两点,点 Q 为线段 AB 的中点,若|FQ|=2,则直线 l 的斜率 等于________. 解析 设直线 l 的方程为 y=k(x+1),A(x1,y1)、B(x2,y2)、Q(x0,y0).

?y=k?x+1?, 解方程组? 2 ?y =4x. 化简得:k2x2+(2k2-4)x+k2=0, 4-2k2 ∴x1+x2= k2 ,

4 y1+y2=k(x1+x2+2)=k , 2-k2 2 ∴x0= k2 ,y0=k,
2 ?2-2k ? ?2? 由 ?x0-1?2+?y0-0?2=2 得:? 2 ?2+? k?2=4. ? k ? ? ?

∴k=± 1. 答案 ± 1

x2 y2 8.已知椭圆 4 +b2=1(0<b<2)与 y 轴交于 A,B 两点,点 F 为该椭圆的一个焦点, 则△ABF 面积的最大值为________. 解析 不妨设点 F 的坐标为( 4-b2,0),而|AB|=2b,

1 ∴S△ABF=2×2b× 4-b2=b 4-b2= b2?4-b?2 b2+4-b2 ≤ =2(当且仅当 b2=4-b2.即 b2=2 时取等号). 2 故△ABF 面积的最大值为 2. 答案 2

三、解答题 9.(2013· 浙江高考)已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0),焦点为 F(0,1).

(1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 F 作直线交抛物线 C 于 A,B 两点.若直线 AO、BO 分别交直线 l:y =x-2 于 M、N 两点,求|MN|的最小值. 解 p (1)由题意可设抛物线 C 的方程为 x2=2py(p>0),则2=1,所以抛物线 C

的方程为 x2=4y.

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y=kx+1. ?y=kx+1, 由? 2 消去 y,整理得 x2-4kx-4=0, ?x =4y 所以 x1+x2=4k,x1x2=-4. 从而|x1-x2|=4 k2+1. y1 又 y=x x,且 y=x-2,
1

解得点 M 的横坐标 xM=

2x1 2x1 8 = . 2= x x1-y1 1 4-x1 x1- 4

同理点 N 的横坐标 xN= 所以|MN|= 2|xM-xN| 8 ? ? 8 = 2?4-x -4-x ? ? 1 2?

8 . 4-x2

x1-x2 ? ? ? =8 2? x x - 4 ? x + x ? + 16 ? 1 2 1 2 ? 8 2· k2+1 = , |4k-3| t+3 令 4k-3=t,t≠0,则 k= 4 . 当 t>0 时,|MN|=2 2 当 t<0 时,|MN|=2 2 25 6 t2 + t +1>2 2. ?5 3?2 16 8 ? t +5? + ≥ ? ? 25 5 2.

25 4 综上所述,当 t=- 3 ,即 k=-3时, |MN|取到最小值, 8 且|MN|的最小值是5 2.

x2 10.(2013· 北京高考)已知 A,B,C 是椭圆 W: 4 +y2=1 上的三个点,O 是坐标 原点. (1)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积;

(2)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理 由. 解 x2 2 (1)椭圆 W: 4 +y =1 的右顶点 B 的坐标为(2,0).

因为四边形 OABC 为菱形,所以 AC 与 OB 相互垂直平分. 1 所以可设 A(1,m),代入椭圆方程得4+m2=1, 3 即 m=± 2 . 1 1 所以菱形 OABC 的面积是2|OB|· |AC|=2×2×2|m|= 3. (2)假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点,且直线 AC 不过原点,所以可设 AC 的方程为 y= kx+m(k≠0,m≠0),
2 2 ?x +4y =4, ? 由 ?y=kx+m,

消 y 并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 设 A(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2 y1+y2 x1+x2 4km m 2 =-1+4k2, 2 =k· 2 +m=1+4k2. 4km m ? ? 所以 AC 的中点为 M?-1+4k2,1+4k2?. ? ? 1 因为 M 为 AC 和 OB 的交点,所以直线 OB 的斜率为-4k. ? 1? ?-4k?≠-1,所以 AC 与 OB 不垂直. 因为 k· ? ? 所以四边形 OABC 不是菱形,与假设矛盾. 所以当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是菱形. x2 y2 11.(2013· 浙江)如图,点 P(0,-1)是椭圆 C1:a2+b2=1(a>b>0)的一个顶点,C1 的长轴是圆 C2:x2+y2=4 的直径.l1,l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线, 其中 l1 交圆 C2 于 A,B 两点,l2 交椭圆 C1 于另一点 D. (1)求椭圆 C1 的方程;

(2)求当△ABD 的面积取最大值时,直线 l1 的方程.



?b=1, (1)由题意得? ?a=2.

x2 2 所以椭圆 C 的方程为 4 +y =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0). 由题意知直线 l1 的斜率存在,不妨设其为 k, 则直线 l1 的方程为 y=kx-1. 又圆 C2:x2+y2=4, 故点 O 到直线 l1 的距离 d= 1 , k +1
2 2

所以|AB|=2 4-d =2

4k2+3 . k2+1

又 l2⊥l1,故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0. ?x+ky+k=0, 由? 2 2 ?x +4y =4. 消去 y,整理得(4+k2)x2+8kx=0, 8k 故 x0=- . 4+k2 所以|PD|= 8 k2+1 . 4+k2

1 设△ABD 的面积为 S,则 S=2· |AB|· |PD| 8 4k2+3 = , 4+k2

所以 S=

13 ≤ 2 4k +3+ 2 4k2+3

32

32 4k2+3· 13 4k2+3

16 13 = 13 , 10 当且仅当 k=± 2 时取等号. 10 所以所求直线 l1 的方程为 y=± 2 x-1.


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