当前位置:首页 >> 数学 >>

江苏省南京师大附中2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题


南京师大附中 2014-2015 学年高一年级第一学期期中考试数学试卷
姓名 班级 命题人:高一备课组 学号____________ 审阅人:刘明

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分,把答案填在答题卡的相应位置.) 1. 设全集 U ? {0,1, 2,3, 4} , A ? {0,1, 2,3} , B ? {2,3,

4} ,则 ( 【答案】 {0,1, 4} . 【解析】直接利用集合的运算求解. 2. 函数 y ? log 2 (3 x ? 2) 的定义域为
2 【答案】 ( , ??) . 3
U

A)

(

U

B) ?

.

.

【解析】真数大于 0,解不等式即可. 3. 如图,设实数 a, b, c, d ? 0 ,且不等于 1,曲线①,②,③,④分别表 示函数 y ? a x , y ? b x , y ? logc x, y ? log d x 在同一坐标系中的图像,则
a, b, c, d 的大小顺序为

.

【答案】 b ? a ? c ? d . 【解析】两个指数函数的底数都在 0,1 之间,根据 x ? 1 时判断出 b ? a ;而两个对数函数的底数都大于 1, 根据 y ? 1 时判断出 c ? d ,所以 b ? a ? c ? d . 4. 某高级中学高一特长班有 100 名学生,其中学绘画的学生有 67 人,学音乐的学生有 45 人,而学体育 的学生既不能学绘画,也不能学音乐,人数是 21 人,那么同时学绘画和音乐的学生有 人. 【答案】33. 【解析】根据韦恩图可得同时学绘画和音乐的人数为 67+45+21-100=33. 5. 已知幂函数 y ? x 的图像过点 (8, 4) ,则这个函数的解析式是 【答案】 y ? x 3 . 【解析】带入得 4 ? 8 ,即 22 ? 23 ,所以
? 2 . 3
2

.

?n ? 3( n ? 10) 6. 已知函数 f (n) ? ? ,其中 n ? N ,则 f (8) 等于 ? f [ f (n ? 5)](n ? 10)

.

【答案】7. 【解析】 f (8) ? f [ f (13)] ? f (10) ? 7 .

7. 设 lg 2 ? a , lg3 ? b ,则 log5 12 ? 【答案】
2a ? b . 1? a

(结果用 a , b 表示).

【解析】 log5 12 ?

lg12 2lg 2 ? lg3 2a ? b . ? ? lg5 1 ? lg 2 1? a

8. 函数 y ? lg( x 2 ? 2 x) 的单调递增区间是 【答案】 (2, ??) . 【解析】先注意定义域,真数大于 0,解得 x ? (??,0) 层函数也是单调增,所以单调递增区间为 (2, ??) . 9.

.

(2, ??) ,因为外层的对数函数单调增,所以需要内

f ( x) 是定义在 (0, ??) 上单调增函数,若 f ( x) ? f (2 ? x) ,则 x 的取值范围是

.

【答案】 (1,2) . 【解析】结合定义域和单调增可得 0 ? 2 ? x ? x ,解得 1 ? x ? 2 .

10. (log 4 3 ? log8 3)(log3 2 ? log9 2) ? log 1 4 32 ?
2

.

【答案】0.
5 1 1 1 5 【解析】原式 ? (log 22 3 ? log 23 3)(log3 2 ? log 32 2) ? log 2?1 2 4 ? ( log 2 3 ? log 2 3)(log 3 2 ? log 3 2) ? log 2 2 2 3 2 4

5 3 5 ? log 2 3 ? log 3 2 ? ? 0 . 6 2 4

11. 函数 f ( x) ? x log 2 x ? 3 的零点所在区间为 (k , k ? 1)(k ? Z) ,则 k 的值是 【答案】2.

.

【解析】可以证明当 0 ? x ? 1 时 f ( x) 恒小于 0,而当 x ? 1 时 f ( x) 单调增.且 f (2) ? 2 log 2 2 ? 3 ? ?1 ? 0 ,
f (3) ? 3log 2 3 ? 3 ? 3(log 2 3 ? 1) ? 0 ,所以可以得到 k ? 2 .

12. 已知函数 f ( x) ? mx 2 ? mx ? 1 的定义域是一切实数,则实数 m 的取值范围是 【答案】 [0, 4] .

.

【解析】根号中的东西恒大于等于 0.当 m ? 0 时,根号内的东西恒等于 1,满足条件;而当 m ? 0 时,根号

?m ? 0 ? 内为二次函数,要恒大于等于 0,所以开口向上且最小值大于等于 0,所以 ? 4m ? m2 ,解得 0 ? m ? 4 . ?0 ? ? 4m
综上, m ? [0, 4] .

13. 若函数 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 4 的定义域为 [0, m] ,值域为 [?
3 【答案】 [ ,3] . 2

25 , ?4] ,则实数 m 的取值范围为 4

.

3 25 3 3 【解析】函数 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 4 的最小值为 f ( ) ? ? ,所以一定有 ? [0, m] ,所以 m ? .且最大值是 2 4 2 2

?4 ,因为 f (0) ? f (3) ? ?4 ,所以 m ? 3 .综上,

3 ? m ? 3. 2

14. 已知 f ( x) 是 R 上的奇函数,满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 2 x ? 2 , 则 f (log 1 6) ?
2

.

【答案】

1 . 2

【解析】因为 log 1 6 ? ? log 2 6 ? ? log 2 3 ?1 ,根据周期性和奇函数得 f (log 1 6) ? f (? log 2 3 ? 1) ? ? f (log 2 3 ? 1)
2 2

? ? f (log 2 3 ? 1 ? 2) ? ? f (log 2 3 ? 1) ,又因为 0 ? log 2 3 ? 1 ? 1 ,所以原式 ? ? f (log 2 3 ? 1) ? ?(2log2 3?1 ? 2) ?

1 . 2

二、解答题(本大题共 6 小题,共计 58 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的 指定区域内.) 15. (本小题 8 分) 集合 A ? {x | 3 ? x ? 10} , B ? {x | 2 ? x ? 7} , C ? {x | x ? a} . ⑴求A
B;
B;

⑵ 求 ( R A)

⑶ 若 A C ? ? ,求实数 a 的取值范围. 【答案】⑴ (2,10) ;⑵ (2,3) ;⑶ (3, ??) . 【解析】⑴ 由题可知 A ? [3,10) , B ? (2,7) , A ⑵ 先算
R

B ? (2,10) ;
R

A ? (??,3) [10, ??) ,所以 (

A)

B ? (2,3) ;

⑶ 因为 C ? (??, a) 且 A C ? ? ,所以 a ? 3 ,即 a ? (3, ??) . 16. (本小题 8 分) 函数 y ? a 2 x ? 2a x ? 1 ( a ? 0 且 a ? 1 )在区间 [?1,1] 上的最大值为 14,求 a 的值.
1 【答案】 a ? 3 或 . 3 1 【解析】令 a x ? t .若 0 ? a ? 1 ,因为 x ? [?1,1] ,所以 t ? [a, ] ,函数变为 y ? t 2 ? 2t ? 1 ,对称轴为 t ? ?1 , a

1 1 1 1 1 且开口向上,所以最大值为 ( ) 2 ? 2( ) ? 1 ,所以得到方程 ( )2 ? 2( ) ? 1 ? 14 ,结合 a ? 0 解得 ? 3 ,所以 a a a a a a? 1 1 ;若 a ? 1 ,方法和前面一样可得 a ? 3 .综上, a ? 3 或 . 3 3

17. (本小题 10 分) 已知 a 为实数,当 a 分别为何值时,关于 x 的方程 | x 2 ? 6 x ? 8 | ?a ? 0 有两个、三个、四个互不相等的实 数根? 【答案】 a ?{0} (1, ??) 时两个; a ? 1 时三个; 0 ? a ? 1 时四个. 【解析】转化成函数 y ?| x 2 ? 6 x ? 8 | 和函数 y ? a 有交点的问题,画 图,即可得到:

a ? 0 时,没有交点; a ? 0 时,有两个交点; 0 ? a ? 1 时,有四个交点; a ? 1 时,有三个交点; a ? 1 时,有两个交点.
18. (本小题 10 分) 某校学生研究性学习小组发现:学生上课的注意力指标随着听课时间变化而变化.老师讲课开始时学生 的兴趣激增,接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间,随后学生的注意力开始分散.该小组发 现注意力指标 f (t ) 与上课时刻 t 分钟末的关系如下( t ? (0, 40] ,设开始上课时, t ? 0 ) :
t ? 10 ?100a ? 60(0 ? t ? 10) ? f (t ) ? ?340(10 ? t ? 20) (a ? 0 且 a ? 1) . ??15t ? 640(20 ? t ? 40) ? ?

若上课后第 5 分钟末时的注意力指标为 140. ⑴ 求 a 的值; ⑵ 上课后第 5 分钟末和下课前 5 分钟末比较,哪个时刻注意力更集中; ⑶ 在一节课中,学生的注意力指标至少达到 140 的时间能保持多长. 【答案】⑴ a ? 4 ;⑵ 上课后第五分钟末的注意力更集中;⑶
1

85 分钟. 3

【解析】⑴ 由题得 f (5) ? 140 ,所以 100a 2 ? 60 ? 140 ,解得 a ? 4 ; ⑵ 因为 f (5) ? 140 ,而 f (35) ? ?15 ? 35 ? 640 ? 115 ? 140 ,所以上课后第五分钟末的注意力更集 中; ⑶ f (t ) 在 0 ? t ? 10 时单调增,在 10 ? t ? 20 时不变,在 20 ? t ? 40 时单调减. 且 f (t ) ? 140 在 (0,10] 上解为 t ? 5 ,在 (10, 20] 上无解,在 (20, 40] 上解为 t ?
100 . 3

所以,在 [5,

85 100 ] 时学生注意力达到要求,所以能保持 分钟. 3 3

19. (本小题 10 分)
1 已知函数 f ( x) ? 2ax ? (a ? R) . x

⑴ 当0 ? a ?

1 时,试判断 f ( x) 在 (0,1] 上的单调性并用定义证明你的结论; 2

⑵ 对于任意的 x ? (0,1] ,使得 f ( x) ? 6 恒成立,求实数 a 的取值范围.
9 【答案】⑴ 略;⑵ [ , ??) . 2

【解析】⑴ 任取 0 ? x1 ? x2 ? 1 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2ax1 ? 所以 0 ? 2a ? 1 ,又因为 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,所以 所以 f ( x) 在 (0,1] 上单调递减; ⑵ 因为 x ? 0 ,所以 2ax ?

1 1 1 1 ? 2ax2 ? ? ( x1 ? x2 )(2a ? ) ,因为 0 ? a ? , 2 x1 x2 x1 x2

1 1 ? 1 ,所以 2a ? ? 0 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , x1 x2 x1 x2

1 ? 6 等价于 2ax2 ? 6 x ? 1 ? 0 ,就是函数 g ( x) ? 2ax 2 ? 6 x ? 1 在恒有 x

g ( x) ? 0 ,下面讨论:
当 a ? 0 时, g ( x) ? ?6 x ? 1 不满足条件,舍去;
? g (0) ? 0 5 当 a ? 0 时,需满足 ? ,解得 a ? ,与 a ? 0 矛盾,舍去; 2 ? g (1) ? 0

当 a ? 0 时,对称轴
a?

3 3 3 3 3 ? 0 ,若 0 ? ? 1 ,即 a ? ,最小值为 g ( ) 满足 g ( ) ? 0 ,解得 2a 2a 2a 2a 2

3 3 3 9 5 ? 1 ,即 0 ? a ? ,最小值为 g (1) 满足 g (1) ? 0 ,解得 a ? ;与 0 ? a ? 矛盾,舍 ;若 2a 2 2 2 2

去;
9 综上, a ? [ , ??) . 2

20. (本小题 10 分) 已知函数 f ( x) ? lg
1? x . 1? x

⑴ 判断函数 f ( x) 的奇偶性; ⑵ 若 f ( x) ? 1 ,求实数 x 的取值范围; ⑶ 关于 x 的方程 10 f ( x ) ? ax 有实数解,求实数 a 的取值范围. 【答案】⑴ 奇函数;⑵ x ? [?
9 ,1] ;⑶ a ? (??, ?3 ? 2 2] (0, ??) . 11

【解析】⑴ 先算定义域

1? x ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 1 ,关于 0 对称, 1? x 1? x 1? x 1? x 1? x ? lg ? lg( ? ) ? 0 ,所以该函数是奇函数; 1? x 1? x 1? x 1? x

f ( x) ? f (? x) ? lg

⑵ 因为 lg
?

1? x 1? x 9 ? 1 ,所以 ? 10 且 ?1 ? x ? 1 ,所以 1 ? x ? 10 ? 10x ,解得 x ? ? ,所以 1? x 1? x 11

9 9 ? x ? 1 ,即 a ? [ ? ,1) ; 11 11
lg 1? x 1? x

⑶ 方程为 10

? ax ,变形得

1? x ? ax ,且 ?1 ? x ? 1 ,直接去分母得 1 ? x ? ax(1 ? x) ,化简得 1? x

ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 ,题目变为 ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 在 (?1,1) 有解,令 g ( x) ? ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ,

当 a ? 0 时,方程变为 x ? 1 ? 0 ,解为 x ? 1 ,不满足条件,舍去; 当 a ? 0 时, g (?1) ? a ? a ? 1 ? 1 ? ?2 ? 0 ,且 g (1) ? a ? a ? 1 ? 1 ? 2a ? 0 ,根据区间根定理得函数
g ( x) ? ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 在 (?1,1) 上有零点,所以方程 ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 在 (?1,1) 上有解;

当 a ? 0 时, g (?1) ? ?2 ? 0 , g (1) ? 2a ? 0 ,所以需要 g ( x) 是如右图
a ?1 ? ?1 ? ?1 ? ? 所示的二次函数,所以满足的条件是 ? ,因为 a ? 0 , 2a ? ? ? 0 ?

1 ? ?2a ? a ? 1 ? ?2a ?a ? ? 3 变形得 ? ,解得 ? 2 ?(a ? 1) ? 4 ? 0 ?a ? (??, ?3 ? 2 2) ?
所以 a ? (??, ?3 ? 2 2) ; 综上, a ? (??, ?3 ? 2 2) [0, ??) .



( ?3 ? 2 2, ??)


相关文章:
江苏省南京师大附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷
(x) =ax 有实数解,求实数 a 的取值范围. 2014-2015 学年江苏省南京师大附中高一(上)期中数学 试卷参考答案与试题解析 一、填空题: (本大题共 14 小题;...
南京师大附中2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题
南京师大附中 2014-2015 学年高一年级第一学期期中考试数学试卷姓名___ 命题人:高一备课组 班级___ 学号___ 审阅人:刘明 一、填空题: (本大题共 14 小...
江苏省南京师大附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析
(x) =ax 有实数解,求实数 a 的取值范围. 2014-2015 学年江苏省南京师大附中高一(上)期中数学 试卷参考答案与试题解析 一、填空题: (本大题共 14 小题;...
江苏省南京师大附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析(数理化网)
(x) =ax 有实数解,求实数 a 的取值范围. 2014-2015 学年江苏省南京师大附中高一(上)期中数学 试卷参考答案与试题解析 一、填空题: (本大题共 14 小题;...
江苏省南京师大附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷
(x) =ax 有实数解,求实数 a 的取值范围. 2014-2015 学年江苏省南京师大附中高一(上)期中数学 试卷参考答案与试题解析 一、填空题: (本大题共 14 小题;...
江苏省南京师大附中2013-2014学年高一上学期期中考试(数学)扫描版
江苏省南京师大附中2013-2014学年高一上学期期中考试(数学)扫描版_数学_高中教育_教育专区。第1页 共8页 第2页 共8页 第3页 共8页 第4页 共8页 南京师大...
江苏省南京市鼓楼区2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案
江苏省南京市鼓楼区2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案_数学_初中教育_教育专区。高一(上)期中试题 数学 注意事项: 1.本试卷共 4 页,包括...
江苏省南京师范大学附属中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题 Word版无答案
江苏省南京师范大学附属中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题 Word版无答案_数学_高中教育_教育专区。初中数学南京师大附中 2016-2017 学年度第 1 学期 ...
陕西师范大学附属中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题
陕西师范大学附属中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题_数学_高中教育_...江苏省扬州大学附属中学... 6页 2下载券 数学-南京师大附中2014-... 4页...
更多相关标签:
三年级上学期期中试卷 | 初一上学期期中试卷 | 五年级上学期期中试卷 | 高二上学期期中家长会 | 二年级上学期期中试卷 | 初三上学期期中家长会 | 高三上学期期中家长会 | 初二上学期期中家长会 |