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数列(答案)


2014 一模(文)数列
(静安) 12. 已知等差数列 ?an ? (n? N *) 的公差为 3, 从 ?an ? 中取出部分项 (不改变顺序) a1 , a4 , a10 ,? 组成等比数列,则该等比数列的公比为
2

2

解: a4 2 ? a1a10 ? ? a1 ? 9 ? ? a1 ? a1 ? 27 ?

? a1 ? 9 ? q ?

a4 18 ? ?2 a1 9

(静安)22(本题满分 16 分)第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 设无穷数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和为 S n ( n ? N * ) ,且点 (S n?1 , S n )(n ? N * , n ? 2) 在直线 . (2t ? 3) x ? 3ty ? 3t ? 0 上( t 为与 n 无关的正实数) (1)求证:数列 {an } ( n ? N * )为等比数列; ( 2 ) 记 数 列 {an } 的 公 比 为 f (t ) , 数 列 {bn } 满 足 b1 ? 1, bn ? f ? ?b ? ?(n ? N , n ? 2) , 设 ? n?1 ?
*

? 1 ?

cn ? b2n?1b2n ? b2n b2n?1 ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ;
(3)若(2)中数列 {cn } 的前 n 项和 Tn 当 n ? N * 时,不等式 Tn ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围. 证明(1)由已知,有 3tS n ? (2t ? 3)S n?1 ? 3t (n ? N * , n ? 2) , 当 n ? 2 时, 3t (1 ? a 2 ) ? (2t ? 3) ? 1 ? 3t ? a 2 ? 当 n ? 2 时,有 3tS n?1 ? (2t ? 3)S n ? 3t , 两式相减,得 3tan?1 ? (2t ? 3)an ? 0 ,即

2t ? 3 a2 ? ;?????????2 分 3t a1

an?1 2t ? 3 ? (n ? 2) , an 3t

综上

an?1 2t ? 3 2t ? 3 ? (n ? N * ) ,故数列 {an } 是公比为 的等比数列;???? 4 分 3t an 3t

(2)由(1)知, f (t ) ? 于是数列 {bn } 是公差 d ?

? 1 ? 2 2t ? 3 2 1 ? ? ? ,则 bn ? f ? ? bn?1 ? (n ? N * , n ? 2) , ? ? 3t 3 t 3 ? bn?1 ?
2 2 1 的等差数列,即 bn ? n ? ,???????? 7 分 3 3 3

则 Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? b1b2 ? b2 b3 ? b3b4 ? ? ? b2n?1b2n ? b2n b2n?1

? b2 (b1 ? b3 ) ? b4 (b3 ? b5 ) ? ? ? b2n (b2n?1 ? b2n?1 )

1

= ? 2d (b2 ? b4 ? ? ? b2 n ) ? ? (3)不等式 Tn ? a 恒成立,即 ? 又 Tn ? ?

4 n(b2 ? b2 n ) 8 4 ? ? ? n 2 ? n ????????10 分 3 2 9 3

8 2 4 n ? n ? a 恒成立, 9 3

8 3 1 20 (n ? ) 2 ? 在 n ? N * 上递减,则 (Tn ) max ? T1 ? ? ????? 14 分 9 4 2 9 20 a ? T1 ? ? ????????? 16 分 9 (闵行)10.如图,在半径为 r 的圆内作正六边形,再作正六边形的
内切圆,又在此内切圆内作正六边形,如此无限继续下去,设 Sn 为前 n 个圆的面积之和,则 lim Sn ?
n??

4? r 2

? 3? 3 ? r2 解: S1 ? ? r , q ? ? ? ? lim S ? ? 4? r 2 ? n ? 2 ? n ?? 4 1 ? 0.75 ? ? (闵行)18.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,有下列命题:
2

2

(1)若数列 ?an ? 是递增数列,则数列 ?Sn ? 也是递增数列; (2)无穷数列 ?an ? 是递增数列,则至少存在一项 ak ,使得 ak ? 0 ; (3)若 ?an ? 是 等 差 数 列 ( 公 差 d ? 0 ) , 则 S1S2 (4)若 ?an ? 是等比数列,则 S1S2 其中,正确命题的个数是 (A)0. (B)1. (C)2. (D)3.

Sk ? 0 的 充 要 条 件 是 a1a2

ak ? 0 ;

Sk ? 0 (k ? 2) 的充要条件是 an ? an?1 ? 0
( B )

解:对于(1)取等差数列 an ? n ?10 对于(2)取 an ? ?

合条件,但 ?Sn ? 不递增,故(1)假;

1 合条件,但 an ? 0 ,故(2)假; n 对于(3)取 a1 ? ?1, a2 ? 1, a3 ? 3, ? S2 ? 0 合条件,但 a1a2
对于(4) S1S2

ak ? 0 ,故(3)假;

Sk ? 0 (k ? 2) 知, S2 , S3 ,

, Sk 中至少有一项为 0,而 S n ?

所以 an ? an?1 ? 0 ;若 an ? an?1 ? 0 ,则 q ? ?1 ? S2 ? S4 ? 于是(4)真。选 B

看知 q ? ?1 1? q ? S2k ? 0 ,故 S1S2 Sk ? 0 (k ? 2)

a1 ?1 ? q n ?

(闵行)23 ? 4? ? 6? ? 8? ? 18?? 已知非零数列 ?an ? 的递推公式为 a1 ? 1, an ? an an?1 ? 2an?1 (n ? N* ) . (1)求证数列 ?1 ?

? ?

1? ? 是等比数列; an ?
1 n ? log 2 (1 ? 1 ) a1 ? 1 n ? log 2 (1 ? 1 ) a2 ? ? 5 ? m ? 有解,求整数 1 2 n ? log 2 (1 ? ) an 1

(2) 若关于 n 的不等式

m 的最小值;

2

(3)若数列 ?

?1 n? ? 1 ? ? ?1? ? (1 ? n ? 11) 中,首项、第 r 项、第 s 项(1 ? r ? s ? 11)依次成等差数列, ? an ?

问有几组数对 ( r , s ) ? 并说明理由. 解(1)由 an ? 2an an?1 ? 2an?1 ,得; 即

1 2 ? ? 1, an ?1 an

(2 分)

? 1? 1 1 ? 1 ? 2( ? 1) ,所以 ?1 ? ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列. an?1 an ? an ?

(4 分)

1 ? 2n , an 1 1 1 5 ? ? ? ? m? . 所以已知的不等式等价于 n ?1 n ? 2 n?n 2 1 1 1 ? ? ? 令 f ( n) ? n ?1 n ? 2 n?n 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 0, 则 f (n ? 1) ? f (n) ? 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2n ? 1 2n ? 2 1 所以 f ( n) 单调递增.则 f (n) min ? f (1) ? , 2 1 5 于是 ? m ? ,即 m ? 3 .故整数 m 的最小值为 4. 2 2 1 1 n n (3)由上面得 an ? n ,则 ? 1 ? ? ?1? ? 2n ? ? ?1? ? bn 2 ?1 an
(2)由(1)可得: 1 ?

(6 分)

(8 分) (10 分)

要使 b1 , br , bs 成等差数列,只需 b1 ? bs ? 2br ,即 2s ? 2r ?1 ? (?1)s ? 2(?1)r ? 3 (12 分)
s r 因 s ? r ? 1 ,则上式左端 2s ? 2r ?1 ? 0 ;又因为上式右端 (?1) ? 2(?1) ? 3 ? 0 (14 分)

于是当且仅当 s ? r ? 1 ,且 s 为不小于 4 的偶数时, b1 , br , bs 成等差数列 所以, r 取 3,5,7,9,数对 ( r , s ) 共有 4 组. (浦东)1. lim

(16 分) (18 分)

n2 ? 1 1 ? ___________ 2 n?? 2n ? n 2

(浦东)3.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? an?1 ? 3,(n ? 2, n ? N * ) ,则 an =___________ 3n ? 2 (浦东)23(本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 设项数均为 k ( k ? 2, k ? N * )的数列 {an } 、 {bn } 、 {cn } 前 n 项的和分别为 Sn 、 Tn 、 U n . 已知 an ? bn ? 2n (1 ? n ? k , n ? N * ) ,且集合 {a1 , a2 , (1)已知 U n ? 2n ? 2n ,求数列 {cn } 的通项公式; (2)若 k ? 4 ,求 S4 和 T4 的值,并写出两对符合题意的数列 {an } 、 {bn } ; (3)对于固定的 k ,求证:符合条件的数列对( {an } , {bn } )有偶数对. 解(1) n ? 1 时, c1 ? U1 ? 4

, ak , b1, b2 ,

, bk } = {2, 4, 6,

, 4k ? 2, 4k}

n ? 2 时, cn ? Un ? Un ?1 ? 2n ? 2n ? 2(n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ? 2n ?1 , c1 ? 4 不适合该式

3

故 cn ? ?

? 4, n ? 1
n ?1 ?2 ? 2 , 2 ? n ? k

??????????????????4 分

(2) S4 ? T4 ? (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? (b1 ? b2 ? b3 ? b4 )

? (a1 ? b1 ) ? (a2 ? b2 ) ? (a3 ? b3 ) ? (a4 ? b4 ) ? 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 20
又 S4 ? T4 ? (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? (b1 ? b2 ? b3 ? b4 )

? 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 10 ? 12 ? 14 ? 16 ? 72
得 S4 =46, T4 =26 ?????????????????????8 分

数列 {an } 、 {bn } 可以为: ① 16,10,8,12;14,6,2,4 ③ 6,16,14,10;4,12,8,2 ⑤ 4,12,16,14;2,8,10,6 ② 14,6,10,16;12,2,4,8 ④ 4,14,12,16;2,10,6,8 ⑥ 16,8,12,10;14,4,6,2
*

????????10 分

(3)令 dn ? 4k ? 2 ? bn , en ? 4k ? 2 ? an ( 1 ? n ? k , n ? N )???????12 分

dn ? en ? (4k ? 2 ? bn ) ? (4k ? 2 ? an ) ? an ? bn ? 2n
又 {a1 , a2 ,

, ak , b1, b2 ,
, 4k}

, bk } = {2, 4, 6,

, 4k} ,得

{4k ? 2 ? a1, 4k ? 2 ? a2 ,
= {2, 4, 6,

, 4k ? 2 ? ak , 4k ? 2 ? b1, 4k ? 2 ? b2 ,

, 4k ? 2 ? bk }

所以数列对( {an } , {bn } )与( {d n } , {en } )成对出现??????16 分 假设数列 {an } 与 {d n } 相同, 则由 d2 ? 4k ? 2 ? b2 ? a2 及 a2 ? b2 ? 4 , 得 a2 ? 2k ? 3 ,b2 ? 2k ? 1, 均为奇数,矛盾! 故符合条件的数列对( {an } , {bn } )有偶数对 (普陀)8.数列 {an } 中,若 a1 ? 1 , an ? an ?1 ? ????????18 分

1 * (n? N ) ,则 lim( a1 ? a 2 ? ? ? a 2 n ) ? n ?? 2n

2 3

解: a1 ? a2 ? L ? a2n ? ? a1 ? a2 ? ? ? a3 ? a4 ? ? L ? ? a2n?1 ? a2n ?

?

1 1 1 2 ? 3 ? L ? 2 n ?1 ? lim(a1 ? a2 ? L ? a2 n ) ? ? n ?? 1 2 2 2 1? 2 3 2

1 2

(普陀)11.在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ? 4an?1 ? 3 ( n ? 2 ) ,则数列 {an } 的前 n 项和

Sn ? _______ 4 n ? n ? 1 ( n ? N * )
(普陀)22(本题满分 16 分)第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分 ,第 3 小题满分 6 分 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an?1 ? an ? 3 ? 2n , n ? N .
*
n (1)证明数列 an ? 2 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式;

?

?

4

(2)在数列 ?an ? 中,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项;若不存在,请 说明理由;
* (3)若 1 ? r ? s 且 r , s ? N ,求证:使得 a1 , a r , a s 成等差数列的点列 ? r , s ? 在某一直线上.

解(1)将已知条件 an?1 ? an ? 3 ? 2n 变形为 an ?1 ? 2

n ?1

? ? ? an ? 2n ? ??1 分

a n ?1 ? 2 n?1 由于 a1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 ? 0 ,则 ? ?1(常数)??3 分 an ? 2 n
n 即数列 an ? 2 是以 1 为首项,公比为 ?1 的等比数列??4 分

?

?

所以 an ? 2 n ? 1? (?1) n?1 ? (?1) n?1 ,即 an ? 2 n ? (?1) n?1 ( n ? N * ) 。??5 分 (2)假设在数列 ?an ? 中存在连续三项成等差数列, 不妨设连续的三项依次为 ak ?1 , ak , ak ?1 ( k ? 2 , k ? N * ) ,由题意得, 2ak ? ak ?1 ? ak ?1 , 将 ak ? 2 k ? (?1) k ?1 , ak ?1 ? 2 k ?1 ? (?1) k ?2 , ak ?1 ? 2 k ?1 ? (?1) k 代入上式得??7 分

2[2k ? (?1) k ?1 ] ? [2 k ?1 ? (?1) k ?2 ] ? [2 k ?1 ? (?1) k ] ??????8 分
化简得, ? 2
k ?1

? 4 ? (?1) k ?2 ,即 2 k ?1 ? 4 ? (?1) k ?1 ,得 (?2) k ?1 ? 4 ,解得 k ? 3

所以,存在满足条件的连续三项为 a2 , a3 , a4 成等比数列。??10 分 (3)若 a1 , ar , a s 成等差数列,则 2ar ? a1 ? as 即 2[2 ? (?1)
r r ?1

] ? 3 ? 2 s ? (?1) s?1 ,变形得 2 s ? 2 r ?1 ? 2 ? (?1) r ?1 ? (?1) s?1 ? 3 ??11 分

* 由于若 r , s ? N 且 1 ? r ? s ,下面对 r 、 s 进行讨论:

s r ?1 ① 若 r , s 均为偶数,则 2 ? 2 ? 0 ,解得 s ? r ? 1 ,与 1 ? r ? s 矛盾,舍去; s r ?1 ② 若 r 为奇数, s 为偶数,则 2 ? 2 ? 0 ,解得 s ? r ? 1 ; s r ?1 ③ 若 r 为偶数, s 为奇数,则 2 ? 2 ? 0 ,解得 s ? r ? 1 ,与 1 ? r ? s 矛盾,舍去; s r ?1 ④ 若 r , s 均为奇数,则 2 ? 2 ? 0 ,解得 s ? r ? 1 ,与 1 ? r ? s 矛盾,舍去;??15 分

综上①②③④可知,只有当 r 为奇数, s 为偶数时, a1 , ar , a s 成等差数列,此时满足条 件点列 ? r , s ? 落在直线 y ? x ? 1 (其中 x 为正奇数)上。??16 分(不写出直线方程扣 1 分) (青浦)3.各项为实数的等比数列中 a7 ? ?1, a19 ? ?8 ,则 a13 ?

?2 2
5

解:由等比数列的性质得

2 a19 ? ? q6 ? ? 8, q6 ? 2 2 , a13 ? a7 ? q6 ? ? ?1? ? 2 2 ? ?2 2 a7

(青浦)8.已知 lim(1 ? q ) ? 1 ,则实数 q 的取值范围是
n n ??
n n

? ?1,1?

解:因为 lim(1 ? q ) ? 1 ,故 lim q ? 0 ,故 q ? 1 ,则 q 的取值范围为 ?1 ? q ? 1
n ?? n ??

(青浦)17.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn 且满足 S15 > 0, S16 < 0, 则 为 A.

S1 S2 S3 , , , a1 a2 a3

,

S15 中最大的项 a15

( C ) B.

S6 a6

S7 a7

C.

S8 a8

D.

S9 a9

解:由于 S15 ?

15 ? a1 ? a15 ? 16 ? a1 ? a16 ? ? 8 ? a8 ? a9 ? < 0, ? 15a8 > 0 , S16 ? 2 2

所以可得 a8 > 0, a9 < 0 且公差 d ? 0 . 所以

S1 S > 0, 2 > 0, a1 a2

,

S8 S S > 0, 9 < 0, 10 < 0, a8 a9 a10
S1 S 2 , , a1 a2 ,

,

S15 < 0, 又 0 ? S1 < S2 < a15

< S8 ,

且 a1 > a2 >

> a8 ? 0 ,所以在

S S15 中最大的项是 8 ,故选 C a8 a15

(青浦)21(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 an ? S2 ? Sn 对一切正整数 n 都成立. (1)求 a1 , a2 的值; (2)设 a1 ? 0 ,数列 ?lg

? 10a1 ? ? 的前 n 项和为 Tn ,当 n 为何值时, Tn 最大?并求出 Tn 的最大值. a n ? ?

【解】 (1)由已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 an ? S2 ? Sn 对一切正整数 n 都成立

?a2 a1 ? S2 ? S1 ?a2 a1 ? 2a1 ? a2 即? 2 ?? ?a2 a2 ? S2 ? S2 ?a2 ? 2a1 ? 2a2
解方程组得 ?

? ?a1 ? 0 ? ?a1 ? 1+ 2 ? a1 ? 1- 2 或? 或? . a ? 0 a ? 2+ 2 a ? 2 - 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ?a1 ? 1 ? 2 ? ?a2 ? 2 ? 2

????????? 各 2 分

(2) a1 ? 0即 ?

?????????????? 7 分

又 a2 an ? S2 ? Sn ,当 n ? 2 时, a2 an?1 ? S2 ? Sn?1
6

作差得 a2 ? an ? an?1 ? ? Sn ? Sn?1

(2 ? 2)(an ? an?1 ) ? an ?an ? 2an?1 , ? an ? (1 ? 2)( 2)n?1 ????? 10 分
令 bn ? lg

10a1 10a1 10(1 ? 2) ,则 bn ? lg ? lg ? 1 ? (n ? 1) lg 2 an an (1 ? 2)( 2)n?1

可知 ?bn ? 是首项为 1,公差为 ? lg 2 的等差数列??????????? 11 分 解法一: Tn ? b1 ? b2 ?

? bn

? n?

n(n ? 1) 1 4 ? (? lg 2) ? ? lg 2[n2 ? (1 ? )n] ??????????? 13 分 2 4 lg 2

1?
由计算器可得

4 21 lg 2 ? 7.14 ,所以 n=7 时 Tn 的最大值为 T7 ? 7 ? lg 2 ?? 14 分 2 2

2 ? n ? 1+ ? 7.63 ? ? lg 2 ?bn …0 ?1 ? (n ? 1) lg 2 …0 ? 解法二: ? ?? ?? ? n ? 7 ?? 14 分 2 1 ? n lg 2 ? 0 ?bn ?1 ? 0 ? ? ?n … ? 6.63 ? lg 2 ?
解法三:也可以用两边夹的方法计算得到

?Tn …Tn ?1 ? ? ?Tn 卼Tn ?1

2 ? n ? 1 + ? 7.63 ? lg 2 ? ?? ?n?7 ?n … 2 ? 6.63 ? lg 2 ?

????????????? 14 分

(松江)7.已知 {an } 为等差数列,其前 对于数列 { An } : A 1 , A2 , A 3,

n 项和为 Sn .若 a1 ? 1 , a3 ? 5 , Sn ? 64 ,则 n ?

8

(松江)23(本题满分 18 分)第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分

, An ,若不改变 A1 ,仅改变 A2 , A3 ,

, An 中部分项的符号,得到的新

数列 {an } 称为数列 { An } 的一个生成数列.如仅改变数列 1, 2,3, 4,5 的第二、三项的符号可以得到一个生 成数列 1, ?2, ?3, 4,5 。已知数列 {an } 为数列 { ⑴写出 S3 的所有可能值;

1 }( n ? N ? ) 的生成数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和 n 2

? 1 , n ? 3k ? 1 ? ? 2n , k ? N ,求 Sn ; ⑵若生成数列 {an } 的通项公式为 an ? ? ?? 1 , n ? 3k ? 1 ? ? 2n
⑶用数学归纳法证明:对于给定的 n ? N ? , Sn 的所有可能值组成的集合为 {x | x ?

2m ? 1 , m ? N ? , m ? 2n?1} 2n

7

1 1 1 1 ? , | an |? n (n ? N , n ? 2) ,∴ a2 ? ? , a3 ? ? ????2 分 2 2 4 8 1 1 1 7 1 1 1 5 1 1 1 3 1 1 1 1 由于 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? 2 4 8 8 2 4 8 8 2 4 8 8 2 4 8 8 1 3 5 7 ∴ S3 可能值为 , , , ?????4 分 8 8 8 8
解(1)由已知, a1 ?

? 1 , n ? 3k ? 1 ? ? 2n ,k ? N , (2)∵ an ? ? 1 ?? , n ? 3k ? 1 ? ? 2n
∴ n ? 3k (k ? N ? ) 时,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ) ? ( 4 ? 5 ? 6 ) ? ? ( 3k ? 2 ? 3k ?1 ? 3k ) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( 1 ? 4 ? ? 3k ? 2 ) ? ( 2 ? 5 ? ? 3k ?1 ) ? ( 3 ? 6 ? ? 3k ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 [1 ? ( 3 ) k ] [1 ? ( 3 ) k ] [1 ? ( 3 ) k ] 2 3 8 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ? [1 ? ( ) k ]( ? ? ) ? [1 ? ( ) n ] ???7 分 ?2 ?2 ?2 1 1 1 7 8 2 4 8 7 2 1? 3 1? 3 1? 3 2 2 2 1 1 1 1 1 n ? 3k ? 1(k ? N ) 时, Sn ? Sn?1 ? an ? [1 ? ( ) n ?1 ] ? n ? [1 ? 5( ) n ] ???8 分 7 2 2 7 2 1 1 1 1 1 n ? 3k ? 2(k ? N ) 时, Sn ? Sn?1 ? an?1 ? [1 ? ( ) n ?1 ] ? n ?1 ? [1 ? 3( ) n ] 7 2 2 7 2 Sn ? (

1 ? 1 ? 7 (1 ? 2n ), n ? 3k ? 5 ?1 ? S n ? ? (1 ? n ), n ? 3k ? 1 (k ? N ) 2 ?7 3 ?1 ? 7 (1 ? 2n ), n ? 3k ? 2 ?
(3)① n ? 1 时, S1 ?

???????10 分

1 ,命题成立。 2

??????????11 分

②假设 n ? k (k ? 1) 时命题成立,即 Sk 所有可能值集合为 {x | x ? 由假设 Sk =

2m ? 1 (m ? N ? , m ? 2k ?1 ) ????????????13 分 k 2 2k ?1 Sk ? 1 1 1 1 1 1 1 n ? k ? 1 则当 , Sk ?1 ? ? 2 ? 3 ? ? k ? k ?1 ? Sk ? k ?1 ? 2 2 2 2 2 2 2k ?1 2k ?1 Sk ? 1 2(2m ? 1) ? 1 Sk ?1 ? ? (m ? N ? , m ? 2k ?1 ) ????????????15 分 2k ?1 2k ?1 2 ? (2m ? 1) ? 1 2 ? (2m) ? 1 即 S k ?1 ? 或 Sk ?1 ? (m ? N ? , m ? 2k ?1 ) k ?1 k ?1 2 2 2m ? 1 即 S k ?1 ? k ?1 ??17 分 (m ? N ? , m ? 2k ) ∴ n ? k ? 1 时,命题成立 2

2m ? 1 , m ? N ? , m ? 2k ?1} k 2

8

由①②, n ? N ? , Sn 所有可能值集合为 {x | x ?

2m ? 1 , m ? N ? , m ? 2n ?1} ??18 分 n 2

(徐汇)1.计算:

(徐汇)7.如果



)那么



有_

_项

2k
k ?1

解: f ? k ? 1? 共 2

项, f ? k ? 共 2 项,故 f ? k ? 1? ? f ? k ? 共 2
k

k ?1

? 2k ? 2k 项

(徐汇)22(本题满分 16 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 7 分) 称满足以下两个条件的有穷数列 为 阶“期待数列” :



;②



(1)若数列

的通项公式是



试判断数列

是否为 2014 阶“期待数列” ,并说明理由;

(2)若等比数列



(

) 阶“期待数列” ,求公比 及数列

的通项公式;

(3) 若一个等差数列

既是

(

)阶 “期待数列” 又是递增数列, 求该数列的通项公式.

解(1)因为

--------------------------2 分

所以

9

,所以数列

为 2014 阶“期待数列”------4 分

(2)①若

,由①得,

,得

,矛盾.-----------5 分



,则由①

=0,得

------------7 分

由②得





所以

.数列

的通项公式是



------------------------------------9 分

(3)设等差数列

的公差为



>0.



,∴

,∴





>0,由





,--------------------------11 分

由①、②得



,-----------13 分

两式相减得,

,∴

,又

,得



∴数列

的通项公式是

.-16 分

(杨浦)1. 计算: lim
n ??

3n ? 3n ? 1

1

(杨浦)22(本题满分 16 分)第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 6 分 已知数列 ? a n ?, S n 是其前 n 项的和,且满足 a1 ? 2 ,对一切 n ? N 都有
?

S n?1 ? 3S n ? n 2 ? 2 成立,设 bn ? an ? n .
(1)求 a2 ; (2)求证:数列 ? bn

?

是等比数列;
10

(3)求使

1 1 1 40 成立的最小正整数 n 的值. ? ? ??? ? ? b1 b2 bn 81
当 n ? 1 时,故 a2 ? 7 ??4 分 ??6 分 ??8 分 ??9 分 ??10 分

解(1)由 a1 ? 2 及 Sn?1 ? 3Sn ? n 2 ? 2

(2)由 Sn?1 ? 3Sn ? n 2 ? 2 及 Sn ? 3Sn?1 ? (n ? 1) 2 ? 2 (n ? 2) 得 an?1 ? 3an ? 2n ? 1 ,故 (an?1 ? n ? 1) ? 3(an ? n) , 即 bn?1 ? bn (n ? 2) ,当 n ? 1 时上式也成立, 故 ? bn ?是以 3 为首项,3 为公比的等比数列 (3) 由(2)得 bn ? 3n ,

1 1 ? n bn 3

??11 分

1 1 (1 ? n ) 1 1 1 3 ? 1 (1 ? 1 ) ? 40 ? ? ??? ? ? 3 1 b1 b2 bn 2 81 3n 1? 3
n 故 3 ? 81 ,解得 n ? 4 ,最小正整数 n 的值 5

??14 分

??16 分

(闸北)8.若公差为 d 的等差数列 ?an ? 的项数为奇数, a1 ? 1 , ?an ? 的奇数项的和是 175,偶数项 的和是 150,则 d ? 解:设 n ? 2k ? 1? k ? N ? ? ? 4

1 ? kd ? 175 ? 150 ? ?? ?d ?4 ?? 2k ? 1? ak ?1 ? 175 ? 150 ?? 2k ? 1??1 ? kd ? ? 175 ? 150 ?

1 ? kd ? 175 ? 150

3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2 (闸北)13.给出下列等式: 1 ? 2 ? 3 , 1 ? 2 ? 3 ? 6 , 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 10 ,?,现设 ? 2 ( n?N , n ? 2) ,则 lim 13 ? 23 ? 33 ? ? ? ? ? n3 ? an

n2 ? n ?? a n
D. 4

( C )

A. 0
3 3 3

B. 1
3 2 n
2

C. 2

解: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ? a ? an ? ?1 ? 2 ? 3 ? 故 lim

? n?

2

n ? n ? 1? ? n ? n ? 1? ? ?? ? ? an ? 2 ? 2 ?
2

n2 2n 2 n2 ? lim ?2 ? lim n ?? n ? n ? 1? n ?? n ? n ? 1? n ?? a n 2

(闸北)17.本题满分 20 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 12 分 如图, 在 轴的正半轴上依次有点 ,在射线 . ,其中点 上依次有点 、 ,且 ,点 的坐标为 (3,3) ,且

11

(1)求点 A 、 B 的坐标(用含
n n

的式子表示); ,解答下列问题: An+1 An A2 , S n?1 , S n?2 A1 O -------1 分 ----1 分 B1 x B2 y Bn+1 Bn

(2)设四边形

面积为

① 求数列 ?S n ? 的通项公式; ② 问 中是否存在连续的三项

? ( n ? N )恰好成等差数列?若存在,求出所

有这样的三项;若不存在,请说明理由. 解(1)

的坐标 (0,

29 1 1 n ? 4 ? ( ) ) --------------------------------2 分 2 2 3
( )且 为公差的等差数列 ---------------------------2 分 ---------------1 分 为首项,

是以

的坐标为 (2)①连接 则 ,设四边形

------------------------------1 分 的面积为 ,

----------3 分 ② 设连续的三项 即 2? , S n?1 , S n?2 ( n ? N ? )成等差数列,则有 2Sn ?1 ? Sn ? Sn ? 2 -----1 分

n 29 n ? 2 ? 29 n ? 1 ? 29 ? n?2 ? ? ? n ?3 ? ? n?1 ,解得 n ? 1 2 3 ? 2 3 ? 2 3

所以存在连续的三项 S1 , S2 , S3 恰好成等差数列---------------------2 分 (长宁)5、数列 ?an ? 满足

1 1 1 a1 ? 2 a 2 ? ... ? n a n ? 2n ? 5, n ? N * ,则 an ? 2 2 2

?14 ? n ?1 ?2

n ?1 n?2

1 1 1 ? a1 ? 2 a2 ? ... ? n an ? 2n ? 5 ? 1 ? 2 2 2 解: ? ? n an ? ? 2n ? 5 ? ? ? ? 2 ? n ? 1? ? 5? ? 2 ? 1 a ? 1 a ? ... ? 1 a ? 2 ? n ? 1? ? 5 ? n ? 2 ? 1 2 n ?1 ? ?2 22 2n ?1
即 an ? 2
n ?1

? n ? 2? ? an ? ?

?14 n ?1 ?2

n ?1 n?2

(长宁) 13、 已知数列 ?a n ?, ?bn ?都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 , b1 ,且 a1 ? b1 ? 5 ? a1 , b1 ? N ? ,
12

设 cn ? abn (n ? N ), 则数列 ?cn ? 的前 10 项和等于__ 解: S10 ? c1 ? c2 ? 而 b1 ? b10 ? b2 ? b9 ?

____ 85

? c9 ? c10 ? ab1 ? ab2 ?

? ab9 ? ab10 ? ab1 ? ab10 ? ab2 ? ab9 ?

?

? ?

?

? ab5 ? ab6

?

?

? b5 ? b6 ,?an ? ? A ? P,?bn ? ? A ? P 且公差都是1

故 S10 ? 5 ab1 ? ab10 ? 5 ? ?? a1 ? b1 ? 1? ? ? a1 ? b10 ? 1?? ? ? 5 ? 2a1 ? b1 ? b10 ? 2 ? ? 5 ? ?2a1 ? b1 ? ? b1 ? 9 ? ? 2? ?

?

?

? S10 ? 5 ? ? 2 ? a1 ? b1 ? ? 7 ? ? ? 5 ? 2 ? 5 ? 7 ? ? 85
(长宁)23(本题满分 18 分, (1)小题满分 4 分, (2)小题满分 6 分, (3)小题满分 8 分) 设二次函数 f ( x) ? (k ? 4) x 2 ? kx

(k ? R) ,对任意实数 x ,有 f ( x) ? 6 x ? 2 恒成立;数列 {an } 满足

an?1 ? f (an ) .
(1)求函数 f ( x) 的解析式和值域; (2)证明:当 a n ? (0, ) 时,数列 {an } 在该区间上是递增数列; (3)已知 a1 ?

1 2

1 ,是否存在非零整数 ? ,使得对任意 n ? N ? ,都有 3 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? n ?1 n?1 2 若存在, 求之; 1 1) ?log ?n log3 ? ? 1? ? ?2 n ?1 ? (?2 ? ? log3 ? 1 ? ? ??? ? log3 ? 1 ? ? ?? 3 2 恒成立, 3 log 1 ? ? a1 ? ? ? a2 ? ? ? an ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

若不存在,说明理由. 解(1)由 f ( x) ? 6 x ? 2 恒成立等价于 (k ? 4) x 2 ? (k ? 6) x ? 2 ? 0 恒成立, 从而得 ?

?k ? 4 ? 0 ?(k ? 6) ? 8(k ? 4) ? 0
2

,化简得 ?

?k ? 4 ?(k ? 2) ? 0
2

2 ,从而得 k ? 2 ,所以 f ( x) ? ?2 x ? 2 x ??3 分

其值域为 (??, ]

1 2

????4分

1 ????6分 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a n ? (0, ) ? ? ? a n ? ? ? (a n ? ) 2 ? ? ?2(a n ? ) 2 ? ? ? ?2(a n ? ) 2 ? ? 0 ?8 分 2 4 4 4 4 16 4 8 4 8 1 从而得 an?1 ? an ? 0 ,即 an?1 ? an ,所以数列 {an } 在区间 (0, ) 上是递增数列????10分 2 1 1 1 (3)由(2)知 a n ? (0, ) ,从而 ? a n ? (0, ) ; 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 ? a n ?1 ? ? (?2a n ? 2a n ) ? 2a n ? 2a n ? ? 2(a n ? ) 2 ,即 ? a n ?1 ? 2( ? a n ) 2 ??12 分 2 2 2 2 2 2 1 1 2 令 bn ? ? an ,则有 bn?1 ? 2bn 且 bn ? (0, ) 2 2
2 2 (2)解: an ?1 ? an ? f (an ) ? an ? ?2an ? 2an ? an ? ?2(an ? ) ?

1 4

从而有 lg bn?1 ? 2 lg bn ? lg 2 ,可得 lg bn?1 ? lg 2 ? 2(lg bn ? lg 2) ,

13

所以数列 {lg bn ? lg 2} 是 lg b1 ? lg 2 ? lg

1 为首项,公比为 2 的等比数列, 3

1 1? 从而得 lg bn ? lg 2 ? lg ? 2n ?1 ? lg ? ? ? 3 ? 3?
?1? ? ? 所以 3 bn ? ? ? 2
1
2n?1

2n?1

?1? ? ? ,即 3 lg bn ? lg ? ? 2

2n?1



1?1? ? ? ? 2?3?

2n?1



? ? ? 1 ? n ?1 n ?1 1 ? ? log3 (2 ? 32 ) ? log3 2 ? 2 n?1 , 所以 ? ? 2 ? 32 ,所以 log3 ? 1 bn ? 1 ?a ? ? an ? n ? ?2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 2n ? ? log3 ? ? ? ? ? ? ? log3 ? ? ? n log3 2 ? ? 2n ? n log3 2 ? 1 . 所以 log3 ? 1? 2 ? 1 ?a ? ? 1 ?a ? ? 1 ?a ? ? ? ? 1? 2 ? n ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?
n 即 2 ? n log 3 2 ? 1 ? ? ?1? n ?1

2? ? n log 3 2 ? 1 ,故 2n ?1 ? ? ?1?

n ?1

? 恒成立????15分
有最小值 1 为。? ? ? 1 ?16 分

(1)当 n 为奇数时,即 ? ? 2n?1 恒成立,当且仅当 n ? 1 时, 2

n ?1

(2)当 n 为偶数时,即 ? ? ?2n ?1 恒成立,当且仅当 n ? 2 时,有最大值 ?2 为。? ? ? ?2 ?17 分
? 所以对任意 n ? N ,有 ?2 ? ? ? 1 。又 ? 非零整数,? ? ? ?1 ????18 分

(金山)8.在等差数列{an}中,a1=3,公差不等于零,且 a2、a4、a9 恰好是某一个等比数列的前三项,那 么该等比数列的公比的值等于

5 2
n??

(金山)11.设数列{an}是公比为 q 的等比数列,它的前 n 项和为 Sn,若 lim S n ? 2 ,则此等比数列的首 项 a1 的取值范围是 解:

? 0,2? ? 2,4?
? 0,1? ? a1 ? ? 0, 2 ? ? 2, 4 ?

a1 2 ? a1 ?2?q ? ? ? ?1, 0 ? 1? q 2

(金山)21(本题满分 14 分)本题共 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分 已知数列{an}满足:a1=a,an+1=1+

1 1 ,又数列{bn}满足:b1= –1, bn ?1 ? (n∈N*). an bn ? 1

(1) 当 a 为何值时, a4=0, 并证明当 a 取数列{bn}中除 b1 以外的任意一项时, 都可以得到一个有穷数列{an}; (2) 若

3 <an<2 (n≥4),求 a 的取值范围. 2

14

解(1)由题意的 an ?

1 an ?1 ? 1

,又 a4=0,所以 a3= –1, a2 ? ?

1 2 ,a=a1= – ; ?3 分 2 3

证明:因为 bn ?1 ?

1 1 ,所以 bn=1+ ,若 a 取数列{bn}中任意一个数 bn (n>1), bn ?1 bn ? 1

即 a=bn,a2=1+

1 1 1 1 1 =1+ =bn–1,a3=1+ =1+ =bn–2,?,an=b1= –1,an+1=1+ =0, a1 bn a2 bn ?1 an

所以数列{an}只能有 n+1 项,为有穷数列.?????????????????8 分

1 ?3 ?1? ?2 ?n ? 4 ?n ? 5 ?1 ? an ?1 ? 2 ? an ?1 ? ? ?2 ? (2) ? 3 ?? (n≥5)? ? 3 ? ?3 ?11 分 ? a ? 2 ? a ? 2 ? a ? 2 3 n n n ? 1 ? 1 ? ? ? ?a ?2 ? ?2 ?2 ?2 n ?1 ? ?2
所以

3 3 3 3a ? 2 <an<2 (n≥4),等价于 <a4<2,等价于 < <2,等价于 a>0.??14 分 2 2 2 2a ? 1

(嘉定)4.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? n 2 ( n ? N * ) ,则 a8 的值是________ a8 ? S8 ? S7 ? 15 (嘉定)10.函数 y ? a x ( a ? 0 , a ? 1 )的图像经过点 P? 2 ,

? ?

1? (a ? a 2 ? ? ? a n ) ? _____1 ? ,则 lim n ? ? 4?

1 2 解: a ? ? lim(a ? a ? 2 n??

1 ? an ) ? 2 ? 1 1 1? 2

(嘉定)11.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a5 ? S 5 ,则 S 2014 ? ________ 0 解: a5 ? S5 ? a1q ?
4

a1 ?1 ? q5 ? 1? q

? q ? 1 ? S2014 ?
2

a1 ?1 ? q 2014 ? 1? q

?0

(嘉定)23(本题满分 18 分)第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? n ? 1 ( n ? N ) .
*

(1)若数列 {an } 是等差数列,求它的首项和公差; (2)证明:数列 {an } 不可能是等比数列;
* (3)若 a1 ? ?1 , cn ? an ? kn ? b ( n ? N ) ,试求实数 k 和 b 的值,使得数列 {cn } 为等比数列;

并求此时数列 {an } 的通项公式. 解(1)解法一:由已知 a2 ? 2a1 ? 2 , a3 ? 2a2 ? 3 ? 4a1 ? 7 , ??(1 分) 若 {an } 是等差数列,则 2a2 ? a1 ? a3 ,即 4a1 ? 4 ? 5a1 ? 7 , ??(1 分)
15

得 a1 ? ?3 , a2 ? ?4 , 故 d ? ?1 .

????????(1 分) ??????(1 分)

所以,数列 {an } 的首项为 ? 3 ,公差为 ? 1 .

解法二:因为数列 {an } 是等差数列,设公差为 d ,则 an?1 ? an ? d , 故 an ? d ? 2an ? n ? 1 , ??(1 分)

an ? ?n ? d ? 1 ,又 an ? a1 ? (n ? 1)d ,所以有 d ? ?1 , ????(1 分)
又 a1 ? d ? d ? 1 ,从而 a1 ? ?3 . ????(1 分) 所以,数列 {an } 的首项为 ? 3 ,公差为 ? 1 . ????(1 分)

2 (2)假设数列 {an } 是等比数列,则有 a2 ? a1a3 ,

即 4(a1 ? 1) 2 ? a1 (4a1 ? 7) ,

??????(1 分) ????(1 分)

解得 a1 ? ?4 ,从而 a2 ? ?6 , a3 ? ?9 , 又 a4 ? 2a3 ? 4 ? ?14.

????(2 分)

因为 a1 , a2 , a3 , a4 不成等比数列,与假设矛盾, 所以数列 {an } 不是等比数列. (3)由题意,对任意 n ? N ,有
*

??????(2 分)

c n ?1 ? q ( q 为定值且 q ? 0 ) , cn



an?1 ? k (n ? 1) ? b ? q. an ? kn ? b

??????(2 分)



2an ? n ? 1 ? k (n ? 1) ? b 2an ? (k ? 1)n ? k ? b ? 1 ? ? q , ????(1 分) an ? kn ? b an ? kn ? b

于是, 2an ? (k ? 1)n ? k ? b ? 1 ? qan ? kqn ? qb , ????(1 分)

?q ? 2 , ?q ? 2 , ? ? ? ?k ? 1 , 所以 ?k ? 1 ? kq , ?k ? b ? 1 ? qb , ?b ? 2 . ? ?

????(2 分)

所以,当 k ? 1 , b ? 2 时,数列 {cn } 为等比数列. ????(1 分) 此数列的首项为 a1 ? 1 ? 2 ? 2 ,公比为 q ? 2 ,所以 an ? n ? 2 ? 2 n .

16

因此 {an } 的通项公式为 an ? 2 n ? n ? 2 .

??????(1 分)

(黄浦)5.已知数列 ?an ? 是公差为 2 的等差数列,若 a6 是 a7 和 a8 的等比中项,则 an ?

2n -

40 3

(黄浦)14.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? ?42 , an?1 ? (?1)n an ? n(n ? N * ) ,则数列 ?an ? 的前 2015 项的和

S2015 的值是

1015014

a3 ? a2 ? 2 ? ? a5 ? a4 ? 4 解: a ? ? ?1?n a ? n ? ? ? S 2015 ? a1 ? 2 ? 4 ? L ? 2014 ? 1014056 ? S 2015 ? 1015014 ? n ?1 n LLLL ? ? ?a2015 ? a2014 ? 2014
(黄浦)23(本题满分 18 分)第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分 已知数列 ?an ? 满足 a2 ? 6 , (1)求 a1、a3、a4、a5 的值; (2)猜想数列 ?an ? 的通项公式 an ,并用数学归纳法证明你的猜想; (3) 已知 lim 解(1)

an ?1 ? an ? 1 1 ? (n ? N * ) an ?1 ? an ? 1 n

a n ? 0 ,设 bn ? n n (n ? N * ) ,记 Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? n n ?? 2 n?2

? bn ,求 lim S n
n ??

an?1 ? an ? 1 1 ? , n ? N * ,∴ (n ?1)an?1 ? (n ?1)an ? ?(n ?1), n ? N * . an?1 ? an ? 1 n

a1 ? 1 ? 1? (2 ?1 ? 1),
a2 ? 6 ,分别令 n ? 1, 2,3, 4 ,可得

a3 ? 15 ? 3 ? (2 ? 3 ? 1), a4 ? 28 ? 4 ? (2 ? 4 ? 1), a5 ? 45 ? 5 ? (2 ? 5 ? 1).

(2)猜想数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n(2n ?1), n ? N * .用数学归纳法证明如下: 证明 (i)当 n ? 1 时,由(1)知结论成立;当 n ? 2 时, an ? 2 ? (2 ? 2 ?1) ? 6 ? a2 ,结论成立 (ii)假设 n ? k (k ? 2, k ? N ) 时,结论成立,即 an ? k (2k ?1)
*

当 n ? k ? 1 时, (k ?1)ak ?1 ? (k ? 1)ak ? ?(k ? 1) ? (k ?1)ak ?1 ? (k ? 1)k (2k ?1) ? (k ? 1)

? (k ?1)ak ?1 ? (k ? 1)(2k 2 ? k ?1) ? (k ?1)ak ?1 ? (k ? 1)(k ?1)(2k ? 1)
所以 ak ?1 ? (k ? 1)(2k ? 1) ? (k ? 1)(2(k ? 1) ?1) ,即 n ? k ? 1 时,结论也成立 根据(i)和(ii)可以断定,结论 an ? n(2n ?1) 对一切正整数 n 都成立 (3)由(2)知, bn ?

n(2n ? 1) 2 n ?1 ? n , n? N* . n ? 2n 2
17

2 ?1 ? 1 2 ? 2 ? 1 2(n ? 1) ? 1 2n ? 1 ? ? ? ? ? n 2 ? 1 1 2 ? 2 2 2n ?1 2 ? Sn ? ? 2 ? 于是 ? 相减 1 2 ?1 ? 1 2 ? 2 ? 1 2( n ? 1) ? 1 2n ? 1 ? 2 2 2 Sn ? ? ? ? ? n ?1 2 3 n 2 2 2 2 2 ? ? Sn ?
Sn ? 3 ? 1 2
n?2

?

2 2n ? 1 ? n ?1 2n 2

?

2n ? 1 1 2n ? 1 )?3 ,所以 lim S n ? lim(3 ? n ? 2 ? n n ?? n ?? 2 2 2n

(虹口)8、已知 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,且 a1 与 a5 的等比中项为 2,则 a 2 ? a 4 的最小值 等于 4

解: a32 ? a1a5 ? 22 ? a3 ? 2 ? a2 ? a4 ? 2 a2 a4 ? 2a3 ? 4
2 (虹口) 13、 已知 f ? x ? ? n sin

n? , 且 an ? f n ? ??f n? ? 1? ,则 a1 ?a2 ?a3 ? ? a2014 ? 2

____ ? 4032

解: a4 k ?3 ? a4 k ? 2 ? a4 k ?1 ? a4 k ? ? ? f ? 4k ? 3 ? ? f ? 4k ? 2 ? ? ??? ? f ? 4k ? 2 ? ? f ? 4k ? 1? ? ?
* ?? ? f ? 4k ? 1? ? f ? 4k ? ? ??? ? f ? 4k ? ? f ? 4k ? 1?? ? ? ? 4k ? 3? ? 2 ? 4k ? 1? ? ? 4k ? 1? ? 8 ? k ? N ? 2 2 2

故 a1 ? a2 ? a3 ?

? a2014 ? 503? 8 ? a2013 ? a2014 ? 503? 8 ? 20132 ? 20152 ? ?4032

(虹口)21(本题满分 14 分)数列 ?an ? 是递增的等差数列,且 a1 ? a6 ? ?6 , a3 ? a4 ? 8 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 的最小值; (3)求数列 an 的前 n 项和 Tn . 解(1) 由 ?

? ?

?a1 ? a6 ? ?6 ?a3 ? a4 ? ?6 2 ,得 a3 、 a4 是方程 x ? 6 x ? 8 ? 0 的二个根, ?? a ? a ? 8 a ? a ? 8 ? 3 4 ? 3 4

? x1 ? ?2 , x2 ? ?4 ,此等差数列为递增数列,
? a3 ? ?4 , a4 ? ?2 ,公差 d ? 2 , a1 ? ?8 .? an ? 2n ? 10 ?4 分
(2)? S n ?

n(a1 ? a n ) 9 81 ? n 2 ? 9n , S n ? ( n ? ) 2 ? , 2 4 2

? (S n ) min ? S 4 ? S5 ? ?20????????8 分
(3)由 an ? 0 得 2n ? 10 ? 0 ,解得 n ? 5 , 此数列前四项为负的,第五项为 0,从第六项开始为正的???10 分
? 当 1 ? n ? 5 且 n ? N 时,

18

Tn ? a1 ? a2 ? ?? an ? ?(a1 ? a2 ? ?? an ) ? ?Sn ? ?n 2 ? 9n ????12 分
当 n ? 6 且 n ? N ? 时,

Tn ? a1 ? a2 ? ?? a5 ? a6 ? ?? an ? ?(a1 ? a2 ? ?? a5 ) ? (a6 ? ?? an ) ? Sn ? 2S5
? n 2 ? 9n ? 40???????14 分
(奉贤)4、已知 ?an ? 是公比为 2 的等比数列,若 a3 ? a1 ? 6 ,则

a1 ? a2 ? ? ? an =

2 n ?1 ? 2
3

(奉贤)10、数列 an?1 ? an ? 4 ? 2?n ? N *? ,如果 ?an ? 是一个等差数列,则 a1 ? 解: an ?1 ? an ? 4 ? 2 ? an ?1 ? 2 ? an ? 4 ? ? an ?1 ? 2 ? ? ? an ? 4 ?
2 2

? ? an?1 ? an ? 2?? an?1 ? an ? 6? ? 0 ? an?1 ? an ? ?2 ? an?1 ? an ? 6
因 ?an ? 从第二项开始都大于零( an?1 ? an ? 4 ? 2?n ? N *? )

? a2 ? a1 ? 6 ? 故舍 an?1 ? an ? ?2 ,所以 an ?1 ? an ? 6 ? ? a3 ? a2 ? 6 ? a1 ? 3 ? 2a ? a ? a 1 3 ? 2
(奉贤) 18 、设双曲线 nx ? (n ? 1) y ? 1(n ? N ) 上动点 P 到定点 Q(1, 0) 的距离的最小值为 dn ,则
2 2 *
n ? ??

lim d n 的值为

( A ) (B)

1 (C)0 (D)1 2 nx0 2 ? 1 nx0 2 ? 1 2 2 2 2 2 ? PQ ? ? x0 ? 1? ? y0 ? ? x0 ? 1? ? 解:设 P ? x0 , y0 ? ? y0 ? n ?1 n ?1
(A)

2 2

nx 2 ? 1 ? 故 lim PQ ? lim ? x0 ? 1? ? 0 n ??? n ??? n ?1
2

1? 1 2? 1? ? x0 ? 1? ? x0 ? 2 ? ? x0 ? ? ? ? ? x0 ? ? 2? 2 2 ? 2? ?
2 2

2

所以当且仅当 x0 ?

1 时, lim d n ? lim PQ min ? lim PQ n ??? n ??? n ??? 2

?

?

?
min

2 2

2 a1 ? 1, a2 ? m , (奉贤) 23、 已知数列 {an } 的各项均为正数, 且对任意 n ? N * , 都有 an 数 ?1 ? an an ? 2 ? c .

列 {an } 前 n 项的和 S n (1)若数列 {an } 是等比数列,求 c 的值和 lim

an (7 分) ; n ?? S n

(2)若数列 {an } 是等差数列,求 m 与 c 的关系式(5 分) ; (3) c ? 1, 当 n ? 2, n ? N 时,求证:
*

an ?1 ? an ?1 是一个常数(6 分) an

19

解(1)由题意得: q ?

a2 ? m ?an ? mn?1 a1

1分 2分

? m2n ? mn?1mn?1 ? c,?c ? 0 因为数列 {an } 的各项均为正数,所以 m ? 0 a 当 m ? 1 时,? S n ? n, an ? 1 ,故 lim n ? 0 n ?? S n
当 m ? 0 且 m ? 1时,? S n ?

4分 5分

1 ? mn , 1? m

?

an m n ?1 6分 ? ?1 ? m? Sn 1 ? mn a 1? m a a m ?1 当 0 ? m ? 1 时 lim n ? 0 ,当 m ? 1 时 n ? 所以 lim n ? n ?1 n ?? n ?? S Sn ? 1 ? Sn m n ? ? ?m ?m? ?0 0 ? m ? 1 an ? 7分 ? lim ? ? m ? 1 n ?? S m ?1 n ? ? m (2)由题意得: d ? a2 ? a1 ? m ?1 8分 an ? 1 ? ?n ?1??m ?1?, an?1 ? 1 ? n?m ?1?, an?2 ? 1 ? ?n ? 1??m ?1? 9 分
??1 ? n(m ?1)? ? ?1 ? (n ?1)(m ?1)??1 ? (n ? 1)?m ?1?? ? c
2
2 an ?1 ? an an ? 2 ? c,

10 分 12 分

?c ? ?m ?1?

2

(3)计算 a3 ? m 2 ? 1

a ? a n?1 a3 ? a1 m 2 ? 1 ? 1 ?m 14 分 ? ? m ,猜想 n?1 an a2 m a ? a n?1 a ?a a ? an ? 2 ? m 恒成立,只需要证明 n ?1 n ?1 ? n 欲证明 n ?1 恒成立 an an an ?1 即要证明 an?1 ?an?1 ? an?1 ? ? an ?an ? an? 2 ? 恒成立
即要证明 an?1an?1 ? an?1 ? an ? an an?2 恒成立 (***)
2 ? an ,? an?1an?1 ? an ? 1, an an?2 ? an?1 ? 1 ?1 ? an an?2 ? 1 2 2
2 2

(***)左边= an?1an?1 ? an?1 ? an ? 1 ? an?1 (***)右边= an ? an?1 ? 1 所以(***)成立 方法二:计算 a3 ? m 2 ? 1 , 猜想
2 2

2

2

2

18 分

a3 ? a1 m ? 1 ? 1 ? ?m a2 m
2

an?1 ? a n?1 ?m an
2

14 分

2 an , an ? an?1an?1 ? 1 ?1 ? an an?2 ? 1
2 2 an ?1 ? an ? an an ? 2 ? an ?1an ?1 2 2 an ?1 ? an ?1an ?1 ? an ? an an ? 2

20

由于 an ? 0 ,上式两边同除以 an an?1 ,得

an?1 ? an?1 an ? an? 2 ? (n ? 2). an an?1

an ? an?2 an?1 ? an?1 ? ? an?1 an a ? a n?1 所以 n ?1 ? m 是常数 an
所以

?

a1 ? a3 8 ? . a2 3
18 分

(崇明)16、已知数列 ?an ? 是无穷等比数列,其前 n 项和是 Sn ,若 a2 ? a3 ? 2 , a3 ? a4 ? 1,则 lim Sn 的
n ??

值为 A.

( D )

2 3

B.

4 3

C.

8 3

D.

16 3

8 ? 8 a1 ? ? a ? a ? 2 ? 2 16 ? 3 3 解: ? ?? ? lim Sn ? 3 ? n ?? 1 a ? a ? 1 1 3 4 ? 3 ?q ? 1? 2 ? ? 2

(崇明)22(本题 16 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分)
1 n ?1 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? , an?1 ? an . 2 2n ?a ? (1)证明数列 ? n ? 是等比数列; (2)求通项 a n 与前 n 项和 Sn ; ?n?

(3)设 bn ? n (2 ? Sn ), n ? N * ,若集合 M ? ?n bn ≥ ?, n ? N *? 恰有 4 个元素,求实数 ? 的取值范围.

an 1 n ?1 ? ? 0。 解(1)因为 a1 ? , an?1 ? an ,当 n ? N 时, 2 2n n


a1 1 a n ?1 a n 1 ? , : ? ( n ? N ? )为常数, 1 2 n ?1 n 2
1 1 ? an ? ? 是以 为首项, 为公比的等比数列。 2 2 ?n?

所以 ?

(2)由 ?

an 1 ? 1 ? 1 1 ? an ? ? ?? ? ? 是以 为首项, 为公比的等比数列得, 2 2 n 2 ?2? ?n?

n ?1

所以 a n ? n ? ? ? 。由错项相减得 S n ? 2 ? ? ?

?1? ?2?

n

?1? ?2?

n ?1

?1? ? n? ? 。 ? 2?
n ?1

n

?1? (3)因为 bn ? n (2 ? Sn ), n ? N * ,所以 bn ? n (2 ? Sn ) ? n ? ? ?2?

?1? ? n2 ? ? ? 2?

n

?1? 由于 bn?1 ? bn ? 3 ? n ? ? ?2?
2

?

?

n ?1

,所以, b2 ? b1 , b2 ? b3 ? b4 ? ? ? ? ? ? ? 。

因为集合 M ? ?n bn ≥ ?, n ? N *? 恰有 4 个元素,且 b1 ? b4 ?

3 15 35 , b5 ? , b2 ? 2, b3 ? 2 8 32
21

所以

35 3 ??? 。 32 2
( B )

(宝山)17.下列关于极限的计算,错误 的是 ..

2n 2 ? n ? 7 (A) lim = lim n?? n?? 5n 2 ? 7

2?

1 7 ? n n2 = 2 7 5 5? 2 n

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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(B) lim (
n??

2 2n 2 4 2n 4 + 2 +?+ 2 )= lim 2 + lim 2 +?+ lim 2 =0+0+?+0=0 2 n ? ? n ? ? n ? ? n n n n n n

(C) lim ( n 2 ? n -n)= lim
n??

n n ?n ?n
2

n??

= lim

1 1? 1 ?1 n

n??

=

1 2

(D)已知 a n ? ?

?n ? 2?1 3?2 19 ?2 (n为奇数), lim a ? a ? ??? ? a ? ? 则 = . ? ? 1 2 n ?2 ?2 ?n n ?? 24 1 ? 2 1 ? 3 3 (n 为偶数 ). ? ?

(宝山)23(本题满分 18 分)第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分 若数列 {an } 的每一项都不等于零, 且对于任意的 n ? N * , 都有 为“类等比数列” . 已知数列 {bn } 满足: b1 ? b(b ? 0) ,对于任意的 n ? N ,都有 bn ? bn?1 ? ?9 ? 28?n .
*

an ? 2 , 则称数列 {an } ? q( q 为常数) an

(1)求证:数列 {bn } 是“类等比数列” ; (2)若 {| bn |} 是单调递减数列,求实数 b 的取值范围; (3)若 b ? 2 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项之积取最大值时 n 的值. 解(1)因为 bn ? bn?1 ? ?9 ? 28?n ,所以 bn?1 ? bn?2 ? ?9 ? 27?n ,

bn? 2 bn?1bn? 2 1 ? ? bn bnbn?1 2

所以数列 {bn } 是“类等比数列” . ?????????????4 分

9 ? 27 (2)由 b1 ? b, b1b2 ? ?9 ? 2 得 b2 ? ? ???????????5 分 b
7

? ? 1 ?n ?1 (n是奇数) ?b ? ? ? , ? 2? 所以 b ? ? ?????????????7 分 ? n n?2 7 ? 9? 2 ? 1 ? (n是偶数) ?? b ? ? 2 ? , ? ? ?
因为 {| bn |} 递减,所以 | b2k ?1 |?| b2k |?| b2k ?1 | ????????????8 分
22

[或,对任意的正奇数 n, | bn |?| bn?1 |?| bn?2 | 成立。] 解得 24 2 ? b ? 48 .????????????????????10 分 (3)记数列 ?bn ? 的前 n 项之积为 Tn .

? ? 1 ?n ?1 (n是奇数) ?2 ? ? ? , ? ? 2? 当 b ? 2 时, bn ? ? 由 {bn } 的通项公式可知. n?2 ? 6 ? 1 ? (n是偶数) ??9 ? 2 ? ? 2 ? , ? ? ?
当 n ? 4k ? 2 或 n ? 4k ? 1 , ( k ? N * ) 时, Tn ? 0 ????????12 分

又因为 0 ? b4k ?1 ? 1 ,所以 T4k ?1 ? b4k ?1T4 k ? T4 k , 因而 Tn 取最大值时, n ? 4k (k ? N * ) ??????????????14 分 当 n 为奇数时,令 bn bn ?1 ? 1得 9 ? 27 ?

? 2?

2n ?2

,所以 n ? 13 ,???16 分

因而 b1b2 ? 1 , b3b4 ? 1 ,?, b11b12 ? 1 , b13b14 ? 1 , b15b16 ? 1,? 所以 | T2 |?| T4 |? ??? ?| T12 | , | T12 |?| T14 |? ??? 或由 b4k ?3b4k ?2b4 k ?1b4 k ? 1 得 k ?

13 ,所以 k ? 3 ,即前 12 之积最大 4

因而当 n ? 12 时, Tn 取最大值???????????????18 分

23


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