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角的概念推广1


5.1 角的概念的推广

北郊高级中学 宫丽君

一、复习引入
在初中是如何定义角的? 在初中是如何定义角的? 有公共端点的两条射线组成的几何 图形叫做角。 图形叫做角。
顶 点 边
角的范围是
0 ~ 360
0 0



实例1 实例

/>
转体720度 度 转体

实例2 实例

实例3 实例
你的表慢了5分钟,你是怎样将它校准的? 你的表慢了 分钟,你是怎样将它校准的? 分钟 你的表快了1.25小时,你是怎样将它校准的? 小时,你是怎样将它校准的? 你的表快了 小时

A′

A′

实例4 实例

A′

A′ A′

A′

α′
A′ A′

A

A′

A′

实例5 实例
A′

A′

A′

A′

α′
A′

A

A′ A′

A′

A′

二:角的概念与推广 定义: 1、定义:平面内一条射线绕着端点从一 这些例子所提到的角不仅不在范围 个位置旋转到另一个位置所成的图形 而且方向不同, [00 ,3600 ] 中,而且方向不同,有必要 叫做角。 叫做角。 将角的概念推广到任意角, 将角的概念推广到任意角,想想用什么 终边 B 思想来研究角的概念? 思想来研究角的概念?
顶 点 o 始边

记法: 记法:角 α 或 ∠α ,可简记为α

A

2.规定: 逆时针旋转 规定: 逆时针旋转——正角 正角 顺时针旋转——负角 顺时针旋转 负角 没有旋转 ——零角 零角
零角的始边与终边重合吗? 零角的始边与终边重合吗? 终边与始边重合的角是零角吗? 终边与始边重合的角是零角吗?

3.意义 用旋转定义角之后,角的 意义: 用旋转定义角之后, 范围扩大了。 范围扩大了
⑴角有正角,负角,零角。 角有正角,负角,零角。 也可小于0? ⑵角可任意大。可大于360? ,也可小于 角可任意大。可大于

三:象限角 由于角是一个平面图形, 由于角是一个平面图形,所以 为研究方便,我们往往放在 为研究方便, 平面直角坐标系中来讨论角。 平面直角坐标系中来讨论角。

Y

终边

Y 终边 始边

O

X 始边

O

X

Y

α ∈Ⅰ
Y 始边

α∈ Ⅱ
始边 O X

O 终 边

X

α ∈Ⅲ

α∈
终 边



1)置角的顶点于原点 置角的顶点于原点 2)始边与 轴的正半轴重合 始边与X轴的 始边与 轴的正 终边落在第几象限就是 落在第几象限就是第几象限角 终边落在第几象限就是第几象限角

练习: 练习:
1、锐角是第几象限的角? 锐角是第几象限的角? 锐角是第一象限的角。 答:锐角是第一象限的角。 2、第一象限的角是否都是锐角? 、第一象限的角是否都是锐角? 答:第一象限的角并不都是锐角。 第一象限的角并不都是锐角。 3、 小于 °的角都是锐角吗? 、 小于90°的角都是锐角吗? 小于90°的角并不都是锐角, 答: 小于 °的角并不都是锐角, 它也有可能是零角或负角。 它也有可能是零角或负角。

坐标轴上的角:( 轴线角 ) 坐标轴上的角:(
如果角的终边落在了坐标轴上, 如果角的终边落在了坐标轴上,就认为 这个角不属于任何象限。 这个角不属于任何象限。 例如:角的终边落在 轴或 轴上。 轴或Y轴上 例如:角的终边落在X轴或 轴上。
y 终 边 o 始边 x

五 1 】在0到360度范围内, 360度范围内 【例:例题 度范围内,找出与下列各角终边相
同的角,并判断它是哪个象限的角? 同的角,并判断它是哪个象限的角? (1)-120o(2)640 o(3) -950o 12' ) ) )
解:(1)-120°=-360 °+240 ° 120° 所以与- 角终边相同的角是240 °角, 所以与-120 °角终边相同的角是 它是第三象限角。 它是第三象限角。 (2)640°=360°+280° ) ° ° ° 所以与640°角终边相同的角是 所以与 °角终边相同的角是280° ° 角,它是第四象限角。 它是第四象限角。 (3)-950°12'= -2×360° - 230°12' ) ° × ° ° =-3×360°+129°48' - × ° ° 所以与-950°12'角终边相同的角是 所以与- ° 角终边相同的角是 129°48 '角,它是第二象限角。 ° 角 它是第二象限角。

【例2 】

写出终边落在y轴上的角的集合。 写出终边落在 轴上的角的集合。 轴上的角的集合
o o

终边落在y 解:终边落在y轴正半轴上的角的集合为 终边落在

S1 = β β = 90 + k ? 360 , k ∈ Z = β β = 90o + 2k ?180o , k ∈ Z
S 2 = β β = 270 + k ? 360 , k ∈ Z
o o

{ {

} }

90 + k ? 360
o

o

y

终边落在y 终边落在y轴负半轴上的角的集合为
= β β = 90o + 180o + 2k ?180o , k ∈ Z

{

{

}
o

o

x

= β β = 90 + (2k + 1) ?180 , k ∈ Z
o

故终边落在y 故终边落在y轴上的角的集合为

{

}

}

270o + k ? 360o

S = S1 U S 2

= β β = 90o + 2k ?180o , k ∈ Z U β β = 90o + (2k + 1) ?180o , k ∈ Z

{

= β β = 90o + k ?180o , k ∈ Z

{

} {

}

}

变式 (1)写出终边在 轴上的角所组成的角的集合; )写出终边在x 轴上的角所组成的角的集合; 坐标轴上的角所组成的角的集合 (2)写出终边在坐标轴上的角所组成的角的集合; )写出终边在坐标轴上的角所组成的角的集合; 第三象限的角所组成的角的集合 (3)写出终边在第三象限的角所组成的角的集合; )写出终边在第三象限的角所组成的角的集合;

六:练习
⒈把 1990 1 2 ′ 写成α + k ? 360 (0 ≤ α < 360 , k ∈ Z ) 的形式, 并判定它是第几象限角: 的形式 并判定它是第几象限角:
o

o

o

o

解:

′是与1990o12′终边相同的角 ∴190 12
o

′ = 190o12′ + 5 × 360o Q1990 12
o

Q190 12′属于第三象限
o

∴1990 12′属于第三象限
o

小时20分钟 ⒉时钟走过3小时 分钟,则分钟转过的角的度数 时钟走过 小时 分钟, 为多少? 为多少? 解:

? 3 × 360 ? 120 = ?1200
o o

o

七:小结
1.任意角 任意角 的概念 2.象限角 象限角

正角:射线按逆时针方向旋 正角: 转形成的角 负角: 负角:射线按顺时针方向 旋转形成的角 零角: 零角:射线不作旋转形成的角 1)置角的顶点于原点 1)置角的顶点于原点 2)始边重合于 轴的正半轴 始边重合于x轴的正半轴 始边重合于
终边落在第几象限就是第几象限角

3 . 终边与 角a相同的角 a+K·3600,K∈Z ∈

作业: 作业: 习题5.1 习题 2,6 , 习题5.1 习题 A组1(1)( )( ) 组 ( )( )(4) )(3)( B组1,2 组 ,


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