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高中数学【配套课件】4.8正弦定理和余弦定理


数学

苏(文)

§4.8 正弦定理和余弦定理
第四章 三角函数、解三角形

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源

a c b 1.正弦定理:sin A = sin B = sin C = 1.在三角形中,大角对大边,

2R,其中

R 是三角形外接圆的半 径.由正弦定理可以变形: (1)a∶b∶c= sin A∶sin B∶sin C;

大边对大角;大角的正弦 值也较大,正弦值较大的 角也较大,即在△ABC 中, A>B?a>b?sin A>sin B.

(2)a= 2Rsin A ,b= 2Rsin B ,c= 2.根据所给条件确定三角形 a 2Rsin C ;(3)sin A= 2R ,sin B 的形状,主要有两种途径: c b (1)化边为角;(2)化角为边, = 2R ,sin C= 2R 等形式,以 解决不同的三角形问题.
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基础知识 题型分类

并常用正弦(余弦)定理实施 边、角转换.
思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
2 2

难点正本 疑点清源

2.余弦定理:a2= b +c -2bccos A , 1.在三角形中,大角对大边, b2= a2+c2-2accos B ,c2=a2+b2 大边对大角;大角的正弦

-2abcos C
2

.余弦定理可以变
2 2

b +c -a 2bc 形:cos A= ,cos B= 2 a +b2-c2 a2+c2-b2 2ab . 2ac ,cos C=
1 1 3.S△ ABC= absin C= bcsin A= 2 2 1 abc 1 acsin B= = (a+b+c)· 是三角 r(r 2 4R 2 形内切圆的半径),并可由此计算 R、r.
基础知识 题型分类

值也较大,正弦值较大的 角也较大, 即在△ABC 中, A>B?a>b?sin A>sin B. 2.根据所给条件确定三角形 的形状,主要有两种途径: (1)化边为角;(2)化角为边, 并常用正弦(余弦)定理实施 边、角转换.
思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
4.在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情 况如下:
A 为锐角 图形 关系式 解的 个数 a=bsin A 一解 bsin A<a<b 两解 a≥b 一解 a>b 一解 A 为钝角 或直角

难点正本 疑点清源
1.在三角形中,大角对大边, 大边对大角;大角的正弦 值也较大,正弦值较大的 角也较大, 即在△ABC 中, A>B?a>b?sin A>sin B. 2.根据所给条件确定三角形 的形状,主要有两种途径: (1)化边为角;(2)化角为边, 并常用正弦(余弦)定理实施 边、角转换.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2

答案
2

解析

3
4 5

2 - 4 14 5

2 7
2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】 边 c.

利用正弦定理解三角形
在△ABC 中,a= 3,
思维启迪 解析 探究提高

b= 2,B=45° .求角 A、C 和

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】 边 c.

利用正弦定理解三角形
在△ABC 中,a= 3,
思维启迪 解析 探究提高

b= 2,B=45° .求角 A、C 和 已知两边及一边对角或已知两角
及一边, 可利用正弦定理解这个三 角形,但要注意解的个数的判断.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

利用正弦定理解三角形
在△ABC 中,a= 3,
思维启迪 解析
探究提高

b= 2,B=45° .求角 A、C 和
a b 3 2 边 c. 解 由正弦定理得 = , = , sin A sin B sin A sin 45°
∴sin A= 3 . 2

∵a>b,∴A=60° A=120° 或 .
6+ 2 bsin C 当 A=60° 时,C=180° -45° -60° =75° ,c= = ; sin B 2
当 A=120° 时,C=180° -45° -120° =15° , 6- 2 bsin C c= = . sin B 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】 边 c.

利用正弦定理解三角形
在△ABC 中,a= 3,
思维启迪 解析 探究提高

b= 2,B=45° .求角 A、C 和

(1)已知两角及一边可求第三角,解 这样的三角形只需直接用正弦定理 代入求解即可. (2)已知两边和一边对角,解三角形 时,利用正弦定理求另一边的对角 时要注意讨论该角,这是解题的难 点,应引起注意.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

变式训练 1

已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C

所对的边, a=1, 若 b=

π 3, A+C=2B, 则角 A 的大小为________. 6

解 析
π ∵A+C=2B 且 A+B+C=π,∴B= . 3
asin B 1 由正弦定理知:sin A= = , b 2 π 又 a<b,∴A<B,∴A= . 6

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

利用余弦定理求解三角形
在△ABC 中,a、b、c
思维启迪 解析 探究提高

分别是角 A、B、C 的对边,且 cos B b =- . cos C 2a+c (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求 △ABC 的面积.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

利用余弦定理求解三角形
在△ABC 中,a、b、c
思维启迪 解析 探究提高

分别是角 A、B、C 的对边,且 cos B b 由 =- , 利用余弦定理 cos B b cos C 2a+c =- . cos C 2a+c (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求 △ABC 的面积.
转化为边的关系求解.

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

利用余弦定理求解三角形
在△ABC 中,a、b、c
思维启迪 解析
探究提高

分别是角 A、B、C 的对边,且 解 (1)由余弦定理知: a2+c2-b2 a2+b2-c2 cos B b cos B= , C= cos . =- . 2ac 2ab cos C 2a+c (1)求角 B 的大小;
cos B b 将上式代入 =- 得: cos C 2a+c

(2)若 b= 13,a+c=4,求 a2+c2-b2 2ab b ·2 2 2=- , 2ac a +b -c 2a+c △ABC 的面积.
整理得:a2+c2-b2=-ac.
a2+c2-b2 -ac 1 ∴cos B= = =- . 2ac 2ac 2

2 ∵B 为三角形的内角,∴B= π. 3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

利用余弦定理求解三角形
在△ABC 中,a、b、c
思维启迪 解析
探究提高

2 分别是角 A、B、C 的对边,且 (2)将 b= 13,a+c=4,B= π 代入 b2 3 cos B b =- . =a2+c2-2accos B, cos C 2a+c

(1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求 △ABC 的面积.

得 b2=(a+c)2-2ac-2accos B,
? 1? ? ∴13=16-2ac?1-2?,∴ac=3. ? ? ?

1 3 3 ∴S△ABC= acsin B= . 2 4

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

利用余弦定理求解三角形
在△ABC 中,a、b、c
思维启迪 解析 探究提高

分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)根据所给等式的结构特点利用余 cos B b 弦定理将角化边进行变形是迅速解答 =- . cos C 2a+c

本题的关键. (1)求角 B 的大小; (2)熟练运用余弦定理及其推论,同时 (2)若 b= 13,a+c=4,求 还要注意整体思想、方程思想在解题 过程中的运用. △ABC 的面积.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 2 已知 A,B,C 为△ABC 的三个内角,其所对的边 A 分别为 a,b,c,且 2cos2 +cos A=0. 2 (1)求角 A 的值; (2)若 a=2 3,b+c=4,求△ABC 的面积. 2A 解 (1)由 2cos +cos A=0, 2 1 得 1+cos A+cos A=0,即 cos A=- , 2 2π ∵0<A<π,∴A= . 3 (2)由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos A, 2π A= ,则 a2=(b+c)2-bc,又 a=2 3,b+c=4, 3 有 12=42-bc,则 bc=4, 1 故 S△ABC= bcsin A= 3. 2
基础知识 题型分类
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

正弦定理、余弦定理的综合应用
解析 探究提高

(2012· 课标全国)已知 a, 思维启迪 b, 分别为△ABC 三个内角 A, c B, 的对边, C acos C+ 3asin C -b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

正弦定理、余弦定理的综合应用

(2012· 课标全国)已知 a, 思维启迪 解析 探究提高 b, 分别为△ABC 三个内角 A, c 利用正弦定理将边转化为角,再利 B, 的对边, C acos C+ 3asin C 用和差公式可求出 A;面积公式和 -b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c.
余弦定理相结合,可求出 b,c.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】


正弦定理、余弦定理的综合应用
解析 探究提高

(2012· 课标全国)已知 a, 思维启迪 b, 分别为△ABC 三个内角 A, c B, 的对边, C acos C+ 3asin C

(1)由 acos C+ 3asin C-b-c=0 及正弦定理得 sin Acos C+

-b-c=0. 因为 B=π-A-C, (1)求 A;

3sin Asin C-sin B-sin C=0.

所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. (2)若 a=2,△ABC 的面积为
? π? 1 3,求 b,c. ? 由于 sin C≠0,所以 sin?A-6?= . ? 2 ? ?

π 又 0<A<π,故 A= . 3

1 (2)△ABC 的面积 S= bcsin A= 3,故 bc=4. 2 而 a2=b2+c2-2bccos A,故 b2+c2=8.解得 b=c=2.
基础知识 题型分类
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

正弦定理、余弦定理的综合应用

(2012· 课标全国)已知 a, 思维启迪 解析 探究提高 b, 分别为△ABC 三个内角 A, c 在已知关系式中,若既含有边又含 B, 的对边, C acos C+ 3asin C 有角.通常的思路是将角都化成边 -b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c.
或将边都化成角,再结合正、余弦 定理即可求角.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c. π (1)若 c=2,C= ,且△ABC 的面积为 3,求 a,b 的值; 3 (2)若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC 的形状. π 解 (1)∵c=2,C= , 3 ∴由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C 得 a2+b2-ab=4. 1 又∵△ABC 的面积为 3,∴ absin C= 3,ab=4. 2
?a2+b2-ab=4, ? 联立方程组? ?ab=4, ?

解得 a=2,b=2.

(2)由 sin C+sin(B-A)=sin 2A,

得 sin(A+B)+sin(B-A)=2sin Acos A,
基础知识 题型分类
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c. π (1)若 c=2,C= ,且△ABC 的面积为 3,求 a,b 的值; 3 (2)若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC 的形状.

即 2sin Bcos A=2sin Acos A,∴cos A· A-sin B)=0, (sin ∴cos A=0 或 sin A-sin B=0,

当 cos A=0 时,∵0<A<π, π ∴A= ,△ABC 为直角三角形; 2 当 sin A-sin B=0 时,得 sin B=sin A,
由正弦定理得 a=b, 即△ABC 为等腰三角形. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.
基础知识 题型分类
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高考圈题
4.高考中的解三角形问题
典例:(14 分)(2012· 辽宁)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 角 A,B,C 成等差数列. (1)求 cos B 的值; (2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin Asin C 的值.

考 点 分 析

求 解 策 略

规 范 解 答

解 后 反 思

基础知识

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高考圈题
4.高考中的解三角形问题
典例:(14 分)(2012· 辽宁)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 角 A,B,C 成等差数列. (1)求 cos B 的值; (2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin Asin C 的值.

考 点 分 析

求 解 策 略

规 范 解 答

解 后 反 思

本题考查三角形的性质和正弦定理、余弦定理,考查转化能力和运算求 解能力.

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高考圈题
4.高考中的解三角形问题
典例:(14 分)(2012· 辽宁)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 角 A,B,C 成等差数列. (1)求 cos B 的值; (2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin Asin C 的值.

考 点 分 析

求 解 策 略

规 范 解 答

解 后 反 思

根据三角形内角和定理可直接求得 B;利用正弦定理或余弦定理转化到 只含角或只含边的式子,然后求解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析 题型分类·深度剖析
高考圈题
4.高考中的解三角形问题
典例:(14 分)(2012· 辽宁)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 角 A,B,C 成等差数列. (1)求 cos B 的值; (2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin Asin C 的值.

考 点 分 析

求 解 策 略

规 范 解 答

解 后 反 思

(1)解 由已知 2B=A+C,A+B+C=180° ,解得 B=60° , (1)对此类问题的解决,首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调 1 6分 所以 cosy=Aasin(ωx+φ)或 y=Aacos(ωx+φ)的最值, 性求出 B=2. 但要注意对 a 的正 1 负进行讨论,以便确定是最大值还是最小值.(2)再由已知列方程求 (2)解 方法一 由已知 b2=ac,及 cos B= , 2 解.(3)本题的易错点是忽视对参数 a>0 或 a<0 的分类讨论,导致漏解. 根据正弦定理得 sin2B=sin Asin C, 10分
3 所以 sin Asin C=1-cos2B= . 4
基础知识 题型分类
思想方法
14分

练出高分

题型分类·深度剖析 题型分类·深度剖析
高考圈题
4.高考中的解三角形问题
典例:(14 分)(2012· 辽宁)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 角 A,B,C 成等差数列. (1)求 cos B 的值; (2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin Asin C 的值.

考 点 分 析
2

求 解 策 略

规 范 解 答

解 后 反 思

1 方法二 由已知 b =ac,及 cos B= , (1)对此类问题的解决,首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调 2
性求出 y=Aasin(ωx+φ)或+c2-b2 a2+c2-ac 1 但要注意对 a 的正 a2 y=Aacos(ωx+φ)的最值, 根据余弦定理得 cos B= = = , 负进行讨论,以便确定是最大值还是最小值.(2)再由已知列方程求 2ac 2ac 2 解.(3)本题的易错点是忽视对参数 a>0 或 a<0 的分类讨论,导致漏解. 12分 解得 a=c, 3 14分 所以 A=C=B=60° ,故 sin Asin C= . 4
基础知识 题型分类
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析 题型分类·深度剖析
高考圈题
4.高考中的解三角形问题
典例:(14 分)(2012· 辽宁)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 角 A,B,C 成等差数列. (1)求 cos B 的值; (2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin Asin C 的值.

考 点 分 析

求 解 策 略

规 范 解 答

解 后 反 思

(1)在解三角形的有关问题中, 对所给的边角关系式一般要先化为只含边 (1)对此类问题的解决,首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调
性求出 y=Aasin(ωx+φ)或 y=Aacos(ωx+φ)的最值, 之间的关系或只含角之间的关系,再进行判断. 但要注意对 a 的正 负进行讨论,以便确定是最大值还是最小值.(2)再由已知列方程求 (2)在求解时要根据式子的结构特征判断使用哪个定理以及变形的方向. 解.(3)本题的易错点是忽视对参数 a>0 或 a<0 的分类讨论,导致漏解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

方 法 与 技 巧

A B C 1.应熟练掌握和运用内角和定理:A+B+C=π, + + 2 2 2 π = 中互补和互余的情况,结合诱导公式可以减少角的 2 种数.
2.正、余弦定理的公式应注意灵活运用,如由正、余弦定 理结合得 sin2A=sin2B+sin2C-2sin B· C· A, sin cos 可以 进行化简或证明.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

失 误 与 防 范

1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求 另一边的对角,进而求出其他的边和角时,有时可能出现 一解、两解,所以要进行分类讨论.

2.利用正、余弦定理解三角形时,要注意三角形内角和定理 对角的范围的限制.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.(2012· 广东改编)在△ABC 中,若∠A=60° ,∠B=45° ,BC= 3 2,则 AC=________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.(2012· 广东改编)在△ABC 中,若∠A=60° ,∠B=45° ,BC= 2 3 3 2,则 AC=________.

解 析
AC BC 在△ABC 中, = , sin B sin A

2 3 2× 2 BC· B sin ∴AC= = =2 3. sin A 3 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.(2011· 浙江改编)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别 为 a,b,c.若 acos A=bsin B,则 sin Acos A+cos2B= ________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.(2011· 浙江改编)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别 为 a,b,c.若 acos A=bsin B,则 sin Acos A+cos2B= ________. 1

解 析
∵acos A=bsin B,∴sin Acos A=sin Bsin B,
即 sin Acos A-sin2B=0,∴sin Acos A-(1-cos2B) =0,
∴sin Acos A+cos2B=1.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 a =2bcos C,则此三角形一定是________三角形.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 a =2bcos C,则此三角形一定是________三角形. 等腰

解 析
因 为 a = 2bcos C , 所 以 由 余 弦 定 理 得 : a = a2+b2-c2 2b· ,整理得 b2=c2,因此三角形一定是等 2ab 腰三角形.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.(2012· 湖南改编)△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60° ,则 BC 边上的高等于________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.(2012· 湖南改编)△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60° ,则 3 3 BC 边上的高等于________. 2

解 析
设 AB=a,则由 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos B 知 7= a2+4-2a,即 a2-2a-3=0,∴a=3(负值舍去).

3 3 3 ∴BC 边上的高为 AB· B=3× = sin . 2 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

π 1 5.(2011· 北京)在△ABC 中,若 b=5,∠B= ,sin A= , 4 3 则 a=________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

π 1 5.(2011· 北京)在△ABC 中,若 b=5,∠B= ,sin A= , 4 3 5 2 则 a=________. 3

解 析
a b 根据正弦定理应有 = , sin A sin B

1 5× 3 5 2 bsin A ∴a= = = . sin B 3 2 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.(2011· 福建)若△ABC 的面积为 3,BC=2,C=60° ,则 边 AB 的长度等于________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.(2011· 福建)若△ABC 的面积为 3,BC=2,C=60° ,则 边 AB 的长度等于________. 2

解 析
由于 S△ABC= 3,BC=2,C=60° , 1 3 ∴ 3= ×2· AC· ,∴AC=2, 2 2

∴△ABC 为正三角形.∴AB=2.

基础知识

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9 7.在△ABC 中,若 AB= 5,AC=5,且 cos C= ,则 10 BC=________.

解 析

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专项基础训练
5 6 7 8 9

9 7.在△ABC 中,若 AB= 5,AC=5,且 cos C= ,则 10

4或5 BC=________. 解 析
设 BC = x , 则 由 余 弦 定 理 AB2 = AC2 + BC2 - 9 2 2AC· BCcos C 得 5=25+x -2· x· ,即 x2-9x+ 5· 10 20=0,解得 x=4 或 x=5.

基础知识

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专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(13 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, A 2 5 → → 且满足 cos = ,AB· =3. AC 2 5 (1)求△ABC 的面积; (2)若 b+c=6,求 a 的值.

解 析

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(13 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, A 2 5 → → 且满足 cos = ,AB· =3. AC 2 5 (1)求△ABC 的面积; (2)若 b+c=6,求 a 的值.
解 (1)∵cos A 2 5 A 3 = ,∴cos A=2cos2 -1= , 2 5 2 5

解 1 1 4 析 ∴S△ABC=2bcsin A=2×5×5=2.

4 → → ∴sin A= .又AB· =3,∴bccos A=3,∴bc=5. AC 5

(2)由(1)知,bc=5,又 b+c=6,
基础知识 题型分类
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4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(13 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, A 2 5 → → 且满足 cos = ,AB· =3. AC 2 5 (1)求△ABC 的面积; (2)若 b+c=6,求 a 的值.
根据余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bccos A

解 析

3 =36-10-10× =20,∴a=2 5. 5

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9 2B+C 9. 分)在△ABC 中, b、 分别为角 A、 C 的对边, (14 a、 c B、 4sin 2 7 -cos 2A= . 2 (1)求 A 的度数; (2)若 a= 3,b+c=3,求 b、c 的值.

解 析

基础知识

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专项基础训练
5 6 7 8

9 2B+C 9. 分)在△ABC 中, b、 分别为角 A、 C 的对边, (14 a、 c B、 4sin 2 7 -cos 2A= . 2 (1)求 A 的度数; (2)若 a= 3,b+c=3,求 b、c 的值. B+C π A 解 (1)∵B+C=π-A,即 = - , 2 2 2 7 7 2B+C 2A 由 4sin -cos 2A= ,得 4cos -cos 2A= , 2 2 2 2 解 7 2 析 即 2(1+cos A)-(2cos A-1)=2,
整理得 4cos2A-4cos A+1=0,即(2cos A-1)2=0. 1 ∴cos A= ,又 0° <A<180° ,∴A=60° . 2
基础知识 题型分类
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4

专项基础训练
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9 2B+C 9. 分)在△ABC 中, b、 分别为角 A、 C 的对边, (14 a、 c B、 4sin 2 7 -cos 2A= . 2 (1)求 A 的度数; (2)若 a= 3,b+c=3,求 b、c 的值. b2+c2-a2 (2)由 A=60° ,根据余弦定理 cos A= , 2bc b2+c2-a2 1 即 = ,∴b2+c2-bc=3, ① 2bc 2 解 又 b+c=3, ②

析 ∴b2+c2+2bc=9.




①-③整理得:bc=2. ?b=1, ?b=2, ? ? ? 解②④联立方程组得 或? ?c=2, ?c=1. ? ?
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B组
3

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4
5 6 7 8

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专项能力提升
8

7 6 5 1 3 4 2 1.(2012· 上海改编)在△ABC 中,若 sin2A+sin2B<sin2C,
则△ABC 的形状是________三角形.

解 析

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专项能力提升
8

7 6 5 1 3 4 2 1.(2012· 上海改编)在△ABC 中,若 sin2A+sin2B<sin2C,

钝角 则△ABC 的形状是________三角形. 解 析
a b c 由正弦定理知 = = =2R, sin A sin B sin C a b c ∴sin A= ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R
∵sin2A+sin2B<sin2C,
a2 b 2 c2 ∴ 2+ 2< 2,∴a2+b2<c2, 4R 4R 4R

a2+b2-c2 ∴cos C= <0, 2ab
∴C 为钝角,∴△ABC 为钝角三角形.

基础知识

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专项能力提升
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2.(2011· 辽宁改编)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边 b 分别为 a,b,c,asin Asin B+bcos2A= 2a,则 = a ________.

解 析

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专项能力提升
4
5 6 7 8

2.(2011· 辽宁改编)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边 b 分别为 a,b,c,asin Asin B+bcos2A= 2a,则 = a
2 ________.

解 析
∵asin Asin B+bcos2A= 2a,
∴sin Asin Asin B+sin Bcos2A= 2sin A,
b sin B ∴sin B= 2sin A,∴ = = 2. a sin A

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3. (2012· 湖北改编)设△ABC 的内角 A, C 所对的边分别为 a, B, b, c,若三边的长为连续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acos A, 则 sin A∶sin B∶sin C=__________.

解 析

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3

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4
5 6 7 8

3. (2012· 湖北改编)设△ABC 的内角 A, C 所对的边分别为 a, B, b, c,若三边的长为连续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acos A,

6∶5∶4 则 sin A∶sin B∶sin C=__________. 解 析
∵A>B>C,∴a>b>c.
设 a=b+1,c=b-1,由 3b=20acos A 得 b2+?b-1?2-?b+1?2 3b=20(b+1)× . 2b?b-1?

化简,得 7b2-27b-40=0. 8 解得 b=5 或 b=- (舍去),∴a=6,c=4. 7
∴sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4.
基础知识 题型分类
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4
5 6 7 8

4.在△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边长, 已知 a,b,c 成等比数列,且 a2-c2=ac-bc,则∠A= ________,△ABC 的形状为______三角形.

解 析

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4
5 6 7 8

4.在△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边长, 已知 a,b,c 成等比数列,且 a2-c2=ac-bc,则∠A= ________,△ABC 的形状为______三角形. 60° 正

解 析
∵a,b,c 成等比数列,∴b2=ac.

又 a2-c2=ac-bc,∴b2+c2-a2=bc. b2+c2-a2 bc 1 在△ABC 中,由余弦定理得 cos A= = = , 2bc 2bc 2 2 b 2 ∴∠A=60° b =ac,即 a= , .由 c 代入 a2-c2=ac-bc,整理得(b-c)(b3+c3+cb2)=0,
∴b=c.∴△ABC 为正三角形.
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4
5 6 7 8

5.在△ABC 中,若∠A=60° ,b=1,S△ABC= 3,则 a+b+c 的值为________. sin A+sin B+sin C

解 析

基础知识

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思想方法

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3

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4
5 6 7 8

5.在△ABC 中,若∠A=60° ,b=1,S△ABC= 3,则 2 39 a+b+c 的值为________. 3 sin A+sin B+sin C

解 析
1 ∵S△ABC= 3,即 bcsin A= 3,∴c=4. 2

由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A=13,∴a= 13,

a+b+c a 2 13 2 39 ∴ = = = . 3 sin A+sin B+sin C sin A 3

基础知识

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8

7 6 5 1 3 4 2 6.在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c. tan C tan C b a 若 + =6cos C,则 + 的值是______. a b tan A tan B

解 析

基础知识

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8

7 6 5 1 3 4 2 6.在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c. tan C tan C b a 4 若 + =6cos C,则 + 的值是______. a b tan A tan B
b a 由 + =6cos C,得 b2+a2=6abcos C. a b tan C tan C 化简整理得 2(a2+b2)=3c2,将 + 切化弦, tan A tan B

解 sin2C 析 = sin C · sin C = . cos C sin Asin B cos Csin Asin B

sin C cos A cos B sin C sin ?A+B? 得 · ( + )= · cos C sin A sin B cos C sin Asin B

sin2C c2 根据正、余弦定理得 = cos Csin Asin B a2+b2-c2 ab· 2ab 2 2 2c 2c = 2 = =4. a +b2-c2 3 2 2 c -c 2 基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2

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4
5 6 7 8

7.(14 分)(2012· 浙江)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 2 a,b,c.已知 cos A= ,sin B= 5cos C. 3 (1)求 tan C 的值; (2)若 a= 2,求△ABC 的面积.

解 析

基础知识

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1 2

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4
5 6 7 8

7.(14 分)(2012· 浙江)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 2 a,b,c.已知 cos A= ,sin B= 5cos C. 3 (1)求 tan C 的值; (2)若 a= 2,求△ABC 的面积.
2 解 (1)因为 0<A<π,cos A= , 3 5 2 得 sin A= 1-cos A= . 3
又 5cos C=sin B=sin(A+C)
=sin Acos C+cos Asin C=
所以 tan C= 5.

解 析

5 2 cos C+ sin C, 3 3

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1 2

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4
5 6 7 8

7.(14 分)(2012· 浙江)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 2 a,b,c.已知 cos A= ,sin B= 5cos C. 3 (1)求 tan C 的值; (2)若 a= 2,求△ABC 的面积.
(2)由 tan C= 5,得 sin C=
于是 sin B= 5cos C= 5 , 6

5 1 ,cos C= . 6 6

解 析

a c 由 a= 2及正弦定理 = ,得 c= 3. sin A sin C
1 5 设△ABC 的面积为 S,则 S= acsin B= . 2 2

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8.(14 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c,且满足 csin A=acos C. (1)求角 C 的大小; ? π? ? (2)求 3sin A-cos?B+ ?的最大值,并求取得最大值时角 4? ? ? A,B 的大小.

解 析

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8.(14 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c,且满足 csin A=acos C. (1)求角 C 的大小; ? π? ? (2)求 3sin A-cos?B+ ?的最大值,并求取得最大值时角 4? ? ? A,B 的大小.
解 (1)由正弦定理得 sin Csin A=sin Acos C.

因为 0<A<π,所以 sin A>0,从而 sin C=cos C. 解 π 又 cos C≠0,所以 tan C=1,则 C= . 4 析 3π (2)由(1)知,B= -A, 4 ? π? ? 于是 3sin A-cos?B+4?= 3sin A-cos(π-A) ? ? ? ? π? ? = 3sin A+cos A=2sin?A+6?. ? ? ? 基础知识 题型分类 思想方法

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5 6 7 8

8.(14 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c,且满足 csin A=acos C. (1)求角 C 的大小; ? π? ? (2)求 3sin A-cos?B+ ?的最大值,并求取得最大值时角 4? ? ? A,B 的大小.
3π π π 11π 因为 0<A< ,所以 <A+ < . 4 6 6 12

解 析

? π? π π π ? 从而当 A+ = ,即 A= 时,2sin?A+6?取最大值 2. ? 6 2 3 ? ?

综上所述, 3sin

? π? ? A-cos?B+4?的最大值为 ? ? ?

π 5π 2,此时 A= ,B= . 3 12

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