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【步步高】(全国通用)2016版高考数学大二轮总复习 增分策略 第二篇 第1讲 选择题的解法技巧课件


第二篇

掌握技巧,快速解答客观题

第1讲 选择题的解法技巧

内容索引

题型概述

方法四 数形结合法
方法五 构造法

方法一 直接法
方法二 特例法 方法三 排除法

方法六 估算法
选择题突破练

r />
题型概述 选择题考查基础知识、基本技能,侧重于解题的严谨性

和快捷性,以“小”“巧”著称.解选择题只要结果,
不看过程,更能充分体现学生灵活应用知识的能力. 解题策略:充分利用题干和选项提供的信息作出判断, 先定性后定量,先特殊后推理,先间接后直接,先排除 后求解,一定要小题巧解,避免小题大做.

方法一 直接法 直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、法 则和公式等知识,通过严密地推理和准确地运算,从而 得出正确的结论,然后对照题目所给出的选项 “对号入 座”,作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算

较简单的题目常用直接法.

例1
2

x2 (1)(2015· 课标全国Ⅰ)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: 2 -

→ → y =1 上的一点,F1,F2 是 C 的两个焦点,若MF1· MF2<0, 则 y0 的取值范围是(
? A.? ?- ?

)
? B.? ?- ?

3 3? ? 3,3? ?

3 3? ? 6,6? ?

? 2 2 2 2? ? ? C.?- , 3 ? 3 ? ?

? 2 3 2 3? ? ? D.?- , 3 ? 3 ? ?

解析

由题意知 a= 2,b=1,c= 3,

∴F1(- 3,0),F2( 3,0),
→ → ∴MF1=(- 3-x0,-y0),MF2=( 3-x0,-y0).
→ → ∵MF1· MF2<0,∴(- 3-x0)( 3-x0)+y2 0<0,
2 即 x2 0-3+y0<0.

∵点M(x0,y0)在双曲线上,

2 2 ∴ 2 -y2 = 1 ,即 x = 2 + 2 y 0 0 0,
2 ∴2+2y2 0-3+y0<0,∴-

2 x0

3 3 3 <y0< 3 .故选 A.

答案 A

(2)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 a π 5 = 3,A=3,cos B= 5 ,则 b 等于( C ) 8 5 2 5 4 5 12 5 A. 5 B. 5 C. 5 D. 5

2 5 解析 由题意可得,△ABC 中,sin B= 1-cos B= 5 , a b 再由正弦定理可得sin A=sin B,
2

3 4 5 b 即 π=2 5,解得 b= 5 . sin 3 5

思维升华

涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直
接法.只要推理严谨,运算正确必能得出正确的答

案.平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能
力,不能一味求快导致快中出错.

跟踪演练 1

1 (1)数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=3,且

对任意正整数 m、n,都有 am+n=am· an,若 Sn<a 恒成立,则 实数 a 的最小值为(
1 A.2 2 B.3

)
3 C.2 D.2

解析 对任意正整数m、n,都有am+n=am· an,取m=1,
an+1 1 则有 an+1=an· a1? a =a1=3, n

1 1 故数列{an}是以3为首项,以3为公比的等比数列, 1 1 3?1-3n? 1 1 1 则 Sn= = (1 - n)< , 1 2 3 2 1-3 1 * 由于 Sn<a 对任意 n∈N 恒成立,故 a≥2, 1 即实数 a 的最小值为2,选 A.

答案 A

(2)(2015· 四川 ) 执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为 ( )
3 B. 2 1 D.2

3 A.- 2 1 C.-2

解析 每次循环的结果依次为:
k=2,k=3,k=4,k=5>4,
5π 1 ∴S=sin 6 =2.选 D.

答案 D

方法二 特例法 从题干(或选项)出发,通过选取特殊情况代入,将问题特 殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位臵,进行判 断.特殊化法是“小题小做”的重要策略,要注意在怎样 的情况下才可使用,特殊情况可能是:特殊值、特殊点、 特殊位臵、特殊函数等.

例2

??x-a?2,x≤0, ? (1)(2014· 上海)设 f(x)=? 1 ?x+x+a,x>0. ?

若 f(0)是 f(x)

的最小值,则 a 的取值范围为(

)

A.[-1,2]
解析

B.[-1,0]

C.[1,2]

D.[0,2]

??x+1?2,x≤0, ? 若 a=-1,则 f(x)=? 1 ?x+x-1,x>0, ?

易知f(-1)是f(x)的最小值,排除A,B;

?x2,x≤0, ? 若 a=0,则 f(x)=? 1 ?x+x,x>0, ?

易知f(0)是f(x)的最小值,故排除C.D正确. 答案 D

(2) 已知等比数列 {an} 满足 an>0 , n = 1,2,3 , ? ,且 a5· a2n - 5
= 22n(n≥3) ,当 n≥1 时, log2a1 + log2a3 + ? + log2a2n - 1 等

于( C )
A.n(2n-1) B.(n+1)2 C.n2 D.(n-1)2

解析 因为a5· a2n-5=22n(n≥3),
所以令n=3,代入得a5· a1=26,

再令数列为常数列,得每一项为8,
则log2a1+log2a3+log2a5=9=32.

结合选项可知只有C符合要求.

思维升华

特例法具有简化运算和推理的功效,比较适用于题目

中含有字母或具有一般性结论的选择题,但用特例法
解选择题时,要注意以下两点: 第一,取特例尽可能简单,有利于计算和推理; 第二,若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结 论相符,则应选另一特例情况再检验,或改用其他方 法求解.

跟踪演练2 A.-3

(1)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和 B.-1C.1 D.3

奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)等于( C ) 解析 ∵f(x)-g(x)=x3+x2+1,

∴f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1.
∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,

∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).
∴f(x)+g(x)=-x3+x2+1.

∴f(1)+g(1)=-1+1+1=1.

cos B → (2)已知 O 是锐角△ABC 的外接圆圆心, ∠A=60° , AB sin C · cos C → → + sin B · AC=2m· AO,则 m 的值为( )

3 A. 2

B. 2

C.1

1 D.2

解析 如图,当△ABC为正三角形时,
A=B=C=60°,取D为BC的中点,
1 → 1 → → 2→ → AO=3AD,则有 AB+ AC=2m· AO, 3 3

1 → → 2→ ∴ (AB+AC)=2m×3AD, 3
1 → 4 → ∴ · 2AD=3mAD, 3 3 ∴m= 2 ,故选 A.

答案 A

方法三 排除法 排除法也叫筛选法或淘汰法,使用排除法的前提条件是 答案唯一,具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备 选答案进行 “筛选 ”,将其中与题干相矛盾的干扰项逐

一排除,从而获得正确答案.

例3 的是(

(1)(2015· 课标全国Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年

我国二氧化硫排放量 (单位:万吨)柱形图 .以下结论不正确
)

A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

解析

从2006年,将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较,得到

2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大,A选项正确; 2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多,B选项正确; 虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些,但自2006年以来,整体 呈递减趋势,即C选项正确;

自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关,D选项错误,故
选D.

答案 D

(2)(2015· 浙江)函数 象可能为( )

? 1? ? f(x)=?x-x ? ?cos ? ?

x(-π≤x≤π 且 x≠0)的图

解析

1 ∵f(x)=(x-x)cos x,∴f(-x)=-f(x),

∴f(x)为奇函数,排除A,B;
当x→π时,f(x)<0,排除C.故选D. 答案 D

思维升华

排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题 . 当题 目中的条件多于一个时,先根据某些条件在选项中找

出明显与之矛盾的予以否定,再根据另一些条件在缩
小选项的范围内找出矛盾,这样逐步筛选,直到得出

正确的答案.

跟踪演练 3 是( )

1 2 π (1)已知 f(x)=4x +sin(2+x),则 f′(x)的图象

1 2 π 1 2 解析 f(x)=4x +sin(2+x)=4x +cos x, 1 2 1 故 f′(x)=(4x +cos x)′=2x-sin x,记 g(x)=f′(x),

1 1 其定义域为 R,且 g(-x)=2(-x)-sin(-x)=-(2x-sin x) =-g(x),

所以g(x)为奇函数,所以排除B,D两项,
1 π g′(x)=2-cos x,显然当 x∈(0,3)时,g′(x)<0, π g(x)在(0,3)上单调递减,故排除 C.选 A.

答案 A

(2)(2015· 北京 ) 设 {an} 是等差数列,下列结论中正确的是 ( ) A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0
C.若 0<a1<a2,则 a2> a1a3

D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0

解析 设等差数列{an}的公差为d,

若a1+a2>0,a2+a3=a1+d+a2+d=(a1+a2)+2d,
由于d正负不确定,因而a2+a3符号不确定,故选项A错; 若a1+a3<0,a1+a2=a1+a3-d=(a1+a3)-d, 由于d正负不确定,因而a1+a2符号不确定,故选项B错; 若0<a1<a2,可知a1>0,d>0,a2>0,a3>0,
2 2 ∴a2 - a a = ( a + d ) - a ( a + 2 d ) = d >0,∴a2> a1a3,故选 2 1 3 1 1 1

项 C 正确;

若a1<0,则(a2-a1)· (a2-a3)=d· (-d)=-d2≤0,
故选项D错.

答案 C

方法四 数形结合法 在处理数学问题时,能够将抽象的数学语言与直观的几何

图形有机结合起来,通过对规范图形或示意图形的观察分
析,将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取 值范围等)与某些图形结合起来,利用图象的直观性,化抽 象为直观,化直观为精确,从而使问题得到解决,这种方 法称为数形结合法.



4

设 函 数

g(x) = x2 - 2(x∈R) , f(x) = 则 f(x)的值域是(
B.[0,+∞) 9 D.[-4,0]∪(2,+∞)

?g?x?+x+4,x<g?x?, ? ?g?x?-x,x≥g?x?,

)

9 A.[-4,0]∪(1,+∞) 9 C.[-4,+∞)

解析 由x<g(x)得x<x2-2,∴x<-1或x>2; 由x≥g(x)得x≥x2-2,∴-1≤x≤2.
?x2+x+2,x<-1或x>2, ∴f(x)=? 2 ?x -x-2,-1≤x≤2.
? ??x+1?2+7,x<-1或x>2, 2 4 ? 即 f(x)=? 12 9 ? ?x-2? -4,-1≤x≤2. ? ?

当x<-1时,f(x)>2; 当x>2时,f(x)>8. ∴当x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,函数的值域为(2,+∞). 9 当-1≤x≤2 时,-4≤f(x)≤0. 9 ∴当 x∈[ -1,2] 时,函数的值域为[-4,0]. 9 综上可知,f(x)的值域为[-4,0]∪(2,+∞). 答案 D

思维升华

数形结合法是依靠图形的直观性进行分析的,用这种 方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质,并能

迅速地得到结果 . 使用数形结合法解题时一定要准确
把握图形、图象的性质,否则会因为错误的图形、图

象得到错误的结论.

跟踪演练 4

函数

?1? ? ?|x-1| f(x)=?2? +2cos ? ?

πx(-2≤x≤4)的所有

零点之和等于(

)

A.2
解析 由

B.4

C.6

D.8
πx=0,

?1? ?|x-1| f(x)=? +2cos ?2? ? ?

?1? ?|x-1| 得? =-2cos πx, ?2? ? ? ?1? ?|x-1| 令 g(x)=? (-2≤x≤4),h(x)=-2cos ?2? ? ?

πx(-2≤x≤4),

? ?? ?1?x-1 ?1? ?? ? , ? ?|x-1| 又因为 g(x)=?2? =??2? ? ? ?2x-1, ?

1≤x≤4, -2≤x<1.
?1? ? |x - 1| g(x) = ? ( - 2≤x≤4) 和 ?2? ? ?

在同一坐标系中分别作出函数

h(x)=-2cos πx(-2≤x≤4)的图象(如图),
由图象可知,函数 对称,
?1? ?|x-1| g(x)=? 关于 ?2? ? ?

x=1

又x=1也是函数h(x)=-2cos πx(-2≤x≤4)的对称轴,
所以函数
?1? ?|x-1| g(x)=? (-2≤x≤4)和 ?2? ? ?

h(x)=-2cos πx(-2≤

x≤4)的交点也关于 x=1 对称,且两函数共有 6 个交点,

所以所有零点之和为6. 答案 C

方法五 构造法

构造法是一种创造性思维,是综合运用各种知识和方法, 依据问题给出的条件和结论给出的信息,把问题作适当 的加工处理,构造与问题相关的数学模式,揭示问题的 本质,从而沟通解题思路的方法.

例5

已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,且对于?x∈R,
)

均有f(x)>f′(x),则有(

A.e2 016f(-2 016)<f(0),f(2 016)>e2 016f(0)
B.e2 016f(-2 016)<f(0),f(2 016)<e2 016f(0)

C.e2 016f(-2 016)>f(0),f(2 016)>e2 016f(0)
D.e2 016f(-2 016)>f(0),f(2 016)<e2 016f(0)

解析

f?x? 构造函数 g(x)= ex ,

f′?x?ex-?ex?′f?x? f′?x?-f?x? 则 g′(x)= = , x x 2 e ?e ?

因为?x∈R,均有f(x)>f′(x),并且ex>0,
所以g′(x)<0,
f?x? 故函数 g(x)= ex 在 R 上单调递减,

所以g(-2 016)>g(0),g(2 016)<g(0),
f?-2 016? f?2 016? 即 -2 016 >f(0), e2 016 <f(0), e

也就是e2 016f(-2 016)>f(0),f(2 016)<e2 016f(0).

答案 D

思维升华

构造法求解时需要分析待求问题的结构形式,特别 是研究整个问题复杂时,单独摘出其中的部分进行

研究或者构造新的情景进行研究.

跟踪演练 5

(1)(2015· 课标全国 Ⅱ) 设函数 f′(x) 是奇函数

f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,
则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )

A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞) 解析 因为f(x)(x∈R)为奇函数,f(-1)=0, 所以f(1)=-f(-1)=0.
f?x? 当 x≠0 时,令 g(x)= x ,

则g(x)为偶函数,且g(1)=g(-1)=0.

则当 x>0

?f?x?? xf′?x?-f?x? ? ? 时,g′(x)=? ?′= <0, 2 x x ? ?

故g(x)在(0,+∞)上为减函数,在(-∞,0)上为增函数.
所以在(0,+∞)上,当0<x<1时,
f?x? g(x)>g(1)=0? x >0?f(x)>0;

在(-∞,0)上,当x<-1时,
f?x? g(x)<g(-1)=0? x <0?f(x)>0.

综上,得使f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1), 选A. 答案 A

(2) 若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等,即 AB = CD , AC

=BD,AD=BC,给出下列五个命题:
①四面体ABCD每组对棱相互垂直; ②四面体ABCD每个面的面积相等; ③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大 于90°而小于180°; ④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分;

⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三
角形的三边长.

其中正确命题的个数是(
A.2 解析 B.3 C.4 D.5

)

构造长方体,使三组对棱恰好是长方体的三组平行

面中异面的对角线, 在此背景下,长方体的长、宽、高分别为x,y,z. 对于①,需要满足x=y=z,才能成立;

因为各个面都是全等的三角形 ( 由对棱相等易证 ),则四面
体的同一顶点处对应三个角之和一定恒等于 180°,故②

正确,③显然不成立;
对于④,由长方体相对面的中心连线相互垂直平分判断④ 正确; 每个顶点出发的三条棱的长恰好分别等于各个面的三角形 的三边长,⑤显然成立.故正确命题有②④⑤. 答案 C

方法六 估算法 由于选择题提供了唯一正确的选项,解答又无需过程, 因此,有些题目不必进行准确的计算,只需对其数值特 点和取值界限作出适当的估计,便能作出正确的判断, 这就是估算法.估算法往往可以减少运算量,但是加强了 思维的层次.

例6 A.6

(1)已知x1是方程x+lg x=3的根,x2是方程x+10x=3 B.3C.2 D.1

的根,则x1+x2等于( B ) 解析 因为x1是方程x+lg x=3的根, 所以2<x1<3,x2是方程x+10x=3的根,所以0<x2<1, 所以2<x1+x2<4.

(2)如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 3 是边长为 3 的正方形,EF∥AB,EF=2,EF 与平面 ABCD 的距离为 2,则该多面体的体积为( 9 A.2 B.5 C.6 15 D. 2 )

解析 该多面体的体积比较难求, 可连接BE、CE,

问题转化为四棱锥 E - ABCD 与三棱锥 E - BCF 的体积之和,
1 1 而 VE-ABCD=3S· h=3×9×2=6,

所以只能选D.
答案 D

思维升华

估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行 求解的方法 . 当题目从正面解析比较麻烦,特值法又

无法确定正确的选项时 ( 如难度稍大的函数的最值或
取值范围、函数图象的变化等问题 ) 常用此种方法确

定选项.

跟踪演练6 (1)设a=log23, b ? 2 ,c ? 3
A.b<a<c C.c<b<a B.c<a<b D.a<c<b
3 2

3 2

?

4 3

,则( B )

解析 因为2>a=log23>1, b ? 2 >2, c ? 3 <1,所以c<a<b.

?

4 3

(2)(2015· 课标全国Ⅱ)如图,长方形ABCD的边
AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边

BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到
A , B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x) ,则 y = f(x) 的图象大 致为( )

解析

π 当点 P 沿着边 BC 运动,即 0≤x≤4时,

在Rt△POB中,|PB|=|OB|tan∠POB=tan x,
在 Rt△PAB 中,|PA|= |AB|2+|PB|2= 4+tan2x,
则 f(x)=|PA|+|PB|= 4+tan2x+tan x,

它不是关于x的一次函数,图象不是线段,故排除A和C; π 当点 P 与点 C 重合,即 x=4时, ?π? π ? ? 2π 由上得 f ?4?= 4+tan 4+tan 4= 5+1, ? ?

π 又当点 P 与边 CD 的中点重合,即 x=2时,

△PAO与△PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形,
故f
?π? ? ? ?2?=|PA|+|PB|= ? ?
?π? ? ? ?2?<f ? ?

2+ 2=2 2,

知f

?π? ? ? ?4?,故又可排除 ? ?

D.

综上,选B. 答案 B

知识方法总结 快速破解选择题

(一)直接法
(二)特例法

(三)排除法
(四)数形结合法

(五)构造法
(六)估算法

选择题突破练 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1.已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x||x|<1},则A∩(?UB) 等于( C ) A.(1,2) B.(1,2]C.[1,2) D.[1,2]

解析 由已知,A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},
?UB={x|x≥1或x≤-1},

所以,A∩(?UB)=[1,2),选C.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

2.(2015· 安徽)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( A )

A.y=cos x
C.y=ln x

B.y=sin x
D.y=x2+1

解析 由于y=sin x是奇函数; y=ln x是非奇非偶函数; y=x2+1是偶函数但没有零点; 只有y=cos x是偶函数又有零点.

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3.(2015· 湖南 ) 执行如图所示的程序框图,如果输入 n = 3 , 则输出的S等于(
6 A.7 8 C.9 3 B.7 4 D.9

)

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解析

1 1 第一步运算:S= = ,i=2; 1×3 3

1 1 2 第二步运算:S=3+ =5,i=3; 3×5
2 1 3 第三步运算:S=5+ =7,i=4>3; 5×7
3 故 S=7,故选 B. 答案 B

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4.(2015· 浙江)存在函数f(x)满足:对任意x∈R都有(
A.f(sin 2x)=sin x B.f(sin 2x)=x2+x C.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1|
解析 π π 排除法,A 中,当 x1=2,x2=-2时,

)

f(sin 2x1)=f(sin 2x2)=f(0),而sin x1≠sin x2,∴A不对; B同上;

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2 C 中,当 x1=-1,x2=1 时,f(x2 + 1) = f ( x 1 2+1)=f(2),

而|x1+1|≠|x2+1|,∴C不对,故选D. 答案 D

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?|sin x|,x∈[-π,π], 5.已知函数 f(x)=? x1,x2,x3,x4,x5 ?lg x,x>π,

是方程 f(x)=m 的五个不等的实数根,则 x1+x2+x3+x4+x5 的取值范围是( )

A.(0,π) C.(lg π,1)

B.(-π,π) D.(π,10)

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解析 函数f(x)的图象如图所示,

结合图象可得x1+x2=-π,x3+x4=π,

若f(x)=m有5个不等的实数根,
需lg π<lg x5<1,得π<x5<10,

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

又由函数f(x)在[-π,π]上对称,
所以x1+x2+x3+x4=0,

故x1+x2+x3+x4+x5的取值范围为(π,10).
答案 D

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

6.如图,在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点
P、Q满足A1P=BQ,过P、Q、C三点的截面

把棱柱分成两部分,则其体积之比为( B ) A.3∶1 B.2∶1
C.4∶1 D. 3∶1 解析 将P、Q臵于特殊位臵:P→A1,Q→B,

此时仍满足条件A1P=BQ(=0), 则有 VC-AA B=VA -ABC ?
1 1

VABC ? A1B1C1 3

,

故选B.

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7.(2015· 湖北)设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.若存在实 数t,使得[t]=1,[t2]=2,?,[tn]=n同时成立,则正整数 n的最大值是( A.3 ) B.4 C.5 D.6

解析 [t]=1,则1≤t<2;[t2]=2, 则2≤t2<3??[tn]=n,则n≤tn<n+1.

要使得上述式子同时成立,等价于上述不等式有交集.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

[t]=1,则1≤t<2.①
[t2]=2,则2≤t2<3.② 明显不等式组①②有交集, 故存在t使得[t]=1与[t2]=2同时成立; [t3]=3,则3≤t3<4.则 3 ? t ? 4
1 2 1 3 1 3 1 2

1 3

1 3
1 3

.③
1 3

因为 2 ? 3 ? 4 ? 3 ,则存在 3 ? t ? 4 使得①②③同时成立;

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

[t4]=4,则4≤t4<5,则4 ? t ? 5 .④ 同理,可以求得存在 3 ? t ? 5 使得①②③④同时成立; [t5]=5,则5≤t5<6.则 5 ? t ? 6 .⑤
1 5 1 5

1 4

1 4

1 3

1 4

因为 6 ? 3 ,故 5 ? t ? 6 与 3 ? t ? 5 交集为空集. 所以n的最大值是4.故选B.
答案 B

1 5

1 3

1 5

1 5

1 3

1 4

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8.函数y=xcos x+sin x的图象大致为( D )

解析 函数y=xcos x+sin x为奇函数,排除B, π 取 x=2,排除 C; 取x=π,排除A,故选D.

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9.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1<0,且S2 015=0,则当 Sn取得最小值时,n的取值为( A.1 009 B.1 008 )

C.1 007或1 008 D.1 008或1 009 解析 等差数列中,Sn的表达式为n的二次函数, 且常数项为0, 故函数Sn的图象过原点, 又a1<0,且存在n=2 015使得Sn=0,

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

2 015 可知公差 d>0,Sn 图象开口向上,对称轴 n= 2 ,

于是当n=1 007或n=1 008时,Sn取得最小值,选C. 答案 C

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10. 已知四面体 P - ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上,若
PB⊥ 平面ABC , AB⊥AC ,且AC =1 ,PB =AB =2,则球O

的表面积为( C ) A.7π B.8πC.9π D.10π 解析 依题意,记题中的球的半径是R,
可将题中的四面体补形成一个长方体,

且该长方体的长、宽、高分别是2,1,2,
于是有(2R)2=12+22+22=9,4πR2=9π,

所以球O的表面积为9π.

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2 11.若 a=2 ,b=logπ3,c=log2 2 ,则有( A )
0.5

A.a>b>c C.c>a>b
解析
2

B.b>a>c D.b>c>a
2

1 1 ∵3 >π,∴logπ3 >logππ?logπ3>2,即2<b<1,
0.5

2 1 而 a=2 = 2>1,c=log2 2 =-2,∴a>b>c.

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12.若圆x2+ y2= r2(r > 0) 上恰好有相异两点到直线 4x -3y+ 25=0的距离等于1,则r的取值范围是( D )

A.[4,6]

B.[4,6) C.(4,6] D.(4,6)

解析 考查选项可知,本题选择的关键是r能否等于4或6,

故可逐一检验,
由于圆心到直线4x-3y+25=0的距离为5, 则r=4或6时均不符合题意,故选D.

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13.已知m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,
给出下列命题:

①若α⊥β,m∥α,则m⊥β;
②若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,则α⊥β; ③若m⊥β,m∥α,α⊥β; ④若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β. 其中正确命题的序号是( A.①④ ) B.②④ C.②③ D.①③

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解析

当α⊥β,m∥α时,有m⊥β,m∥β,m?β等多种可

能情况,所以①不正确;
当 m∥α ,n∥β ,且 m∥n 时,α∥β 或 α , β 相交,所以④不 正确,故选C. 答案 C

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14.已知点P是抛物线x2=4y上的一个动点,则点P到点M(2,0) 的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值为(
17 9 A. 2 B. 5 C.2 2 D.2 解析 ∵抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),作图如下,

)

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∵抛物线x2=4y的准线方程为y=-1,
设点P到该抛物线准线的距离为d, 由抛物线的定义可知,d=|PF|, ∴|PM| + d = |PM| + |PF|≥|FM|( 当且仅当F 、 P 、 M 三点共线 时(P在F,M中间)时取等号), ∴ 点 P到点 M(2,0)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和 的最小值为|FM|,

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∵F(0,1),M(2,0),△FOM为直角三角形,
∴|FM|= 5,故选 B.

答案 B

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15.设a、b为两个非零的平面向量,下列说法正确的是( ①若a· b=0,则有|a+b|=|a-b|; ②| a · b|=|a||b|; ③若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|+|b|; ④若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λb. A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

解析

若a· b=0?a⊥b?|a+b|=|a-b|.故①正确,排除

C,D; 若存在实数λ,使得a=λb,等价于a∥b,即a与b方向相 同或相反,而 |a + b| = |a| + |b| 表示 a 与 b 方向相同,故③ 错,则选B. 答案 B

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16. 已知函数 f(x) = 1 - |2x - 1| , x∈[0,1]. 定义: f1(x) = f(x) , f2(x)=f(f1(x)),?,fn(x)=f(fn-1(x)),n=2,3,4,?,满足fn(x) = x 的点 x∈[0,1] 称为 f(x) 的 n 阶不动点,则 f(x) 的 n 阶不动点 的个数是( A.2n ) B.2n2C.2(2n-1) D.2n

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解析

? ?2x, ? 函数 f(x)=1-|2x-1|=? ? 2-2x, ? ?

1 0≤x≤2, 1 2<x≤1,

1 当 x∈[0,2]时,f1(x)=2x=x?x=0, 1 2 当 x∈(2,1]时,f1(x)=2-2x=x?x=3,

∴f1(x)的1阶不动点的个数为2,

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1 当 x∈[0,4]时,f1(x)=2x,

f2(x)=4x=x?x=0,
1 1 当 x∈(4,2]时,f1(x)=2x, 2 f2(x)=2-4x=x?x=5, 1 3 当 x∈(2,4]时,

2 f1(x)=2-2x,f2(x)=4x-2=x?x=3,

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

3 当 x∈(4,1]时,
4 f1(x)=2-2x,f2(x)=4-4x=x?x=5,

∴f2(x)的2阶不动点的个数为22,

以此类推,f(x)的n阶不动点的个数是2n.
答案 D

本节提示 选择题解法: 直接法, 特例法, 排除法, 数形结合法, 构造法,

估算法.


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