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2.1空间点、直线、平面之间的位置关系


第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
知识要点 1. 平面的基本性质 公理 1:如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 公理 2:过 ,有且仅有一个平面。 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们 . 注意:公理 1 的作用:直线在平面上的判定依据; 公理 2 的作用:确定一个平面的依据,用其证明点、线共面; 公理 3 的作用: 判定两个平面相交的依据, 用其证明点在直线上——两平面的公共点 一定在交线上. 2. 空间中直线与直线的位置关系 (1) 空间两条直线的位置关系有且只有三种:

? _ 且仅有一个公共点; ? __________:在同一个平面内,有 ? __________ ? _ 有公共点; ? ? __________:在同一个平面内,没 ? :不在任何平面内,没 有公共点。 ? __________
(2)公理 4:平行于同一条直线的 . 这一性质称为空间平行线 的 . (3) 定 理 : 空 间 中 如 果 一 个 角 的 两 边 与 另 一 个 角 的 两 边 分 别 平 行 , 那 么 这 两 个 角 。 (4)已知两条异面直线 a,b,经过空间任一点 O 作直线 a ? ∥a, b ? ∥b,我们把 a ? 与 b ? 所 成的 叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) 如果两条异面直线所成的角是 。 直角,那么我们就说 。 注意:(1).常用平面衬托法画两条异面直线 (2). ① a?, b? 所成的角的大小与点 O 的选择无关,为了简便,点 O 通常取在异面直线的一 条上; ②异面直线所成的角的范围为 , ③如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直,记作 a ? b . 3. 空间中直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种: 直线在平面内:——有 个公共点; 直线在平面外:直线与平面相交—— 公共点 直线与平面平行—— 公共点 4. 空间中平面与平面的位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有两种: 两个平面平行—— ; 两个平面相交—— ; 典型例题

例 1:.如图, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 已知 E、F 分别是 AB、BC 的中点, 求证: EF//A1C1

D1 A1 D A F B1

C1

C

B E 例 2.一个长方体木块如图所示, 要经过平面 A1C1 内一点 P 和棱 BC 将木块锯开, 应怎样画线?

D1 P· A1 D B1

C1

C

B 例 3.如图: 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, P 为棱 BB1 的中点, 画出由 A1 , C1 , P 三点所确定 的平面α 与长方体表面的交线. D1 A1 D A B B1 P C C1

A

例 4.已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体. (1)正方体的哪些棱所在的直线与直线 BC1 是异面直线; (2)求异面直线 AA1 与 BC 所成的角; (3)求异面直线 BC1 和 AC 所成的角. D1 A1 D A B B1 C C1

课堂检测 1.下列推断中,错误的是( ). A. A ? l , A ? ? , B ? l , B ? ? ? l ? ? B. A ? ? , A ? ? , B ? ? , B ? ? ? ? ? ? ? AB C. l ? ? , A ? l ? A ? ? D. A, B, C ? ? , A, B, C ? ? ,且 A、B、C 不共线 ? ? , ? 重合 2.下列结论中,错误的是( ) A.经过三点确定一个平面 B.经过一条直线和这条直线外一点确定一个平面 C.经过两条相交直线确定一个平面 D.经过两条平行直线确定一个平面 3.用符号表示下列语句,并画出相应的图形: (1)直线 a 经过平面 ? 外的一点 M; (2)直线 a 既在平面 ? 内,又在平面 ? 内;

4.如图,试根据下列要求,把被遮挡的部分改为虚线: (1)AB 没有被平面 ? 遮挡; (2)AB 被平面 ? 遮挡

5.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, (1) AA1 与 CC1 是否在同一平面内? (2)点 B, C1 , D 是否在同一平面内? (3)画出平面 AC1 与平面 BC1 D 的交线,平面 ACD1 与平面 BDC1 的交线.

6.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 以上都有可能 7.直线 l 与平面 ? 不平行,则( ). A. l 与 ? 相交 B. l ? ? C. l 与 ? 相交或 l ? ? D. 以上结论都不对

).

8. 若两个平面内分别有一条直线, 这两条直线互相平行, 则这两个平面的公共点个数 ( A. 有限个 B. 无限个 C. 没有 D. 没有或无限个

) .

' 9 如果 OA ∥ O' A' , OB ∥ O' B' , 那么 ?AOB 与 ?AO' B' 系).
' 10.如图,已知长方体 ABCD-A'B'C'D' 中, AB ? 3 , AD ? 3 , AA ? 1 .

(大小关

(1) BC 和 AC 所成的角是多少度? (2) AA 和 BC 所成的角是多少度?
'

'

'

'

11.下图是正方体平面展开图,在这个正方体中: ① BM 与 ED 平行; ② CN 与 BE 是异面直线; ③ CN 与 BM 成 60?角; ④ DM 与上四个说法中,正确说法的序号依次是
N D C M

.

E

A

B F

12.已知空间四边形 ABCD 各边长与对角线都相等,求 AB 和 CD 所成的角的大小.

课后作业 1.下列说法中正确的是( ). A. 空间不同的三点确定一个平面 B. 空间两两相交的三条直线确定一个平面 C. 空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形 D. 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内 2.给出下列说法,其中说法正确的序号依次是 ① 梯形的四个顶点共面; ② 三条平行直线共面; ③ 有三个公共点的两个平面重合; ④ 每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面. .

3.已知空间四点中无任何三点共线,那么这四点可以确定平面的个数是 4.下面四个叙述语(其中 A,B 表示点, a 表示直线, ? 表示平面) ① ? A ? ? , B ? ? ,? AB ? ? ; ②? A ? ? , B ? ? ,? AB ? ? ; ③? A ? a, a ? ? ,? A ? ? ; ④? A ?? , a ? ? ,? A ? a . 其中叙述方式和推理都正确的序号是

.

5.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 M,N 分别是 AA1,D1C1 的中点,过点 D,M, N 三点的平面与正方体的下底面 A1B1C1D1 相交于直线 l , (1)画出直线 l ; (2)设 l ? A1B1 ? P ,求 PB1 的长; (3)求 D1 到 l 的距离.

6.两条直线 a,b 分别和异面直线 c, d 都相交,则直线 a,b 的位置关系是( ). A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线 C. 可能是平行直线 D. 可能是异面直线,也可能是相交直线 7.E、F、G、H 是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点, (1)EFGH 是 形; (2)若空间四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 垂直,则 EFGH 是 形; (3)若空间四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相等,则 EFGH 是 形. 8.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则这条直线与另一平面的位置关系 是 . 9.正方体各面所在平面将空间分成( )个部分. A. 7 B. 15 C. 21 D. 27 10.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面( ). A. 平行 B. 相交 C. 平行或垂合 D. 平行或相交 11.正方体 AC1 中,E,F 分别是 A1B1,B1C1 的中点,求异面直线 DB1 与 EF 所成角的大小.

12.三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱垂直底面, ∠ BCA=90° ,点 D1、F1 分别是 A1B1、A1C1 的中点.若 BC=CA=CC1,求 BD1 与 AF1 所成的 角的余弦值.


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