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2014年高考数学(理)二轮专题复习知能提升演练:1-5-2点、直线、平面之间的位置关系 Word版含解析]


第2讲

点、直线、平面之间的位置关系

一、选择题 1.(2013· 杭州质检)设 l 是直线,α,β 是两个不同的平面 A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β B.若 l∥α,l⊥β,则 α⊥β C.若 α⊥β,l⊥α,则 l⊥β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β 解析 设 α∩β=a,若直线 l∥a,且 l?α,l?β,则 l∥α,l∥β,因此 α 不一定 ( ).

平行于 β,故 A 错误; 由于 l∥α,故在 α 内存在直线 l′∥l,又因为 l⊥β,所以 l′⊥β,故 α⊥β, 所以 B 正确; 若 α⊥β,在 β 内作交线的垂线 l,则 l⊥α,此时 l 在平面 β 内,因此 C 错误; 已知 α⊥β,若 α∩β=a,l∥a,且 l 不在平面 α,β 内,则 l∥α 且 l∥β,因此 D 错误. 答案 B

9 2.(2013· 山东高考)已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为4,底 面是边长为 3的正三角形.若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 5π A.12 π C.4 π B.3 π D.6 ( ).

解析

1 3 3 如图所示:S△ABC=2× 3× 3×sin 60° = 4 .

3 3 9 ∴VABC-A1B1C1=S△ABC×OP= 4 ×OP=4,∴OP= 3. 3 2 又 OA= 2 × 3×3=1, π? OP ? ∴tan∠OAP=OA= 3,由∠OAP∈?0,2?, ? ? π 得∠OAP=3. 答案 B

3.设 a,b 是不同的直线,α,β 是不同的平面,则下列命题: ①若 a⊥b,a∥α,则 b∥α;②若 a∥α,α⊥β,则 a⊥β; ③若 a⊥β,α⊥β,则 a∥α;④若 a⊥b,a⊥α,b⊥β,则 α⊥β. 其中正确命题的个数是 A.0 C.2 解析 B.1 D.3 ①当 a⊥b,a∥α 时,b 与 α 可能相交,所以①错误.②中 a⊥β 不一 ( ).

定成立.③中 a?α 或 a∥α,所以错误.④正确,所以正确的命题只有一个. 答案 B

4.如图所示,四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结 论中不正确的是 ( ).

A.AC⊥SB B.AB∥平面 SCD

C.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 解析 易证 AC⊥平面 SBD, 因而 AC⊥SB, A 正确; AB∥DC, DC?平面 SCD,

故 AB∥平面 SCD,B 正确;由于 SA,SC 与平面 SBD 的相对位置一样,因 而所成的角相同. 答案 D

5.如图所示,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45° ,∠BAD =90° .将△ADB 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成三棱锥 A-BCD. 则在三棱锥 A-BCD 中,下列命题正确的是 ( ).

A.平面 ABD⊥平面 ABC B.平面 ADC⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC 解析 在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45° ,∠BAD=90° ,

∴BD⊥CD. 又平面 ABD⊥平面 BCD,且平面 ABD∩平面 BCD=BD, ∴CD⊥平面 ABD, ∴CD⊥AB. 又 AD⊥AB,故 AB⊥平面 ADC,从而平面 ABC⊥平面 ADC. 答案 D

二、填空题 6.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上.若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于________.

解析

由于在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,∴AC=2 2.又 E 为 AD

中点,EF∥平面 AB1C,EF?平面 ADC,平面 ADC∩平面 AB1C=AC,∴EF ∥AC,∴F 为 DC 中点, 1 ∴EF=2AC= 2. 答案 2

7.如图,PA⊥⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的一点,E,F 分别是点 A 在 PB,PC 上的射影,给出下列结论:

①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC.其中正确命题的序号 是________. 解析 ∵PA⊥⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,

∴CB⊥PA,CB⊥AC,∴CB⊥平面 PAC. 又 AF?平面 PAC, ∴CB⊥AF. 又∵F 是点 A 在 PC 上的射影, ∴AF⊥PC,又 PC∩BC=C,PC,BC?面 PBC ∴AF⊥平面 PBC 故①③正确.又∵E 为 A 在 PB 上的射影,∴AE⊥PB, ∴PB⊥平面 AEF,故②正确.

而 AF⊥平面 PCB,∴AE 不可能垂直于平面 PBC.故④错. 答案 ①②③

8.(2013· 安徽高考改编)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的 中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面 记为 S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).

1 ①当 0<CQ<2时,S 为四边形; 1 ②当 CQ=2时,S 为等腰梯形; 3 ③当4<CQ<1 时,S 为六边形; ④当 CQ=1 时,S 的面积为 6 . 2

解析

截面 S 与 DD1 的交点为 M, 由平面与平面平行的性质定理知 AM∥PQ,

1 若 0<CQ<2,则 M 在线段 DD1 上(不包括端点)如图 S 为四边形,命题①正确; 1 当 CQ=2时,M 点与 D1 重合,四边形 APQD1 为等腰梯形,命题②正确. 3 ③中,当4<CQ<1 时,连接 AM 交 A1D1 于 N,则截面 S 为五边形 APQRN,命 题③错误.

1 当 CQ=1 时, 截面 S 为菱形, 其对角线长分别为 2, 3, 则 S 的面积2· 2· 3 6 = 2 ,故命题④正确. 答案 ①②④

三、解答题 9.(2013· 辽宁高考)如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直圆 O 所在的平面,C 是圆 O 上的点.

(1)求证:BC⊥平面 PAC; (2)设 Q 为 PA 的中点,G 为△AOC 的重心,求证:QG∥平面 PBC. 证明 (1)由 AB 是圆 O 的直径,得 AC⊥BC,

由 PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC,得 PA⊥BC. 又 PA∩AC=A,PA?平面 PAC,AC?平面 PAC, 所以 BC⊥平面 PAC.

(2)连接 OG 并延长交 AC 于 M,连接 QM,QO,由 G 为△AOC 的重心,得 M 为 AC 中点.

由 Q 为 PA 中点,得 QM∥PC, 又 O 为 AB 中点,得 OM∥BC. 因为 QM∩MO=M,QM?平面 QMO, MO?平面 QMO,BC∩PC=C, BC?平面 PBC,PC?平面 PBC.

所以平面 QMO∥平面 PBC. 因为 QG?平面 QMO,所以 QG∥平面 PBC. 10.在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD⊥AB,CD=2AB=4,AD= 2,E 为 CD 的中点, 将△BCE 沿 BE 折起, 使得 CO⊥DE, 其中垂足 O 在线段 DE 内.

(1)求证:CO⊥平面 ABED; (2)问∠CEO(记为 θ)多大时,三棱锥 C-AOE 的体积最大,最大值为多少. 解 (1)在直角梯形 ABCD 中,

CD=2AB,E 为 CD 的中点,则 AB=DE, 又 AB∥DE,AD⊥AB,可知 BE⊥CD. 在四棱锥 C-ABED 中,BE⊥DE,BE⊥CE,CE∩DE=E,CE,DE?平面 CDE, 则 BE⊥平面 CDE.又 BE?平面 ABED, 所以平面 ABED⊥平面 CDE, 因为 CO?平面 CDE, 又 CO⊥DE,且 DE 是平面 ABED 和平面 CDE 的相交直线, 故 CO⊥平面 ABED. (2)由(1)知 CO⊥平面 ABED, 1 1 1 所以三棱锥 C-AOE 的体积 V=3S△AOE×OC=3×2×OE×AD×OC. 由直角梯形 ABCD 中,CD=2AB=4,AD= 2,CE=2. 得在三棱锥 C-AOE 中, OE=CEcos θ=2cos θ,OC=CEsin θ=2sin θ, 2 2 V= 3 sin 2θ≤ 3 , π? π ? 当且仅当 sin 2θ=1,θ∈?0,2?,即 θ=4时取等号(此时 OE= 2<DE,O 落 ? ? 在线段 DE 内),

π 2 故当 θ=4时,三棱锥 C-AOE 的体积最大,最大值为 3 . 11.(2013· 新课标全国Ⅰ改编)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB= AA1,∠BAA1=60° .

(1)证明:AB⊥A1C; (2)若 AB=CB=2,A1C= 6,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积; (3)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成 角的正弦值. (1)证明 如图,取 AB 的中点 O,连接 CO,A1O.

∵CA=CB,∴CO⊥AB, 又∵AA1=AB,得 AA1=2AO, 又∠A1AO=60° , ∴∠AOA1=90° ,即 AB⊥A1O, ∴AB⊥平面 A1OC,又 A1C?平面 A1OC, ∴AB⊥A1C. (2)解 ∵AB=CB=2=AC,∴CO= 3,

又 A1A=AB=2,∠BAA1=60° , ∴在等边三角形 AA1B 中,A1O= 3, ∵A1C2=A1O2+CO2=6, ∴∠COA1=90° ,即 A1O⊥CO, ∴A1O⊥平面 ABC, 3 ∴VABC-A B C = 4 ×22× 3=3.
1 1 1

(3)解

作辅助线同(1)

以 O 为原点,OA 所在直线为 x 轴,OA1 所在直线为 y 轴,OC 所在直线为 z 轴, 建立如图直角坐标系, 则 A(1,0,0), A1(0, 3, 0), B(-1,0,0), C(0,0, 3), → =(1,0, 3),BB → =(-1, 3,0),A → B1(-2, 3,0),则BC 1 1C=(0,- 3, → =0, ? ?n· BC 3 ) , 设 n = (x , y , z) 为 平 面 BB1C1C 的 法 向 量 , 则 ? → =0, ? BB ?n· 1 ?x+ 3z=0, ? 所以 n=( 3,1,-1), ?-x+ 3y=0. → n· A 10 1C → 则 cos<n,A1C > = =- 5 , → |n||A 1 C| 所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 10 . 5 即


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