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2014年高考数学(理)二轮专题复习知能提升演练:1-5-1空间几何体 Word版含解析]


专题五 立体几何 第 1 讲 空间几何体

一、选择题 1. (2013· 长春模拟)在一个几何体的三视图中, 正(主)视图和俯视图分别如图所示, 则相应的侧(左)视图可以为 ( ).

解析

通过正(主)视图和俯视图可看出几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组

合体,故选 D. 答案 D
<

br />2.(2013· 山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如 图所示,则该四棱锥侧面积和体积分别是 ( ).

A.4 5,8 8 C.4( 5+1),3

8 B.4 5,3 D.8,8

解析

1 该四棱锥的直观图如图,所以侧面积为 4×2×2× 5=4 5,体积为

1 8 V=3×2×2×2=3.

答案

B

3.(2013· 新课标全国Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器 高 8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测 得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( ).

500π A. 3 cm3

866π B. 3 cm3

C.

1 372π cm3 3

D.

2 048π cm3 3

解析

作出该球轴截面如图所示,依题意 BE=2,AE=CE=4,设 DE=x,

故 AD=2+x,因为 AD2=AE2+DE2,解得 x=3,故该球的半径 AD=5,所 4 500π 以 V=3πR3= 3 .

答案

A

4.已知矩形 ABCD 的面积为 8,当矩形 ABCD 周长最小时,沿对角线 AC 把 △ACD 折起,则三棱锥 D-ABC 外接的球表面积等于 A.8π C.48 2π 解析 B.16π D.不确定的实数 ( ).

设矩形的两邻边长度分别为 a,b,则 ab=8,

∴2a+2b≥4 ab=8 2,当且仅当 a=b=2 2时等号成立. 此时四边形 ABCD 为正方形,其中心到四个顶点的距离相等,均为 2,无论 怎样折叠, 其四个顶点都在一个半径为 2 的球面上, 这个球的表面积是 4π×22 =16π. 答案 B ).

5. (2013· 新课标全国Ⅰ)某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为(

A.16+8π C.16+16π 解析

B.8+8π D.8+16π

将三视图还原成直观图为:

上面是一个正四棱柱,下面是半个圆柱体. 1 所以 V=2×2×4+2×22×π×4 =16+8π. 故选 A. 答案 A

二、填空题 6.(2013· 陕西高考)某几何体的三视图如图所示,则其体积为________.

解析

由三视图还原几何体为半个圆锥,高为 2,底面半圆的半径 r=1.

1 1 π ∴体积 V=2×3(π×12×2)=3. 答案 π 3

3 2 7.已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 2 ,底面边长为 3,则以 O 为球心,OA 为半径的球的表面积为________. 解析 1 3 2 3 2 设正四棱锥的高为 h,则3×( 3)2h= 2 ,解得高 h= 2 .则底面正方 ?3 2?2 ? 6?2 ? ? +? ? = 6 , S ? 2 ? ?2?


形的对角线长为 2 × 3 = 6 ,所以 OA = 4π( 6)2=24π. 答案 24π



8.(2013· 辽宁高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是________.

解析

由三视图知,该几何体是由一个底面半径为 2,高为 4 的圆柱内挖去

一个底面边长为 2,高为 4 的正四棱柱后剩下的部分,

∴V=(π×22-22)×4=16π-16. 答案 16π-16

三、解答题 9.如图所示是一几何体的直观图、正(主)视图、侧(左)视图、俯视图.

(1)若 F 为 PD 的中点,求证:AF⊥面 PCD; (2)求几何体 BEC-APD 的体积. 证明 (1)由几何体的三视图可知,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,PA⊥面

ABCD,PA∥EB,PA=2EB=4,PA=AD. ∵PA=AD,F 为 PD 的中点,∴PD⊥AF. 又∵CD⊥DA,CD⊥PA,DA∩PA=A,AD?平面 PAD,PA?平面 PAD, ∴CD⊥平面 PAD,∴CD⊥AF. 又∵PD∩CD=D, ∴AF⊥面 PCD. 1 1 1 1 80 (2)VBEC-APD=VC-APEB+VP-ACD=3×2×(4+2)×4×4+3×2×4×4×4= 3 . 10.有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为 r 的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中 水的深度. 解 如图所示,作出轴截面,因轴截面是正三角形,根据切线性质知当球在

容器内时,水的深度为 3r,水面半径 BC 的长为 3r,则容器内水的体积为 V π 4π 5π =V 圆锥-V 球=3( 3r)2· 3r - 3 r 3 = 3 r 3 ,

3 将球取出后,设容器中水的深度为 h,则水面圆的半径为 3 h,从而容器内水 π? 3 ? π 3 的体积为 V′=3? h?2h=9h3,由 V=V′,得 h= 15r. 3 ? ? 11.如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图与侧(左)视图、俯视图.已知 CF =2AD,侧(左)视图是边长为 2 的等边三角形;俯视图是直角梯形,有关数据 如图所示.求该几何体的体积.



取 CF 中点 P,过 P 作 PQ∥CB 交 BE 于 Q,连接 PD,QD,

则 AD∥CP, 且 AD=CP. ∴四边形 ACPD 为平行四边形, ∴AC∥PD. ∴平面 PDQ∥平面 ABC.该几何体可分割成三棱柱 PDQ-CAB 和四棱锥 D- PQEF, ∴V=V 三棱柱 PDQ-CAB+VD-PQEF 1 =2×22sin 1 ?1+2?×2 60° ×2+3× × 3=3 3. 2


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