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空间几何证明知识点习题


高三文科数学复习资料
一、空间基本元素:直线与平面之间位置关系的小结.如下图: 条件 结论 线线平行 线线平行 如果 a∥b,b∥c,那么 a∥c 如果 a∥b,a ? α ,b ? α ,那么 a∥α 线面平行 如果 a∥α ,a ? β ,β ∩α =b,那么 a∥b —— 面面平行 如果α ∥ β , α ∩ γ =a,β ∩γ =b, 那么 a∥b 如果 α ∥

β , a ? α ,那么α ∥β 如果α ∥ β , β ∥ γ ,那么α ∥γ 垂直关系 如果 a⊥α , b ⊥α ,那么 a ∥b —— 如果 a⊥α , a ⊥β ,那么α ∥β

线面平行

面面平行

如果 a ? α , b?α , c ? 如果 a ? α ,b ? α ,a∩ β , d?β , a∥c, b∥d, b=P,a∥β ,b∥β , 那么 a∩b=P,那么α ∥β α ∥β

条件 结论 线线垂直

线线垂直

线面垂直 如果 a⊥α ,b ? α ,那 么 a⊥b

面面垂直 如果三个平面两 两垂直,那么它 们交线两两垂直 如果α ⊥β ,α ∩β =b, a ? α ,a ⊥b,那么 a⊥β ——

平行关系 如果 a∥b,a⊥ c,那么 b⊥c 如果 a⊥α ,b∥ a,那么 b⊥α ——

二垂线定理及逆定理 如果 a⊥b, a⊥c, b?α , c ? α ,b∩c=P,那么 a ⊥α 定义(二面角等于 90 )
0

线面垂直

—— 如果 a⊥α ,a ? β ,那 么β ⊥α

面面垂直

一.选择题
1.(2010 湖北文数)用 a 、 b 、 c 表示三条不同的直线, y 表示平面,给出下列命题: ①若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ;②若 a ⊥ b , b ⊥ c ,则 a ⊥ c ; ③若 a ∥ y , b ∥ y ,则 a ∥ b ;④若 a ⊥ y , b ⊥ y ,则 a ∥ b . A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④ 2.(2010 山东文数)在空间,下列命题正确的是( ). A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 3、(2010 年山东卷)在空间,下列命题正确的是 (A)平行直线的平行投影重合 (B)平行于同一直线的两个平面 (C)垂直于同一平面的两个平面平行 (D)垂直于同一平面的两个平面平行

二、解答题: 1. (2011 年高考山东卷文科 19)(本小题满分 12 分) 如图,在四棱台 ABCD ? A1B1C1D1 中, D1 D ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是平行四边 形, AB=2AD , AD=A1B1 , ?BAD= 60°. (Ⅰ)证明: AA1 ? BD ; (Ⅱ)证明: CC1∥平面A1BD .

2 (2011 年高考全国新课标卷文科 18)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ?DAB ? 60? , AB ? 2 AD, PD ? 底面ABCD , (1)证明: PA ? BD ; (2) 设 PD ? AD ? 1, 求三棱锥 D-PBC 锥的高. E
D a C

p

A

2a

B

3. (2011 年高考福建卷文科 20)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,点 E 在线段 AD 上,且 CE∥ AB。 (1) 求证:CE⊥平面 PAD; (11)若 PA=AB=1,AD=3,CD= 2 ,∠CDA=45° ,求四棱锥 P-ABCD 的体积

4. (2011 年高考湖北卷文科 18)如图,已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面边长为 2,侧棱长 为 3 2 ,点 E 在侧棱 AA1 上,点 F 在侧棱 BB1 上,且 AE ? 2 2, BF ? (Ⅰ)求证: CF ? C1 E (Ⅱ)求二面角 E ? CF ? C1 的大小.

2.

5.(2010 重庆文数 ) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 底面

ABCD, PA ? AB ? 2 ,点 E 是棱 PB 的中点.证明: AE ? 平面 PBC ;

6.(2010 湖南文数)如图所示,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2, M 是棱 CC1 的中点. 证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M.

AB ∥ CD , AC ? BD , 7、 (2010 年全国卷) 如图, 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为等腰梯形, 垂足为 H , PH 是四棱锥的高。 (Ⅰ)证明:平面 PAC ? 平面 PBD ;

P

D A H

C B

(Ⅱ)若 AB ? 6 , ?APB ? ?ADB ? 60°,求四棱锥 P ? ABCD 的体积。

空间图形位置的几何证明
一、选择题 1. 若a、b是异面直线,则以下命 题正确的是 A.至多有一条直线与 a、b都垂直 C.过a至少有一个平面平行与 b A.最小值为?,最大值为? ? ? C.最小值为?,无最大值 A.m ? n,m ∥?,n ∥ ? C.m ∥ n,n ? ?,m ? ? 上的动点,则直线 PO、AE的位置关系 A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.异面但不垂直 B.至多有一个平面分别与 a、b平行 D.过a至少有一个平面垂直与 b B.最小值为?,最大值为

2. 直线a与平面a成?角,a是平面a的斜线,b是平面a内与a异面的任意直线,则 a与b所成的角

?
2

D.无最小值,最大值为 2 3. 对于直线m、n和平面?、?,? ? ?的一个充分条件是 B.m ? n,? ? ? ? m,n ? ? D.m ∥ n,m ? ?,n ? ?

?

4. 如图28,正方体ABCD ? A1 B1C1 D1中,O是底面正方形ABCD的中心,E是D1 D的中点,P是A1 B1

5. 如图直线l、m与平面?、?、?满足:l ? ? ? ?,l ∥?,m ? ?和m ? ?,那么必有 A.? ? ?且l ? m B.? ? ?且m ∥ ? C.m ∥ ?且l ? m
? ? ?

D.? ∥ ?且? ? ?

6. 若平面? ? ?,? ? ? ? l,且点P ? ?,P ? l,则下列命题中的假 命 题 是 A.过点P且垂直于?的直线平行于 ? C.过点P且垂直于?的直线在?内 的一个条件是 A.a ∥?且b  ∥? B.a ∥?且b ? ? C.a ? ?且b ∥ ? D.a ? ?且b ? ? B.过点P且垂直于l的直线在?内 D.过点P且垂直与l的平面垂直与 ?

7.已知? ? l ? ?是大小确定的一个二面 角,若a,b是空间两条直线,则能 是a、b所成的角为定值

8. 设a、b是两条不同的直线, ?、?是两个不同的平面,则 下列四个命题 ①若a ? b,a ? ?,则b ∥? ③a ? ?,? ? ?,则a ∥? 其中正确的命题个数是 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 9. 在下列命题中,真命题 是 A.若直线m,n都平行于平面?,则m ∥ n B.若直线m,n在平面?内的射影依次是一个点 和一条直线,且 m ? n,则n在?内或与平面?平行 C.设二面角? ? l ? ?是直二面角,若直线 m ? l,则m ? ? D.设m,n是异面直线,若 m与平面?平行,则n与?相交 10.已知a,b是异面直线,直线 c平行于直线a,那么c与b A.一定是异面直线 C.不可能是平行直线 二、填空题 11.在?ABC中,?C ? 90?,AB ? 8,?ABC ? 30?,PC ? 面ABC,PC ? 4,P ' 是AB上一动点,则PP' 的最小值为 12.如图30所示,已知三棱锥 P ? ABC中,PA ? PC,BC ? 平面PAC, 下列五个结论正确的是 ①平面PAB ? 平面PBC ③平面PAC ? 平面ABC ⑤平面PBC ? 平面ABC 13.如图31.正方体ABCD ? A1B1C1 D1中过点A做截面, 使正方体的 12条棱所在直线与截面所 成角相等, 试写出满足这样条件的 一个截面 (只需写出一个截面即 可) ②平面PAB ? 平面ABC ④平面PAC ? 平面PAB B.一定是相交直线 D.不可能是相交直线 ②若a ∥?,? ? ?,则? ? ? ④若a ? b,a ? ?,b ? ?,则? ? ?

三、解答题 14.已知矩形ABCD中,AB ? 1,BC ? a (a ? 0), PA ? 平面ABCD,且PA ? 1 ( 1 )问BC边上是否存在一点 Q,使得PQ ? QD,并说明理由

(2)若BC边上有且只有一个点 Q,使得PQ ? QD,求这时二面角 Q ? PD ? A的大小

15.直三棱柱ABC ? A1B1C1中,底面是以 ?ABC为直角的等腰直角三角 形,AC ? 2a,BB1 ? 3a,D为 A1C1的中点,E为B1C的中点,在线段 AA1上是否存在点 F,使CF ? 平面B1 DF,若存在,求出| AF | 若不存在,说明理由

16.已知棱长为 1的正方体ABCD ? A1 B1C1 D1中,E为AB中点,如图 34 ( 1 )求证:A1C ? BD

(2)设P为正方体对角线 A1C上任意一点,问 A1C与平面PEB1所成的角是否有最大值 和最小值, 若有,请求出;若没有 ,请说明理由

专题八

空间图形位置的几何证明(答案)

一、1.C

2.B

3.C

4.B

5.A

6.B

7.D

8.B

9.B

10.C

二、 11.2 7 三、

12.①③

13.平面AD1C或平面AB1 D1或平面AB1C

14.解: (1)设BQ ? x.则QC ? a ? x, QP ? QB ? BA ? AP, QD ? QC ? CD 由QP ? QD ? (QB ? BA ? AP ) ( ? QC ? CD) ? QB ? QC ? BC ? CD ? ? x(a ? x) ? 1 ? x 2 ? ?ax ? 1 ? 0 欲使这个方程有解,必 须a 2 ? 4 ? 0 因此,当a ? 2时,点Q存在;当a ? 2时,只存在一个点 当0 ? a ? 2时,这样的点不存在 (2)当存在唯一点 Q时,a ? 2.此时,由x 2 ? 2 x ? 1 ? 0得x ? 1,即Q点恰为BC之中点,由于平面 PAD 法向量是AB,设平面PQD的法向量为n ? AB ? ? AD ? ? AP,则由n ? QD ? ( AB ? ? AD ? ? AP) ? (QC ? CD ) ? ?1 ? 2? ? 0 及n ? PD ? ( AB ? ? AD ? ? AP) ? ( AD ? AP) ? 4? ? ? ? 0 1 1 解得? ? , ? ? 2,? n ? AB ? AD ? 2 AP, 记二面角为? 2 2 则 cos? ? AB ? n | AB || n | ? 1 1?1? 4 ? 6 6

6 6 15.解析:以B为坐标原点,以 BA、BC、BB1分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标 系 ?? ? arccos ? AC ? 2a, ?ABC ? 90?,? AB ? BC ? 2a ? B(0,0,0), C (0, 2a,0), A( 2a,0,0), A1 ( 2a,0,3a), C1 (0, 2a,3a), B1 (0,0,3a ) 假设存在点F,要使CF ? 平面B1 DF,只要CF ? B1 F,且CF ? B1 D,不妨设| AF | ? b,则 F ( 2a,0, b), CF ? ( 2a,? 2a, b), B1 F ? ( 2a,0, b ? 3a), B1 D ? ( ? CF ? B1 D ? a 2 ? a 2 ? 0,? CF ? B1 D恒成立 B1 F ? CF ? 2a 2 ? b(b ? 3a ) ? 0 ? b ? a或b ? 2a 故当 | AF |? a或2a时,CF ? 平面B1 DF 16.解: (1)证明:以D为坐标原点,以 DA、DC、DD1分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标 系,则: 1 A1 (1,0,0), B1 (1,1,0), C (0,1,0), B1 (1,1,1) E (1, ,0) 2 A1C ? (?1,1,?1), BD ? (?1,?1,0) ? A1C ? BD ? (?1,1,?1), BD ? (?1,?1,0) ? A1C ? BD 2 2 a, a,0) 2 2

(2)令 A1 P ? ? A1C , ? ? [0,1] 1 1 ? BE1 ? (0, ,1), EA1 ? (0,? ,1), A1C ? (?1,1,?1) 2 2 1 ? EP ? EA1 ? A1 P ? (?? , ? ? ,1 ? ? ) 2 平面PEB1的法向量n ? (2 ? 3? ,?2? , ? ) 设A1C与平面PEB1所成角为?,则 sin ? ? | A1C ? n | | A1C | ? | n | ? 2 3 3 10 3 14(? ? ) 2 ? 7 7

3 210 210 当? ? 时, sin ?最大值为 ,?的最大值为arcsin 7 15 15 2 2 当? ? 1时, sin ?最小为 ,?的最小值为arcsin 。 3 3 ? 最大值与最小值均存在


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