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2015高考数学(理)一轮课件:2-9函数模型及其应用


第9讲

函数模型及其应用

知识梳理 1.函数模型及其性质比较

(1)几种常见的函数模型
函数模型 一次函数模型 二次函数模型 函数解析式 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>

0且 与指数函数相关模型 a≠1,b≠0) f(x)=blogax+c(a,b,c为常数, 与对数函数相关模型 a>0且a≠1,b≠0) f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0, 与幂函数相关模型 n≠0)

(2)三种函数模型性质比较 函数

性质 在(0,+∞)上 单调增函数 的单调性 增长速度 越来越快

y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 单调增函数 单调增函数

越来越慢

相对平稳

a 2.“f(x)=x+x ”型函数模型 a 形如 f(x)=x+x (a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型,在 现实生活中有着广泛的应用,常利用基本不等式、导数、函 数单调性求解最值.

辨析感悟
1.关于函数模型增长特点的理解 (1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大. (×) (2)“指数爆炸”是指数型函数 y = a·bx + c(a≠0 , b > 0 , b≠1)增长速度越来越快的形象比喻. (3)幂函数增长比直线增长更快. (×) (×)

2.常见函数模型的应用问题

(4)(2013·长春模拟改编)一个体积为V的棱锥被平行于底面的
平面所截,设截面上部的小棱锥的体积为 y ,截面下部的几 何体的体积为x,则y与x的函数关系的图象可以表示为.(√)

(5)(2014·济宁模拟改编 )某产品的总成本 y(万元) 与产量x( 台) 之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1 x2,x∈(0,240),若 每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时 ( 销售收入不 小于总成本)的最低产量是150台. (√)

[感悟· 提升] 一个区别 三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增

长速度不同,且不在同一个档次上,因此在(0,+∞)上,总 会存在一个 x0, 使 x>x0 时, 有 ax>xn>logax(a>1, n>0). 如 (1)中当 2<x<4 时,2x<x2;如(2)中没强调 b>1;如(3),举 例 y=x 与 y=x,当 x>1 时,y=x 比 y=x 增长慢.

考点一 利用图象刻画实际问题
【例1】 (2013·湖北卷改编)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途 中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行 驶.与以上事件吻合得最好的图象是________.

解析

小明匀速运动时,所得图象为一条直线段,且距离学校

越来越近,故排除①.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距 离不变,故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除②. 答案 ③ 规律方法 抓住两个变量间的变化规律(如增长的快慢、最大、最 小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓 急等)相吻合即可.

【训练1】 如图下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一
个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图 象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正 确的有________.

解析

将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器

中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上 反映出来,图①应该是匀速的,故下面的图象不正确,②中的 变化率应该是越来越慢的,正确;③中的变化率逐渐变慢,然 后逐渐变快,正确;④中的变化率逐渐变快,然后逐渐变慢, 也正确,故只有①是错误的. 答案 ①

考点二 二次函数模型 【例2】 A,B两城相距100 km,在两城之间距A城x(km)处建一

核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站距城市距
离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与 供电量(亿度)之积的0.25倍,若A城供电量为每月 20 亿度,B 城供电量为每月10亿度. (1)求x的取值范围;

(2)把月供电总费用y表示成x的函数;
(3)核电站建在距A城多远,才能使供电总费用y最少?

解 (1)x 的取值范围为 10≤x≤90. 5 (2)y=5x + (100-x)2(10≤x≤90). 2
2

5 15 2 2 (3)因为 y=5x + (100-x) = x -500x+25 000 2 2
2

15? 100?2 50 000 100 50 000 = 2 ?x- 3 ? + 3 ,所以当 x= 3 时,ymin= 3 . ? ? 100 故核电站建在距 A 城 3 km 处,能使供电总费用 y 最少.

规律方法 二次函数模型的应用比较广泛,解题时,根据实际问
题建立二次函数解析式后,可以利用配方法、判别式法、换元 法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题 中的利润最大、用料最省等问题.

【训练 2】 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品, 其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式可 x2 以近似地表示为 y= -48x+8 000,已知此生产线年产量最 5 大为 210 吨. (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并 求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元,那么当年产量为多少 吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少?

y 解 (1)每吨平均成本为x(万元). y x 8 000 则x=5+ x -48≥2 x 8 000 5· x -48=32,

x 8 000 当且仅当 = ,即 x=200 时取等号. 5 x ∴年产量为 200 吨时,每吨平均成本最低为 32 万元.

(2)设年获得总利润为 R(x)万元. x2 则 R(x)=40x-y=40x- 5 +48x-8 000 x2 =- +88x-8 000 5 1 =-5(x-220)2+1 680(0≤x≤210). ∵R(x)在[0,210]上是增函数,∴x=210 时, 1 R(x)有最大值为-5(210-220)2+1 680=1 660. ∴年产量为 210 吨时,可获得最大利润 1 660 万元.

考点三 分段函数模型 【例 3】 (2014· 郴州模拟)某旅游景点预计 2014 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数的和 p(x)(单位: 万人)与 x 的关系近似地满足 1 p(x)= x(x+1)(39-2x)(x∈N*, 且 x≤12). 已知第 x 个月的人 2 均 消 费 额 q(x)( 单 位 : 元 ) 与 x 的 近 似 关 系 是 q(x) = 35-2x?x∈N*,且1≤x≤6?, ? ? ?160 ?x∈N*,且7≤x≤12?. ? ? x (1)写出2014年第x个月的旅游人数f(x)(单位:人)与x的函数
关系式;

(2)试问2014年第几个月旅游消费总额最大,最大月旅游消
费总额为多少元?

解 (1)当 x=1 时,f(1)=p(1)=37, 当 2≤x≤12,且 x∈N*时, 1 1 f(x)=p(x)-p(x -1) = 2 x(x+1)(39 -2x) - 2 (x-1)x(41-2x)= -3x2+40x,验证 x=1 也满足此式,所以 f(x)=-3x2+40x(x ∈N*,且 1≤x≤12).

(2)第 x 个月旅游消费总额为 ?-3x2+40x??35-2x??x∈N*,且1≤x≤6?, ? ? g(x)=? 160 2 * ? - 3 x + 40 x ? · ? x ∈ N ,且7≤x≤12?, ? x ? 即
3 2 * ? ?6x -185x +1 400x?x∈N ,且1≤x≤6?, g(x)=? * ? ?-480x+6 400?x∈N ,且7≤x≤12?.

①当 1≤x≤6,且 x∈N*时,g′(x)=18x2-370x+1 400,令 140 g′(x)=0,解得 x=5 或 x= 9 (舍去). 当 1≤x<5 时,g′(x)>0,当 5<x≤6 时,g′(x)<0, ∴当 x=5 时,g(x)max=g(5)=3 125(万元).

②当7≤x≤12,且x∈N*时,g(x)=-480x+6 400是减函数,∴
当x=7时,g(x)max=g(7)=3 040(万元). 综上,2014年5月份的旅游消费总额最大,最大旅游消费总额为 3 125万元.

规律方法 (1)很多实际问题中,变量间的关系不能用一个关系式
给出,这时就需要构建分段函数模型,如出租车的票价与路程 的函数就是分段函数. (2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等 方法.在求分段函数的最值时,应先求每一段上的最值,然后 比较得最大值、最小值.

【训练3】 在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将
经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给 了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型企业乙,并约定从该店 经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的 开支3 600元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中

有:①这种消费品的进价为每件14元;②该店月销量Q(百件)与
销售价格P(元)的关系如图所示;③每月需各项开支2 000元. (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣

除职工最低生活费的余额最大?并求最大余额;
(2)企业乙只依靠该店,最早可 望在几年后脱贫?



设该店月利润余额为 L,则由题设得

L=Q×(P-14)×100-3 600-2 000,① -2P+50,14≤P≤20, ? ? 由销量图易得 Q=? 3 -2P+40,20<P≤26, ? ? -200?P-19.5?2+450,14≤P≤20, ? ? ? 代入①式得 L=? 61?2 1 250 -150?P- 3 ? + 3 ,20<P≤26, ? ? ? ?

(1)当 14≤P≤20 时,Lmax=450 元, 此时 P=19.5 元; 1 250 61 当 20<P≤26 时,Lmax= 3 元,此时 P= 3 元. 故当 P=19.5 元时,月利润余额最大为 450 元. (2)设可在 n 年内脱贫,依题意有 12n×450-50 000- 58 000≥0,解得 n≥20, 即最早可望在 20 年后脱贫.

1.认真分析题意,合理选择函数模型是解决应用问题的基础. 2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的 定义域.

3.注意问题反馈,在解决函数模型后,必须验证这个数学结果
对实际问题的合理性.

答题模板 3——函数实际应用的建模问题 【典例】 (12 分)(2012· 江苏卷) 如图, 建立平面直角坐标系 xOy, x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米.某 1 炮位于坐标原点. 已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx-20(1 +k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射 程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程. (2)设在第一象限有一飞行物(忽略 其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过 多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.

[规范解答]

1 (1)令 y=0,得 kx-20(1+k2)x2=0,由实际意义和 (2 分)

题设条件知 x>0,k>0,

20k 20 20 故 x= ≤ 2 =10,当且仅当 k=1 时取等号. 2= 1 1+k k+k 所以炮的最大射程为 10 千米. (5 分)

(2)因为 a>0,所以,炮弹可击中目标?存在 k>0,使 3.2=ka 1 -20(1+k2)a2 成立. 即关于 k 的方程 a2k2-20ak+a2+64=0 有正根 ∴判别式 Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0,解得 a≤6. 所以当 a 不超过 6 千米时,可击中目标. (12 分) (8 分) (10 分)

[反思感悟] (1)函数模型应用不当是常见的解题错误,所以,正
确理解题意,选择适当的函数模型是正确解决这类问题的前提 和基础; (2)本题中有的学生不能把炮弹击中目标转化为关于k的一元二次 方程有正根问题,导致失分.

答题模板 解函数应用题的一般程序: 第一步:审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;

第二步:建模——将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立
相应的数学模型; 第三步:求模——求解数学模型,得到数学结论; 第四步:还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意 义;

第五步:反思回顾——对于数学模型得到的数学结果,必须验证
这个数学解对实际问题的合理性.


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