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2014年高考数学(理)二轮专题复习知能提升演练:1-3-2三角恒等变换与解三角形 Word版含解析]


第2讲

三角恒等变换与解三角形

一、选择题 π? 2 ? 1.(2013· 新课标全国Ⅱ)已知 sin 2α=3,则 cos2?α+4?= ? ? 1 A.6 1 C.2 1 B.3 2 D.3 π? π? ? ? ?α+4? 1+cos?2α+2? 1-sin 2α 1 + cos2 π? ? ? ? ? ? 因为 cos2 ?α+4

? = = = ,所以 2 2 2 ? ? ( ).

解析

2 1-3 1 - sin 2 α π 1 ? ? cos2?α+4?= = = 2 2 6,选 A. ? ? 答案 A

2.(2013· 湖南高考)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b,若 2asin B= 3b,则角 A 等于 π A.12 π C.4 解析 在△ABC 中,利用正弦定理得 π B.6 π D.3 ( ).

3 2sin Asin B= 3sin B,∴sin A= 2 . π 又 A 为锐角,∴A=3. 答案 D sin 47° -sin 17° cos 30° 的值是 cos 17° 1 B.-2 3 D. 2 ( ).

3.(2013· 青岛调研) 3 A.- 2 1 C.2

解析 = =

原式=

sin?30° +17° ?-sin 17° cos 30° cos 17°

sin 30° cos 17° +cos 30° sin 17° -sin 17° cos 30° cos 17° sin 30° cos 17° 1 = sin 30° = cos 17° 2. C

答案

4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 a2+b2=2c2,则 cos C 的最小值为 3 A. 2 1 C.2 解析 a2+b2-c2 c2 ∵cos C= 2ab =2ab, 2 B. 2 1 D.-2 ( ).

又 a2+b2≥2ab,∴2ab≤2c2, 1 1 则 cos C≥2,即 cos C 的最小值为2. 答案 C

π 5.(2013· 天津高考)在△ABC 中,∠ABC=4,AB= 2,BC=3,则 sin ∠BAC = 10 A. 10 3 10 C. 10 解析 10 B. 5 5 D. 5 由余弦定理, AC2 = BA2 + BC2 - 2BA· BCcos B = ( 2)2 + 32 - 2× 2 ( ).

π ×3cos4=5. ∴AC= 5,由正弦定理 BC AC = 得 sin ∠BAC sin ∠ABC π 2 3×sin 4 3× 2 3 10 = = 10 . 5 5

BC· sin∠ABC sin ∠BAC= = AC 答案 C

二、填空题 6.(2013· 课标全国Ⅰ改编)已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,且 23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则 b=________. 解析 由 23cos2A+cos 2A=23cos2A+2cos2A-1=0,

1 1 ∴cos2A=25,则 cos A=5. 1 由 a2=b2+c2-2bccos A,得:72=b2+62-12b×5, 解之得 b=5(舍去负值). 答案 5

7.(2013· 福州模拟)已知△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列,则其最大角的 余弦值为________. 解析 ∴b= 设△ABC 的三边 a,b,c 成公比为 2的等比数列, 2a,c=2a. a2+b2-c2 a2+2a2-4a2 2 = =- 2 2ab 4. 2 2a

则 cos C= 答案 -

2 4

π π 8.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B=6,C=4, 则△ABC 的面积为________. 解析 π π 7π 由 B=6,C=4,知 A=12, c = π π,解得 c=2 2. sin 6 sin 4 b

由正弦定理得

1 1 7π 所以三角形的面积为2bcsin A=2×2×2 2sin 12. 6+ 2 7π ?π π? 因为 sin 12=sin?3+4?= 4 , ? ? 1 2 ? 3 1? 所以2bcsin A=2 2× 2 ×? + ?= 3+1. ? 2 2? 答案 三、解答题 3+1

9.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列. (1)求 cos B 的值; (2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin Asin C 的值. 解 (1)由 A,B,C 成等差数列,则 2B=A+C.

又 A+B+C=π, π 1 ∴B=3,故 cos B=2. 1 (2)由已知,b2=ac,又 cos B=2.根据余弦定理, a2+c2-b2 a2+c2-ac 1 得 cos B= =2, 2ac = 2ac π ∴a=c,因此 A=C=B=3, 3 故 sin Asin C=4. 10.(2013· 天津高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 2 bsin A=3csin B,a=3,cos B=3. (1)求 b 的值; π? ? (2)求 sin ?2B-3?的值. ? ? 解 a b (1)在△ABC 中,由sin A=sin B,

且 bsin A=3csin B,a=3, ∴asin B=3csin B,∴c=1, 2 由 b2=a2+c2-2accos B,cos B=3,可得 b= 6. 2 5 (2)由 cos B=3,得 sin B= 3 ,进而得 1 4 5 cos 2B=2cos2B-1=-9,sin 2B=2sin Bcos B= 9 . π? π π 4 5+ 3 ? 所以 sin?2B-3?=sin 2Bcos3-cos 2Bsin3= 18 . ? ? A-B 11. (2013· 四川高考)在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 2cos2 2

3 cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=-5. (1)求 cos A 的值; → → (2)若 a=4 2,b=5,求向量BA在BC方向上的投影. 解 A-B 3 (1)由 2cos2 2 cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=-5,得

3 [cos(A-B)+1]cos B-sin(A-B)sin B-cos B=-5, 3 ∴cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-5. 3 3 则 cos(A-B+B)=-5,即 cos A=-5. 3 4 (2)由 cos A=-5,0<A<π,得 sin A=5, a b bsin A 2 由正弦定理,有sin A=sin B,所以,sin B= a = 2 . π 由题知 a>b,则 A>B,故 B=4, ? 3? 根据余弦定理,有(4 2)2=52+c2-2×5c×?-5?, ? ? 解得 c=1 或 c=-7(舍去). → → → 2 故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B= 2 .


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