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(新课标)高中数学《第二章 推理与证明》章末质量评估 新人教A版选修1-2


章末质量评估(二)
(时间:100 分钟 满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.下列说法中正确的是 ( A.合情推理就是正确的推理 B.合情推理就是归纳推理 C.归纳推理是从一般到特殊的推理过程 D.类比推理是从特殊到特殊的推理过程 答案 D 2.有以下结论: ①已

知 p +q =2,求证 p+q≤2,用反证法证明时,可假设 p+q≥2; ②已知 a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程 x +ax+b=0 的两根的绝对值都小于 1,用反证 法证明时可假设方程有一根 x1 的绝对值大于或等于 1,即假设|x1|≥1. 下列说法中正确的是 ( A.①与②的假设都错误 B.①与②的假设都正确 C.①的假设正确;②的假设错误 D.①的假设错误;②的假设正确 解析 用反证法证题时一定要将对立面找全. 在(1)中应假设 p+q>2.故(1)的假设是错误 的,而(2)的假设是正确的,故选 D. 答案 D 3.凡自然数是整数,4 是自然数,所以 4 是整数.以上三段论推理 ( A.正确 B.推理形式不正确 C.两个“自然数”概念不一致 D.“两个整数”概念不一致 解析 三段论中的大前提,小前提及推理形式都是正确的. 答案 A 3 3 4.用反证法证明命题“如果 a>b,那么 a> b”时,假设的内容应是
-12 3 3

).

).

).

( 3 3 A. a= b 3 3 3 3 C. a= b,且 a< b 答案 D 5.下面几种推理是合情推理的是 ( ①由圆的性质类比出球的有关性质; 3 3 B. a< b 3 3 3 3 D. a= b或 a< b

).

).

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是 180°归纳出所有三角形的内角和都 是 180°; ③某次考试张军成绩是 100 分,由此推出全班同学成绩都是 100 分; ④三角形内角和是 180°,四边形内角和是 360°,五边形内角和是 540°,由此得凸 n 边形内角和是(n-2)·180°. A.①② C.①②④ 解析 ①是类比,②④是归纳推理. 答案 C 6.有一个奇数列 1,3,5,7,9,?,现进行如下分组: 第 1 组含有一个数{1},第 2 组含两个数{3,5};第 3 组含三个数{7,9,11};?试观察每组 内各数之和与其组的编号数 n 的关系为 ( A.等于 n C.等于 n
2

B.①③④ D.②④

).

B.等于 n

3

4

D.等于 n(n+1)
3, 3, 3 3

解析 前三组数分别求和得 1,8,27,即 1 2 3 ,所以猜想第 n 组数的和为 n . 答案 B 7.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:

则第 n 个图案中的白色地面砖有 ( A.4n-2 块 C.3n+3 块 B.4n+2 块 D.3n-3 块
-2-

).

解析 法一 第 1 个图案中有 6 块白色地面砖,第二个图案中有 10 块,第三个图案中有 14 块,归纳为:第 n 个图案中有 4n+2 块. 法二 验 n=1 时,A、D 选项不为 6,排除.验 n=2 时,C 选项不为 10,排除.故选 B. 答案 B 8.函数 f(x)是[-1,1]上的减函数,α 、β 是锐角三角形的两个内角,且 α ≠β ,则 下列不等式中正确的是 ( A.f(sin α )>f(cos β ) C.f(cos α )>f(sin β ) 解析 因为 α 、β 是锐角三角形的两个内角, π π π 所以 α +β > ,所以 >α > -β >0, 2 2 2 B.f(cos α )<f(cos β ) D.f(sin α )<f(sin β ) ).

?π ? 所以 cos α <cos? -β ?=sin β . ?2 ?
而 cos α ∈(0,1),sin β ∈(0,1),

f(x)在[-1,1]上是减函数,
故 f(cos α )>f(sin β ). 答案 C 9.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体 的下列性质,你认为比较恰当的是 ( ①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角相等; ②各个面是全等的正三角形,相邻的两个面所成的二面角相等; ③各个面都是全等的正三角形,同一顶点的任两条棱的夹角相等; ④各棱长相等,相邻两个面所成的二面角相等. A.①④ C.①②③ B.①② D.③ ).

解析 类比推理原则是:类比前后保持类比规则的一致性,而③④违背了这一规则,①② 符合. 答案 B 10.设 P= 1 1 1 1 + + + ,则 log211 log311 log411 log511 ( A.0<P<1 C.2<P<3 B.1<P<2 D.3<P<4
-3-

).

解析 P=log112+log113+log114+log115=log11120, 1=log1111<log11120<log11121=2,即 1<P<2. 答案 B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上) 11.观察下列式子: 1 3 1 1 5 1 1 1 7 1+ 2< ,1+ 2+ 2< ,1+ 2+ 2+ 2< ,?,则可以猜想:当 n≥2 时,有________. 2 2 2 3 3 2 3 4 4 1 1 1 2n-1 解析 左边为 n 项和:1+ 2+ 2+?+ 2,右边为分式,易知 n≥2 时为 . 2 3 n n 1 1 1 2n-1 答案 1+ 2+ 2+?+ 2< 2 3 n n 1 12.若三角形内切圆半径为 r,三边长分别为 a、b、c,则三角形的面积 S= r(a 2 +b+c),根据类比思想,若四面体内切球半径为 R,其四个面的面积分别为

S1、S2、S3、S4,则四面体的体积 V=________.
解析 由类比推理,以球心为顶点,四个面分别为底,将四面体分割为 4 个棱锥,得证. 答案 1 R(S1+S2+S3+S4) 3

→ 1 → → 13.在△ABC 中,D 为 BC 的中点,则 A D = (A B +A C ),将命题类比到三棱 2
锥中去得到一个类比的命题为_______________________________.

→ 1 → → → 答案 在三棱锥 A?BCD 中,G 为△BCD 的重心,则 A G = ·(A B +A C +A D ) 3
14.在数列{an}中,a1=1,且 Sn、Sn+1、2S1 成等差数列(Sn 表示数列{an}的前 n 项和),则 S2、

S3、S4 分别为__________,由此猜想 Sn=________.
解析 由 Sn,Sn+1,2S1 成等差数列, 得 2Sn+1=Sn+2S1, ∵S1=a1=1,∴2Sn+1=Sn+2. 3 令 n=1,则 2S2=S1+2=1+2=3? S2= , 2 同理分别令 n=2,n=3, 7 15 可求得 S3= ,S4= . 4 8 2 -1 3 2 -1 由 S1=1= 0 ,S2= = 1 , 2 2 2
1 2

S3= =

7 4

2 -1 15 2 -1 = 3 , 2 ,S4= 2 8 2

3

4

-4-

2 -1 猜想 Sn= n-1 . 2 答案 3 7 15 2 -1 , , n-1 2 4 8 2
n

n

三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15.(10 分)在不等边△ABC 中,A 是最小角,求证:A<60°. 证明 假设 A≥60°,∵A 是不等边三角形 ABC 的最小角(不妨设 C 为最大角), ∵B>A≥60°,C>A≥60°, ∴A+B+C>180°,与三角形内角和等于 180°矛盾, ∴假设错误,原结论成立,即 A<60°. 1 1 1 1 16.(10 分)设 Sn= + + +?+ ,写出 S1,S2,S3,S4 的值, 1×2 2×3 3×4 n×? n+1? 归纳并猜想出结果. 解 当 n=1,2,3,4 时, 计算得原式的值分别为:

S1= ,S2= ,S3= ,S4= .
观察这 4 个结果都是分数,每个分数的分子与项数对应,且分子比分母恰好小 1. 归纳猜想:Sn=

1 2

2 3

3 4

4 5

n

n+1

.

1 1 1 1 1 1 证明 ∵ =1- , = - ,?, 1×2 2 2×3 2 3 n×? n+1? 1 1 = - . n n+1 1 1 1 1 1 1 1 ∴Sn=1- + - + - +?+ - 2 2 3 3 4 n n+1 =1- 1 n = . n+1 n+1

17.(10 分)先解答(1),再通过类比解答(2).

? π ? 1+tan x; (1)求证:tan?x+ ?= 4 ? 1-tan x ?
1+f? x? (2)设 x∈R 且 f(x+1)= ,试问 f(x)是周期函数吗?证明你的结论. 1-f? x?

(1)证明

? π? tan?x+ ?= 4? ?

π 4 π 1-tan xtan 4 tan x+tan
-5-



1+tan x ; 1-tan x

(2)解 f(x)是以 4 为一个周期的周期函数.证明如下: ∵f(x+2)=f((x+1)+1)= 1+f? 1+ 1-f? = 1+f? 1- 1-f? 1+f? x+1? 1-f? x+1?

x? x? 1 =- , x? f? x? x?
1

∴f(x+4)=f((x+2)+2)=- ∴f(x)是周期函数.

f? x+2?

=f(x),

2an 18.(12 分)若 a1>0、a1≠1,an+1= (n=1,2,?,) 1+an (1)求证:an+1≠an; 1 (2)令 a1= ,写出 a2、a3、a4、a5 的值,观察并归纳出这个数列的通项公式 an; 2 (3)证明:存在不等于零的常数 p,使? (1)证明
?an+p? ?是等比数列,并求出公比 q 的值. ? an ?

2an (采用反证法).假设 an+1=an,即 =an,解得 an=0,1. 1+an

从而 an=an-1=??=a1=0,1, 与题设 a1>0,a1≠1 相矛盾, ∴假设错误. 故 an+1≠an 成立. 1 2 4 8 16 (2)解 a1= 、a2= 、a3= 、a4= 、a5= , 2 3 5 9 17

an=

2

n-1

2

n-1

+1

.

(3)证明 因为 又

an+1+p ? 2+p? an+p = , an+1 2an

an+1+p an+p = ·q, an+1 an

所以(2+p-2q)an+p(1-2q)=0, 因为上式是关于变量 an 的恒等式, 1 故可解得 q= 、p=-1. 2 19.(12 分)在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2 .
n

-6-

(1)设 bn= n-1.证明:数列{bn}是等差数列; 2 (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. (1)证明 ∵an+1=2an+2 , ∴
n

an

an+1
2
n



an
2

n-1

+1,

∵bn=

an
2

n-1



∴bn+1=bn+1, 即 bn+1-bn=1,b1=1, 故数列{bn}是首项为 1,公差为 1 的等差数列. (2)解 由(1)知,bn=n,an=n2
0 1

n-1


n-2

则 Sn=1·2 +2·2 +?+(n-1)·2 2Sn=1·2 +2·2 +?+(n-1)·2 两式相减,得
1 2

+n·2
n

n-1



n-1

+n·2 ,

Sn=n·2n-1·20-21-?-2n-1=n·2n-2n+1.

-7-


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