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2013版高中数学全程学习方略课时训练:3.2.2简单的三角恒等变换(二)(人教A版必修4)


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温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看 比例,答案解析附后。

课时提能演练(三十)/课后巩固作业(三十)
(30 分钟 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.函数 y=cos4x-sin4x+2 的最小正周期是( (A)π (B)2π (C) ) 5

0 分)

π π (D) 2 4 sinα ? cosα 1 ? , 2.(2012·江西高考)若 则 tan2α =( sinα ? cosα 2 3 3 4 4 (A)(B) (C)(D) 4 4 3 3 sin10? ? sin50? 3. 的值为( ) sin35? sin55? 1 1 (A) (B) (C)2 (D)4 4 2

)

4.(易错题)若 cos2θ +cosθ =0,则 sin2θ +sinθ 的值等于( (A)0 (B)± 3 (C)0 或 3

)

(D)0 或 3 或- 3

二、填空题(每小题 4 分,共 8 分)
π tanx 的值为_________. 4 tan2x sin3α 13 = , 6.设α 为第四象限角,且 则 tan2α =__________. sinα 5

5.(2011·江苏高考)已知 tan(x+ )=2,则

三、解答题(每小题 8 分,共 16 分) 7.已知 tanα =- , cosβ = (1)求 tan(α +β )的值; (2)求函数 f(x)= 2 sin(x-α )+cos(x+β )的最大值.
-1-

1 3

5 α ,β ∈(0,π ). , 5

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8.(2012·临沂高一检测)已知函数 f(x)=4cosxsin(x+ )-1. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间[ ? , ]上的最大值与最小值. 【挑战能力】 (10 分)如图,矩形 ABCD 的长 AD= 2 3, 宽 AB=1,A,D 两点分别在 x,y 轴的正半轴 上移动,B,C 两点在第一象限.求 OB2 的最大值.
π π 6 4

π 6

答案解析
1.【解析】选 A.y=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)+2 =cos2x-sin2x+2=cos2x+2,
2π ? π. 2 sinα ? cosα 1 ? , 2.【解析】选 B.∵ sinα ? cosα 2 tanα ? 1 1 ? , ∴ tanα ? 1 2

∴最小正周期 T ?

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tanα=-3, ∴ tan2α ?
2tanα 3 ? . 2 1 ? tan α 4

sin (30? ? 20?) ? sin (30? ? 20?) sin35? cos35? 2sin30?· cos20? cos20? = = =2. 1 1 sin70? sin70? 2 2

3.【解析】选 C.原式=

4.【解析】选 D.由 cos2θ+cosθ=0 得 2cos2θ-1+cosθ=0,所以 cosθ= -1 或 . 当 cosθ=-1 时,有 sinθ=0; 当 cosθ= 时,有 sinθ= ?
1 2 1 2

3 . 2

于是 sin2θ+sinθ=sinθ(2cosθ+1)=0 或 3或- 3. 【误区警示】本题主要考查三角函数的基本运算、同角三角函数关系式以及倍 角公式.解题关键是熟练掌握公式,并注意不能出现丢解错误.
π 4 1 2 2? 1 3 所以 tanx= ,tan2x= 3 = 3 = , 1 8 4 3 1? 9 9 tanx 4 = . 即 tan2x 9 4 答案: 9

5.【解析】因为 tan(x+ )=2,

6.【解析】

sin3α sin(2α ? α) (1 ? 2sin2α)sinα ? 2cos2αsinα = = sinα sinα sinα
13 5 4 5

= 2cos2α+1= , 所以 cos2α= , 又α是第四象限角,所以 sin2α=- ,tan2α=- . 答案: -
3 4 3 5 3 4

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7.【解析】(1)由 cosβ= 得 sinβ=

5 β∈(0,π), , 5

2 5 即 tanβ=2. , 5

1 ? ?2 tanα ? tanβ ∴ tan(α+β)= = 3 =1. 1 ? tanαtanβ 1 ? 2 3 1 (2)∵tanα= - ,α∈(0,π), 3

∴ sinα=

1 3 ,cosα=- . 10 10

∴f(x)= -

3 5 5 5 2 5 sinx- cosx+ cosx- sinx=- 5sinx. 5 5 5 5

∴f(x)的最大值为 5 . 8.【解析】(1)f(x)=4cosxsin(x+ )-1 = 4cosx (
3 1 sinx ? cosx) ? 1 2 2
π 6

? 3sin2x ? 2cos2x ? 1 ? 3sin2x ? cos2x π ? 2sin(2x ? ), 6

∴f(x)的最小正周期为π.
π π π 2π , 4 6 6 3 π π π ∴当 2x ? ? , 即 x= 时,f(x)有最大值 2, 6 2 6 π π π 当 2x+ ? ? , 即 x=- 时,f(x)有最小值-1. 6 6 6 ?? ? 2x ? ? (2) ? ? x ? , π 6

【方法技巧】三角函数求值域的方法 (1)利用单调性,结合函数图象求值域,如转化为 y=Asin(ωx+φ)+b 型的值域问 题.
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(2) 将 所 给 的 三 角 函 数 转 化 为 二 次 函 数 , 通 过 配 方 法 求 值 域 , 如 转 化 为 y=asin2x+bsinx+c 型的值域问题. (3)利用 sinx,cosx 的有界性求值域,通常在定义域为 R 的情况下应用.有时在 隐含条件中产生一些限制条件,影响值域. (4)分离常数法,常用于分式形式的函数. (5)换元法,出现 sinx+cosx,sinx-cosx,sinxcosx 时, 常令 t=sinx+cosx,转化为 二次函数值域的问题.换元前后要注意等价. (6)数形结合法,利用斜率公式等构造图形求最值. 【挑战能力】 【解题指南】设∠OAD=θ,求出 B 点的坐标,建立 OB2 关于θ的函数,求最值. 【解析】过点 B 作 BH⊥OA,垂足为 H.

设∠OAD=θ (0 ? θ ? ), 则?BAH ? ? θ,
OA ? 2 3cosθ,
π 2 π AH= cos( ? θ) ? sinθ, 2

π 2

π 2

BH= sin( ? θ) ? cosθ,

∴ B(2 3cosθ ? sinθ, cosθ),
OB2 ? (2 3cosθ ? sinθ)2 ? cos2θ

= 7 ? 6cos2θ ? 2 3sin2θ
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π 3 π π π 4π 由 0 ? θ ? ,知 ? 2θ ? ? , 2 3 3 3 π 所以当 θ ? 时,OB2取得最大值7 ? 4 3. 12

= 7 ? 4 3sin(2θ ? ).

【方法技巧】揭秘三角函数最值的解法 三角函数最值问题遍及三角乃至立体几何及解析几何中 .本题就是三角函数与 解析几何的交汇命题,其求解策略是:联想 OB2 的计算公式,可知如果确定了点 B 的坐标,便可相应建立 OB2 的函数表达式,又∠OAD 随线段 AD 的变化而变化, 故引入∠OAD 为参变量,结合点的坐标求解,并充分利用三角函数的和、差、倍、 半角公式把 OB2 的表达式化成 Asin(ωx+φ)+k 的形式,最终借助函数的有界性 (或单调性)求最值.

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