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广东省韶关市2014届高三调研试题(二)数学理试题 Word版含答案


绝密★启用前

试卷类型:A

广东省韶关市 2014 届高三第二次高考模拟 数学试题(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卷各题目指定区域内; 如需改动, 先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回. 参考公式:圆柱侧面积公式 S侧 ? 2? rl ,其中 r 是圆柱底面半径, l 为圆柱的母线. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求 1. i 是虚数单位,则复数 z = A.第一象限 C.第三象限
x

2i ? 1 在复平面内对应的点在( i
B.第二象限 D.第四象限 ) D. ( , )



2.函数 f ( x ) ? 2 ? 4 x ? 3 的零点所在区间是( A. ( , )

1 1 4 2

B. ( ?

1 ,0) 4

C. (0, )

1 4

1 3 2 4

3. 在钝角 ?ABC 中, AB ? ( )

3 , AC ? 1 , B ? 30 ? ,则 ?ABC 的面积为

A.

1 4

B.

3 2

C.

3 4

D.

1 2

开始 S=0 n=1 S=S+n

4. 某个几何体的三视图如右上图(其中正视图中的圆 弧是半圆)所示,则该几何体的表面积为( A. 92 ? 14? C. 92 ? 24? B. 82 ? 14? D. 82 ? 14? )

5.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 16 ,则判断框内 的条件( ) A. n ? 6 ? B. n ? 7 ? C. n ? 8 ? D. n ? 9 ? 6. 给出下列四个命题,其中假 命题是( . )

n=n+2 否 是 输出 S

A. 从匀速传递的新产品生产流水线上, 质检员每 10 分钟从中抽取一件新产品进行某项 指标检测,这样的抽样是分层抽样;

结束
- 1 -

B.样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度; C.在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好; D.设随机变量 X 服从正态分布 N (0,1) ,若 P( x ? 1) ? p, 则 P(?1 ? x ? 0) ? 7. 给出如下四个判断:
① ?x0 ? R, e
x0

1 ? p. 2

? 0 ;② ?x ? R + ,2 x ? x 2 ;

③ 设集合 A ? ? x

? x ?1 ? ? 0 ? , B ? x x ? 1 ? a , 则“ a ? 1 ”是“ A ? B ? ? ”的 必要 不充分条件 ; ? x ?1 ?

?

?

④ a , b 为单位向量, 其夹角为 ? ,若 a ? b ? 1 ,则 其中正确的判断个数是: ( A.1 B.2 ) C.3

?

?

?

?

?
3

?? ?? .

D.4

8. 若直角坐标平面内的两不同点 P 、 Q 满足条件:① P 、 Q 都在函数 y ? f ( x) 的图像上;② P 、 Q 关 于原点对称, 则称点对 [ P, Q] 是函数 y ? f ( x) 的一对“友好点对” (注: 点对 [ P, Q] 与 [Q, P] 看作同一对“友

? 1 x ?( ) , x ? 0 好点对”) .已知函数 f ( x) = ? 2 ,则此函数的“友好点对”有( ? ? x 2 ? 4 x, x ? 0 ?
A. 0 B. 1 C .2

)对.

D. 3

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.函数 f ( x) ?

1 6 ? x ? x2

的定义域是________.

10. 已知向量 a ? (sin x, cos x) , b ? (2,?3) ,且 a ∥ b ,则 tan x ? ________ 11. 已知两条平行直线 l1 : 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与 l2 : ax ? 8 y ? 2 ? 0 之间的距离是 12. 抛物线 y ? x 在 A(1,1) 处的切线与 x 轴及该抛物线所围成的图形面积为
2

?

?

?

?

.

13.已知 log 1 ( x ?
2

y ? 4) ? log 1 (3 x ? y ? 2) ,若 x ? y ? ? 恒成立, 则 ? 的取值范围是
2

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)若以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴,曲线 C1 的极坐标方程为:

? 2 ? 4? cos? ? 4? sin? ? 6 ? 0 上的点到曲线 C 2 的参数方程为: ?
小值为 .

? x ? ? 2 ? 2t ? y ? 3 ? 2t

( t 为参数)的距离的最

15. (几何证明选讲选做题)如图所示, AB 是半径等于 3 的圆 O 的直径, CD 是圆 O 的弦, BA , CD 的
- 2 -

C D

延长线交于点 P ,若 PA ? 4 , PD ? 5 , 则 ?CBD ?

B

P O A

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 cos x sin x ? 2 cos x.
2

(1)求 f (

4? ) 的值; 3
? ?? ? 时,求函数 f ( x) 的值域. ? 2?

(2)当 x ? ?0,

17.(本题满分 12 分) 袋中装有大小和形状相同的小球若干个黑球和白球,且黑球和白球的个数比为4:3,从中任取 2 个球 都是白球的概率为 , 现不放回从袋中摸取球,每次摸一球,直到取到白球时即终止,每个球在每一次被 取出的机会是等可能的,用 ? 表示取球终止时所需要的取球次数. (1)求袋中原有白球、黑球的个数; (2)求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

1 7

18.(本题满分 14 分) 如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,

AD ? CD , AB ∥ CD , AB ? AD ? 2 , CD ? 4 , M 为 CE 的
中点. (1)求证: BM ∥平面 ADEF ; (2)求证:平面 BDE ? 平面 BEC ; (3)求平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值.
A D F

E

M

C

B

- 3 -

19.(本题满分 14 分) 已知点 A , B 的坐标分别为 (?2,0) , (2, 0) .直线 AP , BP 相交于点 P ,且它们的斜率之积是 ? 记动点 P 的轨迹为曲线 C . (1)求曲线 C 的方程; (2)设 Q 是曲线 C 上的动点,直线 AQ , BQ 分别交直线 l : x ? 4 于点 M , N ,线段 MN 的中点为 D , 求直线 QB 与直线 BD 的斜率之积的取值范围; (3)在(2)的条件下,记直线 BM 与 AN 的交点为 T ,试探究点 T 与曲线 C 的位置关系,并说明理 由.

1 , 4

20.(本题满分 14 分) 已知正项数列 ? an ? 中,其前 n 项和为 S n ,且 an ? 2 S n ? 1 . (1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)设 Tn 是数列 ? 证: Rn ? Tn .

? ?

? ? ? a1a2 ? an 2 ? ? 的前 n 项和,求 ? 的前 n 项和, Rn 是数列 ? ( a ? 1)( a ? 1) ? ( a ? 1) a ? a 1 2 n ? ? ? ? n n ? 1 ? ?

21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln (x + ) ? ax ,其中 a ? R 且 a ? 0 . (1)讨论 f ( x) 的单调性; (2) 若不等式 f ( x) ? ax 恒成立,求实数 a 取值范围; (3)若方程 f ( x ) ? 0 存在两个异号实根 x1 , x2 ,求证: x1 ? x2 ? 0

1 a

- 4 -

广东省韶关市 2014 届高三第二次高考模拟考试 理科数学参考答案和评分标准
一.选择题: AACAC AAB 1. 解析: z =

2i ? 1 ? 2 ? i, z 对应点在第一象限 , 选 A i
1 4
1 1 1 f ( ) ? 2 2 ? 1 ? 0 ,选 A 2

2. 解析: f ( ) ? 2 4 ? 2 ? 0 ,

3. 解析:由

3 AB AC ? ? ? 得 sin C ? , C ? 120 ,或 C ? 60 (舍去) ,则 A ? 30 ? 2 sin C sin B

S ?ABC ?

1 3 AB ? AC sin A ? .选 C 2 4

4. 解析: 三视图表示的几何体是由长方体和“半圆柱”组成的几何体,其中,长方体的上底面与“半圆 柱”轴截面重合. S ? (16 ? 20) ? 2 ? 20 ? ? ? 2 2 ?

1 ? 2 ? ? ? 2 ? 5 ? 92 ?14 ? ,选 A 2

5. 解析:第一次循环, S ? 1, n ? 3 ,不满足条件,循环。第二次循环, S ? 1 ? 3 ? 4, n ? 5 ,不满足条件, 循环。第三次循环, S ? 4 ? 5 ? 9, n ? 7 ,不满足条件,循环。第四次循环, S ? 9 ? 7 ? 16, n ? 9 ,满足 条件,输出。所以判断框内的条件是 n ? 8 ,选 C 6. 解析:A.选项 A 中的抽样为系统抽样,故此命题为假命题.其它选项为真命题.故选 A 7. 解析: ?x ? R, e ? 0 ,①不正确;当 x ? 2 时, 2 ? x ,②不正确; A ? (?1,1) , B ? (1 ? a,1 ? a) ,
x

x

2

当 a ? 1 时, B ? (0, 2) , A ? B ? ? ,反之,若 A ? B ? ? ,不一定有 a ? 1 ,③不正确;由 a ? b ? 1 得,

?

?

1 ? , ? ?[0, ? ] ,所以 ? ? ? ? ,④正确.选 A 3 2 1 x 8. 解析: 根据题意可知只须作出函数 y ? ( ) ( x ? 0) 的图象关于原点对称的图 2 2 它与函数 y ? ? x ? 4 x( x ? 0) 交点个数即可,由图象可知,只有一个交点.选 B 2 1 二.填空题:9. (?3, 2) ; 10. ? ; 11. 1 , ; 12. ; 13. ?10, ?? ? ; 3 12 cos ? ?
14.

y

象,确定

x O

2 ? ; 15. . 2 6

6 ? x ? x2 ? 0 得 ?3 ? x ? 2 2 10.解析: tan ? ? ? 3 l 2 的方程为,3x ? 4 y ? 1 ? 0 11.解析: 两条直线 l1 : 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与 l2 : ax ? 8 y ? 2 ? 0 平行可得,a ? 6 ,
9.解析:

- 5 -

两直线距离: d ?

c1 ? c2 A ?B
2 2

?

?4 ? 1 32 ? 42

?1

12.解析:函数 y ? x 2 的导数为 y ' ? 2 x ,即切线斜率为 k ? 2 ,所以切线方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 y ? 2 x ? 1 ,

1 ,作图可知,围成的图形是曲边梯形去掉一个直角三角形, 2 1 1 1 1 1 1 所求面积为 ? ( x 2 ? (2 x ? 1))dx ? ? ?1 ? ? ? . 0 2 2 3 4 12
令 y ? 0 ,得 x ?

y

?x ? y ? 4 ? 0 ? 13. 解 析 : 要 使 不 等 式 成 立 , 则 有 ?3 x ? y ? 2 ? 0 ,即 ? x ? y ? 4 ? 3x ? y ? 2 ? ?x ? y ? 4 ? 0 ? ?3 x ? y ? 2 ? 0 , 设 z ? x ? y , 则 y ? x ? z . 作出不等式组对应的平面区域 ?x ? 3 ?
如图,平移直线 y ? x ? z ,由图象可知当直线 y ? x ? z 经过点 B 时,直线的截距最小,此时 z 由?
x O

B

最大 ,

?x ? y ? 4 ? 0 ? y ? ?7 , 解得 ? , 代入 z ? x ? y 得 z ? x ? y ? 3 ? 7 ? 10 , 所以要使 x ? y ? ? 恒成立 , 则 ? ?x ? 3 ?x ? 3

的取值范围是 ? ? 10 ,即 ?10, ?? ? , 14.解析:曲线 C 直角坐标方程 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 2 ,直线 l : x ? y ? 1 ? 0
2 2

圆心到直线距离 d ?

2 3 2 ,所以,曲线 C 上点到 l 的距离的最小值 2 2
B

C D P O A

15. 解析:由割线定理知 PA ? PB ? PC ? PD ? PC ? 8 ,

? CD ? 3 , ?COD 为正三角形, ?COD ?

?
3



由圆的性质,圆周角等于圆心角的一半,得 ?CBD ?

?
6

.

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ?

3 sin 2 x ? 2 cos2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ?

?
6

) ? 1 ….2 分

? f(

4? 8? ? 17? 5? ) ? 2 sin( ? ) ? 1 ? 2 sin ? 1 ? 2 sin ? 1 ?? ?? ?? 4 分 3 3 6 6 6 ? 2s i n ? 1 ? 2 6

?

?? ?? ?? 6 分

(2) f ( x) ?

3 sin 2 x ? 2 cos2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ?

?
6

) ?1

? ? ? 7? ? ? ?? ? x ? ?0, ? ,? 2 x ? ? ? , ? 6 ?6 6 ? ? 2?

?? ?? ?? 8 分

- 6 -

??

? ? 0 ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ? 3 ,即 f ( x) 的值域是 ?0,3?. 6 17.(本题满分 12 分)
(1)依题意设袋中原有 3n 个白球,则有 4n 个黑球. 由题意知 1 ? C 7 C
2 3n 2 7n

1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 2 6

?? ?? ?? 10 分 ?? ?? ?? 12 分

3n(3n ? 1) 3(3n ? 1) , ?? ?? ?? 4 分 2 ? ? 7n ? 7n ? 1? 7 ? 7 n ? 1? 2

即 7n ?1 ? 9n ? 3 ,解得 n ? 1 , 即袋中原有 3 个白球和 4 个黑球. ?? ?? ?? ?? 5 分 (2)依题意, ? 的取值是 1,2,3,4,5 .

3 7 4 3 2 ? ? 2 ,即第 2 次取到白球 P(? ? 2) ? ? ? ; 7 6 7 4 3 3 6 4 3 2 3 3 同理可得, P(? ? 3) ? ? ? ? ; P(? ? 4) ? ? ? ? ? ; 7 6 5 35 7 6 5 4 35 4 3 2 1 3 1 ?? ?? ?? ?? 10 分 P(? ? 5) ? ? ? ? ? ? 7 6 5 4 3 35

? ? 1 ,即第 1 次取到白球, P(? ? 1) ? ;

? 分布列为

?
P

1

2

3

4

5

3 7

2 7

6 35

3 35

1 35

EX ?

3 2 6 3 1 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? 2 ????????????12 分 7 7 35 35 35

18. (本题满分 14 分) (1)证明:取 DE 中点 N ,连结 MN , AN .在△ EDC 中,

E F M

M , N 分别为 EC , ED 的中点,所以 MN ∥ CD ,且

1 1 MN ? CD .由已知 AB ∥ CD , AB ? CD ,所以 2 2

N
D C

MN ∥ AB ,且 MN ? AB .所以四边形 ABMN 为平行四边
所以 BM ∥ AN . 又因为 AN ? 平面 ADEF ,且 BM ? 平面 ADEF ,
A B

形,

- 7 -

所以 BM ∥平面 ADEF .??????????????????????4 分 (2)证明:在正方形 ADEF 中, ED ? AD .又因为 平面 ADEF ? 平面 ABCD ,且平面 ADEF ? 平面 ABCD ? AD , 所以 ED ? 平面 ABCD .所以 ED ? BC .?????????????6 分 在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD ? 2 , CD ? 4 ,可得 BC ? 2 2 . 在△ BCD 中, BD ? BC ? 2 2, CD ? 4 ,所以 BC ? BD .?????????7 分 所以 BC ? 平面 BDE .?????????????8 分 又因为 BC ? 平面 BCE ,所以平面 BDE ? 平面 BEC .????????9 分 (3) (方法一)延长 DA 和 CB 交于 G .在平面 ADEF 内过 A 作 AK ? EG 于 K ,连结 BK .由平面 ADEF ? 平面 ABCD ,
F M E

AB ∥ CD , AD ? CD ,平面 ADEF ? 平面 ABCD = AD ,
得 AB ? 平面ADEF ,于是 AB ? EG . 又 AB ? AK ? A , EG ? 平面 ABK ,所以 BK ? EG , 于是 ?BKA 就是平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角的 K
A

D

C

B

G 平面角.?????????????????????????????12 分 由 Rt ?AKG ? Rt ?EDG,

2 5 AK AG . ? , ED ? AG ? 2, GE ? 2 5 ,得 AK ? 5 DE GE
AK 2 ? AB 2 ? 2 30 . 5

又 AB ? 2 ,于是有 KB ?

2 5 AK 6 ? 5 ? 在 Rt?AKB 中, cos ?BKA ? . BK 2 30 6 5
所以平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值为

6 .???14 分 6

(方法二)由(2)知 ED ? 平面 ABCD ,且 AD ? CD . 以 D 为 原 点 , DA, DC, DE 所 在 直 线 分 别 为 x, y, z 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 . 易 得 的一个法向量 为 B(2,2,0), C(0,4,0), E(0,0,2) . 平 面 A D E F ??? ? n ? ( x, y, z ) 为平面 BEC 的一个法向量,因为 BC ? (?2, 2, 0), , F
z E

. m ? (0,1,0) ??? ? CE ? (0, ?4, 2)
M

设 所

? ?2 x ? 2 y ? 0 以? ,令 x ? 1 ,得 y ? 1, z ? 2 . ? ?4 y ? 2 z ? 0
所以 n ? (1,1, 2) 为平面 BEC 的一个法向量. ??12分 设平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角为 ? .
A

N

D C B x y

- 8 -

则 cos ? ?

|m ?n| 1 6 ? ? . 所 以 平 面 BEC 与 平 面 ADEF 所 成 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为 | m | ? | n | 1? 1 ? 1 ? 4 6

6 .?????????????????????????????14 分 6
19. (本题满分 14 分) 解:(1)设动点 M ( x, y ) ,则

y ?0 y ?0 1 ? ? ? ( x ? ?2 且 y ? 0 ) x?2 x?2 4

所以曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ( x ? ?2 ).?????????????????4 分 4
y0 6 y0 令 x ? 4, 则得 M (4, 直线 BQ ( x ? 2) , ), x0 ? 2 x0 ? 2

(2) 法一: 设 Q( x0 , y0 ) , 则直线 AQ 的方程为 y ?

的方程为 y ?

y0 ( x ? 2) , x0 ? 2

令 x ? 4 ,则得 N (4,

2 y0 ) ,??????????6 分 x0 ? 2



6 y0 2 y0 4x ? 4 4x ? 4 1 ? x0 3 1 ? ) ? 2 y0 ? 20 = 2 y0 ( ? ? 2 y0 ? 0 2 ? 2 ? x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 x0 ? 2 x0 ? 2 ?4 y0 y0
1 ? x0 ) ,∴ k BD y0

∴ D (4,

1 ? x0 ?0 y0 1 ? x0 ? ? ????????????????8 分 4?2 2 y0

故 kQB k BD ?

y0 1 ? x0 1 ? x0 1 1 ? ?? ? ? x0 ? 2 2 y0 2 2( x0 ? 2) 2( x0 ? 2)



?2 ? x0 ? 2 ,∴ ?4 ? x0 ? 2 ? 0 ,

1 1 ?? x0 ? 2 4

∴, ?

1 1 1 1 3 ? ?? ? ?? 2 2( x0 ? 2) 2 8 8

∴ kQB kBD ? ?

3 , 8 3 8

∴直线 QB 与直线 BD 的斜率之积的取值范围为 (? , ??) ???????????10 分 法二:设直线 AQ 的斜率为 k (k ? 0) ,则由题可得直线 BQ 的斜率为 ? 所以直线 AQ 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,令 x ? 4 ,则得 M (4,6k ) , 直线 BQ 的方程为 y ? ?

1 , 4k

1 1 ( x ? 2) ,令 x ? 4 ,则得 N (4, ? ) , 4k 2k
- 9 -

1 ), 4k 1 3k ? ?0 3k 1 4 k ∴ k BD ? ? ? ?????????????????????8 分 4?2 2 8k 1 3k 1 3 1 3 故 kQB kBD ? ? ?( ? ) ? ? ? ?? 2 4k 2 8k 8 32k 8 3 ∴直线 QB 与直线 BD 的斜率之积的取值范围为 (? , ??) ???????????10 分 8
∴ D(4,3k ? (3)法一:由(2)得 M (4,

6 y0 2 y0 ) , N (4, ), x0 ? 2 x0 ? 2

则直线 AN 的方程为 y ?

y0 3 y0 ( x ? 2) ,直线 BM 的方程为 y ? ( x ? 2) ,?12 分 3( x0 ? 2) x0 ? 2
5 x0 ? 8 2 x0 ? 5 3 y0 2 x0 ? 5

y0 ? ? ? y ? 3( x ? 2) ( x ? 2) ?x ? ? ? 0 由? ,解得 ? ? y ? 3 y0 ( x ? 2) ?x ? ? ? x ? 2 0 ? ?

即 T(

5 x0 ? 8 3 y0 , ) ?????12 分 2 x0 ? 5 2 x0 ? 5

5 x0 ? 8 2 ) 2 2 (5 x0 ? 8) 2 ? 9(4 ? x0 ) 2 x0 ? 5 3 y0 2 (5 x0 ? 8) 2 ? 4 ? 9 y0 ? ?( ) ? ∴ 2 2 4(2 x0 ? 5) 4(2 x0 ? 5) 4 2 x0 ? 5 (
?

2 16 x0 ? 80 x0 ? 100 ?1 4(2 x0 ? 5) 2

点 T 在曲线 C 上. ???????????????????????????14 分

法二:由(2)得 M (4,

6 y0 2 y0 ) , N (4, ) x0 ? 2 x0 ? 2



k BM

6 y0 2 y0 ?0 ?0 x0 ? 2 3 y0 x0 ? 2 y0 ? ? ? , k AN ? ????????12 分 4?2 x0 ? 2 4?2 3( x0 ? 2)
2 x0 3 y0 y0 y 1 ? ? ? 2 ? 2 4 ?? x0 ? 2 3( x0 ? 2) x0 ? 4 x0 ? 4 4
2 0

∴ k BM ? k AN ∴

1?

点 T 在曲线 C 上. ??????????????????????14 分

法三:由(2)得, M (4,6k ) , N (4, ?

1 ), 2k



k BM

1 ? ?0 6k ? 0 1 ???????????12 分 ? ? 3k , k AN ? 2k ?? 4?2 4?2 12k
- 10 -

∴ k BM ? k AN ? 3k ? (? 20. (本题满分 14 分)

1 1 )?? 12k 4

∴ 点 T 在曲线 C 上. ????????14 分

解: (1)法一:由 an ? 2 S n ? 1 得 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ,且 a1 ? 2 S1 ? 1 ,故 a1 ? 1 ???????????????1 分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ,故 Sn ? Sn ?1 ? 2 Sn ? 1 ,得 ( Sn ? 1) ? Sn ?1 ,
2

∵正项数列 ? an ? , ∴ Sn ? ∴ ∴ ∴
n

? S ? 是首项为1,公差为1的等差数列.
S n ? n , Sn ? n 2

Sn ?1 ? 1 ???????????????????????????4 分

an ? 2 S n ? 1? 2 n ? .1 ???????????????????????6 分

法二: 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ,且 a1 ? 2 S1 ? 1 ,故 a1 ? 1 ??????????????1 分

(an ? 1) 2 ,?????????????????2 分 4 (an ?1 ? 1)2 当 n ? 2 时, Sn ?1 ? 4 (a ? 1 2) (an ?1 ? 1 2) ? ∴ an ? Sn ? S?n1 ? n , 4 4 整理得 (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ? 2) ? 0
由 an ? 2 S n ? 1 得 S n ? ∵正项数列 ? an ? , an ? an ?1 ? 0 , ∴ ∴

∴ ?a n ?是以 1 为首项, 2 为公差的等差数列,

an ? an?1 ? 2 ,???????????????????????????5 分

an ? 2n ? 1.???????????????????????????6 分 1? 3 ? 5 ?? ? (2n ? 1) 2 (2)证明:先证: ????????7 分 < 2 ? 4 ? 6 ?? ? (2n) 2n ? 1 ? 2n ? 1
.?

2 1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 1? 3 ? 5 ?? ? (2n ? 1) 1 ,??????????????9 分 < 2 ? 4 ? 6 ?? ? (2n) 2n ? 1

故只需证

因为[

1? 3 ? 5 ?? ? (2n ? 1) 2 ] 2 ? 4 ? 6 ??? ? (2n)

?

1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 1) 1 1 ? 2 ? 2 ?? ? ? < , 2 2 2 4 6 (2n) 2n ? 1 2n ? 1 1? 3 ? 5 ?? ? (2n ? 1) 1 < ??????????????????12 分 2 ? 4 ? 6 ?? ? (2n) 2n ? 1

所以

- 11 -

所以

1? 3 ? 5 ?? ? (2n ? 1) 2 < 2 ? 4 ? 6 ?? ? (2n) 2n ? 1 ? 2n ? 1

当 n 取 1, 2,3,....n 得到 n 不等式,

1 2 1? 3 2 1? 3 ? 5 ??? (2n ? 1) 2 ? , ? ??? ? 2 1? 3 2 ? 4 2 ? 4 ? 6 ??? (2n) 3? 5 2n ? 1 ? 2n ? 1
相加得:

1 1? 3 1? 3 ? 5 1? 3 ? 5 ??? (2n ? 1) 2 2 2 ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? 2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ??? (2n) 1? 3 3? 5 2n ? 1 ? 2n ? 1
即: Rn ? Tn ???????????????????????????14 分 21. (本题满分 14 分) 解:(1) f ( x ) 的定义域为 ( ?
'

1 ,??) . a
a2 x ???????????????????2 分 ax + 1

其导数 f ( x) =

1 x+ 1 a

- a= -

①当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,函数在 ( ? ②当 a ? 0 时,在区间 (所以, f ( x) 在 (-

1 ,??) 上是增函数; a

1 , 0) 上, f '( x) ? 0 ;在区间(0,+∞)上, f '( x) ? 0 . a

1 , 0) 是增函数,在(0,+∞)是减函数. ????????????4 分 a 1 (2)当 a ? 0 时, 则 x 取适当的数能使 f ( x) ? ax ,比如取 x ? e ? , a 1 1 1 能使 f (e ? ) ? 1 ? a(e ? ) ? 2 ? ae ? 0 ? ae ? 1 ? a(e ? ) , 所以 a ? 0 不合题意?6 分 a a a 1 当 a ? 0 时,令 h( x) ? ax ? f ( x) ,则 h( x) ? 2ax ? ln( x ? ) a
问题化为求 h( x) ? 0 恒成立时 a 的取值范围.

? 1 x? a 1 1 1 ) 上, h' ( x) ? 0 ;在区间 ( ? ,?? ) 上, h' ( x) ? 0 . ????8 分 ?在区间 (- , 2a a 2a 1 1 ? h( x) 的最小值为 h(? ) ,所以只需 h(? ) ? 0 2a 2a 1 1 1 1 e 即 2a ? ( ? ) ? ln(? ? ) ? 0 ,? ln ? ?1 ,? a ? ????????????10 分 2a 2a a 2a 2

由于 h' ( x) ? 2a ?

1

2a ( x ?

1 ) 2a 1 x? a

- 12 -

( 3 ) 由 于 f ( x )? 0 存 在 两 个 异 号 根 x1 , x2 , 不 仿 设 x1 ? 0 , 因 为 ?

1 ? x1 ? 0 , 所 以 a

a ? 0 ????????????????????????????????11 分
构造函数: g ( x) ? f (? x) ? f ( x) ( ?

1 ? x ? 0) a

1 1 ? g ( x) ? ln( ? x) ? ln( x ? ) ? 2ax a a

g ' ( x) ?

1 x? 1 a

?

1 x? 1 a

? 2a ?

2ax 2 ?0 1 2 x ? 2 a

所以函数 g ( x) 在区间 ( ?

1 1 , 0) 上为减函数. ? ? ? x1 ? 0 ,则 g ( x1 ) ? g (0) ? 0 , a a

f(x 于 是 f (- x (0, ??) 上 为 减 函 数 可 知 1 )1 )> 0 , 又 f ( x1 ) ? 0 , f (- x1 ) > 0 = f ( x2 ) , 由 f ( x ) 在 x2 ? ? x1 .即 x1 ? x2 ? 0 ?????????????????14 分

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