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【全程复习方略】2014年人教A版数学理(福建用)课时作业:第二章 第二节函数的单调性与最值


课时提升作业(五) 一、选择题 1.函数 f(x)=|x|和 g(x)=x(2-x)的递增区间依次是( (A)(-∞,0],(-∞,1] (C)[0,+∞),(-∞,1]
1

)

(B)(-∞,0],[1,+∞) (D)[0,+∞),[1,+∞)

2.给定函数①y= x 2, ② y ? log 1 ?

x ? 1?, ③y=|x-1|,
2

④y=2x+1,其中在区间(0,1)上是单调递减的函数的序号是( (A)①② 3.函数 f(x)=1(B)②③
1 ( x ?1

)

(C)③④ )

(D)①④

(A)在(-1,+∞)上单调递增 (B)在(1,+∞)上单调递增 (C)在(-1,+∞)上单调递减 (D)在(1,+∞)上单调递减 4.(2013·佛山模拟)若函数 y=ax 与 y= ? 在(0,+∞)上是( (A)增函数 (C)先增后减 ) (B)减函数 (D)先减后增
b 在 (0,+∞)上都是减函数,则 y=ax2+bx x

5.(2013·泉州模拟)已知函数 f(x +2)是偶函数,当 x2>x1>2 时, 恒成立,设 a=f(-1),b=f(3),c=f(6),则 a,b,c 的大小关系为( (A)b<a<c (C)a<b<c (B)b<c<a (D)c<b<a

f ? x 2 ? ? f ? x1 ? >0 x 2 ? x1
)

( 1) , ? 3a ? 2)x ? 6a ? 1(x< 6.已知函数 f(x)= ? x 单调递减,那么实数 a 的取值范围 ?a(x ? 1)
是( ) (B)(0,
2 ) 3 3 2 (C)[ , ) 8 3 3 (D)[ ,1) 8

(A )(0,1)

7.定义在 R 上的函数 f(x)在区间(-∞,2)上是增函数,且 f(x+2)的图象关于 x=0 对

-1-

称,则(

) (B)f(0)>f(3) (D)f(0)=f(3)

(A)f(-1)<f(3) (C)f(-1)=f(3)

8.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x<0 时,f(x)>0,则函数 f(x) 在[a,b]上有( (A)最小值 f(a) (C)最小值 f(b) ) (B)最大值 f(b) (D)最大值 f(
a?b ) 2

? 2 x ? a, x>2, ? 9.(2013·天津模拟)设函数 f(x)= ? 若 f(x)的值域为 R,则常数 a 的取 2 ? ? x ? a , x ? 2.

值范围是(

)

(A)(-∞,-1]∪[2,+∞) (B)[-1,2] (C)(-∞,-2]∪[1,+∞) (D)[-2,1] 10.(能力挑战题)已知函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,若对任意 x∈(0,+ ∞),都有 f(f(x)(A)5 二、填空题 11.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间是 . (B)6
1 1 )=2,则 f( )的值是( x 5

)

(C)7

(D)8

?a,a ? b, 12.(2013 · 漳 州 模 拟 ) 对 于 任 意 实 数 a,b, 定 义 min{a,b}= ? 设函数 ?b,a>b.
f(x)=-x+3,g(x)=log2x, 则函 数 h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是 . . .

1, ?? x ? a, x< 13.设函数 f(x)= ? x 的最小值为 2,则实数 a 的取值范围是 ?2 , x ? 1
14.(2013· 成都模拟)已知函数 f(x)=|x-2|-|x-5|,则 f(x)的取值范围是 三、解答题 15.已知 f(x)=
x (x≠a). x?a

(1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)上单调递增.

-2-

(2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)上单调递减,求 a 的取值范围.

答案解析

? x,x ? 0, 1.【解析】选 C.f(x)=|x|= ? ?? x,x<0,
?函数 f(x)的递增区间是[0,+≦). g(x)=x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+1, 对称轴是直线 x=1,a=-1<0. ?函数 g(x)的单调递增区间为(-≦,1]. 故选 C.
1

2.【解析】选 B.①y= x 2 在 x>0 时是增函数, ② y ? log 1 ? x ? 1? 在 x>-1 时是减函数.
2

③y=|x-1|在 x∈(0,1)时是减函数. ④y=2x+1 在 x∈R 上是增函数. 3. 【解析】 选 B.f(x)可由 ? 如图.
1 沿 x 轴向右平移一个单位,再向上平移一个单位得到, x

由图象可知函数 f(x)在(1,+≦)上单调递增.
-3-

b 在(0,+≦)上都是减函数, x b ?a<0,b<0 ,?y=ax2+bx 的对称轴 x= ? <0, 2a

4.【解析】选 B.≧y=ax 与 y= ?

?y=ax2+bx 在(0,+≦)上为减函数. 5.【解析】选 A.由 f(x+2)是偶函数,可得函数 f(x)图象关于直线 x=2 对称,又 x2 >x1>2 时,

f ? x 2 ? ? f ? x1 ? 且 f(3) >0, 得 f(x)在(2,+≦)上是增函数.a=f(-1)=f(5), x 2 ? x1

<f(5)<f(6),即 b<a<c,故选 A. 6.【解析】选 C.由题意知需满足:
?3a ? 2<0, 3 2 ? 1, ? ? a< . ?0<a< 8 3 ? 3a ? 2) ( ?1 ? 6a ? 1 ? a1 ?

7.【解析】选 A.因为 f(x+2)的图象关于 x=0 对称,所以 f(x)的图象关于 x=2 对称, 又 f(x)在区间(-≦,2)上是 增函数,则其在(2,+≦)上为减函数,作出其图象大致形 状如图所示.

由图象知,f(-1)<f(3),故选 A. 8.【思路点拨】先探究 f(x)在[a,b]上的单调性,再判断最值情况. 【解析】选 C.设 x1<x2, 由已知得 f(x1)=f((x1-x2)+x2)=f(x1-x2)+f(x2). 又 x1-x2<0,?f(x1-x2)>0, ?f(x1)>f(x2),即 f(x)在 R 上为减函数. ?f(x)在[a,b]上亦为减函数. ?f(x)min=f(b),f(x)max=f(a),故选 C. 9.【解析】选 A.当 x>2 时,f(x)>4+a,当 x≤2 时,f(x)≤2+a2,由题意知 2+a2≥4+a, 解得 a≥2 或 a≤-1.
-4-

10. 【思 路点拨】解答本题的关键是从条件中得出 f(x)-

1 是一个常数 , 从而令 x

1 f(x)= +k(k 为常数),则 f(x)可求. x 1 1 【解析】选 B.由题意知 f(x)- 为常数,令 f(x)- = k(k 为常数), x x 1 1 则 f(x)= +k,由 f(f(x)- )=2 得 f(k)=2. x x 1 1 又 f(k)= +k=2,?k=1,即 f(x)= +1, k x 1 ?f( )=6. 5

11.【解析】y=-(x-3)|x|
2 ? ? ? x +3x,x ? 0, =? 2 ? ? x ? 3x,x ? 0.

作出该函数的图象,观察图象知递增区间为[0, 答案:[0,
3 ] 2

3 ]. 2

0<x ? 2, ?log x, 12.【解析】依题意,h(x)= ? 2 当 0<x≤2 时,h(x)=log2x 是增函数;当 ?? x+3,x>2.
x>2 时,h(x)=3-x 是减函数, ?h(x)=min{f(x),g(x)}在 x =2 时,取得最大值 h(2)=1. 答案:1 13.【解析】当 x≥1 时,f(x)≥2,当 x<1 时,f(x)>a-1,由题意知,a-1≥2,?a≥3. 答案:[3,+≦) 14.【解析】f(x)=|x-2|-|x-5|
? ?3,x<2, ? 2 ? x ? 5, = ? 2x ? 7, ?3,x>5. ?

当 2≤x≤5 时,-3≤f(x)≤3. 综上知-3≤f(x)≤3. 答案:[-3,3] 15.【解析】(1)任设 x1<x2<-2,

-5-

则 f(x1)-f(x2)=

x1 x ? 2 x1+2 x 2+2

2(x1 ? x 2) = . (x1+2)(x 2+2)

≧(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ?f(x1)<f(x2), ?f(x)在(-≦,-2)上单调递增. (2)任设 1<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=
x1 x - 2 x1 ? a x 2-a

a(x 2-x1) = . (x1-a)(x 2 ? a)

≧a>0,x2-x1>0, ?要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,?a≤1. 综上所述知 a 的取值范围是(0,1]. 【变式备选】已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=2 . 3

(1)求证:f(x)在 R 上是减函数. (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 【解析】(1)方法一:≧函数 f(x)对于任意 x,y∈R 总有 f(x)+f(y)=f(x+y), ?令 x=y=0,得 f(0)=0. 再令 y=-x,得 f(-x)=-f(x). 在 R 上任取 x1>x2,则 x1-x 2>0, f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2). 又≧x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0, ?f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 因此 f(x)在 R 上是减函数. 方法二:设 x1>x2, 则 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)

-6-

=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2) =f(x1-x2). 又≧x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0, ?f(x1-x2)<0, 即 f(x1)<f(x2), ?f(x)在 R 上为减函数. (2)≧f(x)在 R 上是减函数, ?f(x)在[-3,3]上也是减函数, ?f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为 f(-3)与 f(3 ). 而 f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2. ?f(x)在[-3,3]上的最大值为 2,最小值为-2.

-7-


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