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2013-2014学年高二数学双基达标:2章 概率 本章测试(苏教版选修2-3)]


章末质量评估(二)
(时间:120 分钟 满分:160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 2 1 1.在一次考试中,某班语文、数学、外语平均分在 80 分以上的概率分别为5、5、 2 5,则该班的三科平均分都在 80 分以上的概率是________. 解析 由于语文、数学、外语平均分在 80 分以上这三个事件是相互独立的,

>
2 1 2 4 所以所求事件的概率为5×5×5=125. 答案 4 125

1? ? 2.已知随机变量 X~B?6,3?,则 P(X=2)=________. ? ? 解析 答案 1 16 80 ?1?2?2?4 由题意知 P(X=2)=C2 6?3? ?3? =15× × = 9 81 243. ? ?? ? 80 243

1 1 1 3.甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码,他们能译出的概率分别为5,3,4, 则此密码能被译出的概率为________. 解析 1?? 1?? 1? 2 ? 三人都不能译出密码的概率为 P=?1-5??1-3??1-4?=5,故三人能 ? ?? ?? ?

2 3 破译密码的概率是 1-P=1-5=5. 答案 3 5

4.已知 X~N(0,1),则 P(-1<X<2)=________. 解析 ∵P(-1<X<1)=0.682 6,

P(-2<X<2)=0.954 4, 1 ∴P(1<X<2)=2(0.954 4-0.682 6)=0.135 9. ∴P(-1<X<2)=0.682 6+0.135 9=0.818 5. 答案 0.818 5

5.如图,EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆内接正方形.将一颗豆子随机地 扔到该圆内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”,B 表示事件“豆 子落在扇形 OHE(阴影部分)内”,则(1)P(A)=________;

(2)P(B|A)=________. 解析 (1)是几何概型:P(A)= S正 2 = ; S圆 π

(2)是条件概率:P(B|A)= 答案 2 1 (1)π (2)4

P?AB? 1 = . P?A? 4

6.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有 3 个抢答题,比赛规定:对于每一个 题,没有抢到题的队伍得 0 分,抢到题并回答正确的得 1 分,抢到题但回答 错误的扣 1 分(即得-1 分);若 X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者 胜),则 X 的所有可能取值是________. 解析 甲获胜且获得最低分的情况是:甲抢到一题并回答错误,乙抢到两题

并且都回答错误,此时甲得-1 分,故 X 的所有可能取值为-1,0,1,2,3. 答案 -1,0,1,2,3

7.某射手射击所得环数 X 的分布列如下: X P 7 x 8 0.1 9 0.3 10 y

已知 X 的期望 E(X)=8.9,则 y 的值为________. 解析 ?x+0.1+0.3+y=1, 由已知得? ?7x+0.8+2.7+10y=8.9,

?x=0.2, 解得? ?y=0.4. 答案 0.4

8.一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球,从中同时取出 2 个,则其

中含红球个数的数学期望是________. 解析 法一 同时取出的 2 个球中含红球数 X 的概率分布为

2 1 C0 1 C1 6 3C2 3C2 P(X=0)= C2 =10,P(X=1)= C2 =10, 5 5 0 C2 3 3C2 P(X=2)= C2 =10. 5

1 6 3 6 E(X)=0×10+1×10+2×10=5. 法二 同时取出的 2 个球中含红球数 X 服从参数 N=5,M=3,n=2 的超几

nM 6 何分布,所以 E(X)= N =5. 答案 6 5

9.马老师从课本上抄录一个随机变量 X 的概率分布律如下表 x P(ε=x) 1 ? 2 ! 3 ?

请小牛同学计算 ε 的数学期望,尽管“!”处无法完全看清,且两个“?” 处字迹模糊,但能肯定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确 答案 E(ε)=________. 解析 令“?”为 a,“!”为 b,则 2a+b=1,又 E(X)=a+2b+3a=2(2a

+b)=2. 答案 2

10.独立工作的两套报警系统遇危险报警的概率均为 0.4,则遇危险时至少有一 套报警系统报警的概率是________. 解析 答案
1 2 C2 ×0.4×0.6+C2 ×0.42=0.64.

0.64

11.在等差数列{an}中,a4=2,a7=-4.现从{an}的前 10 项中随机取数,每次取 出一个数,取后放回,连续抽取 3 次,假定每次取数互不影响,那么在这三 次取数中, 取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________(用数字作 答). 解析 由 a4=2,a7=-4 可得等差数列{an}的通项公式为 an=10-2n(n=

1,2,?,10);由题意,三次取数相当于三次独立重复试验,在每次试验中取

2 1 得正数的概率为5,取得负数的概率为2,在三次取数中,取出的数恰好为两 6 2?2?2?1?1 ?5? ?2? = . 个正数和一个负数的概率为 C3 ? ? ? ? 25 答案 6 25

12.设两个正态分布 N(μ1,σ2 1) (σ1>0)和 N(μ2,σ2 2)(σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有 μ1 与 μ2,σ1 与 σ2 的大小关系是________.

解析

μ 反映的是正态分布的平均水平, x=μ 是正态分布密度曲线的对称轴,

由题图可知 μ1<μ2;σ 反映的是正态分布的离散程度,σ 越大,越分散,曲线 越“矮胖”,σ 越小,越集中,曲线越“瘦高”,由图可知 σ1<σ2. 答案 μ1<μ2,σ1<σ2

1 13. 设随机变量 X 服从二项分布, 即 X~B(n, p), 且 E(X)=3, p=7, 则 n=________, V(X)=________. 解析 1 ∵E(X)=np=3,p=7,∴n=21,

1? 18 1 ? 并且 V(X)=np(1-p)=21×7×?1-7?= 7 . ? ? 答案 21 18 7

14.任意确定四个日期,其中至少有两个是星期天的概率为________. 解析 1 记“取到的日期为星期天”为事件 A,则 P(A)=7,Ai 表示取到的四个

日期中有 i 个星期天(i=0,1,2,3,4),

1? 1 296 0?1?0? ?7? ?1-7?4= 则 P(A0)=C4 , ? ?? ? 2 401 1? 864 1?1?1? ?7? ?1-7?3= P(A1)=C4 , ? ?? ? 2 401 故至少有两个星期天的概率为 241 1-[P(A0)+P(A1)]=2 401. 答案 241 240 1

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15.(本小题满分 14 分)某篮球队与其他 6 支篮球队依次进行 6 场比赛,每场均 决出胜负,设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的,并且胜场 1 的概率是3. (1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率; (2)求这支篮球队在 6 场比赛中恰好胜了 3 场的概率; (3)求这支篮球队在 6 场 比赛中胜场数的期望和方差. 解 1? 1 4 ? (1)P=?1-3?2×3=27. ? ?

(2)6 场胜 3 场的情况有 C3 6种, 1? 1 8 160 3?1?3? ?3? ?1-3?3=20× × = ∴P=C6 27 27 729. ? ?? ? 1? ? (3)由于 X 服从二项分布,即 X~B?6,3?, ? ? 1? 4 1 1 ? ∴E(X)=6×3=2,D(X)=6×3×?1-3?=3. ? ? 16.(本小题满分 14 分)为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从 甲、乙两厂生产的产品中分别抽取 14 件和 5 件,测量产品中微量元素 x,y 的含量(单位:毫克).下表是乙厂的 5 件产品的测量数据: 编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

(1)已知甲厂生产的产品共 98 件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素 x,y 满足≥175 且 y≥75,该产品为优等品,用上述

样本数据估计乙厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随即抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等 品数 X 的分布列及其均值(即数学期望). 解 98 (1)14=7,5×7=35,即乙厂生产的产品数量为 35 件.

2 (2)易见只有编号为 2,5 的产品为优等品,所以乙厂生产的产品中的优等品5, 2 故乙厂生产有大约 35×5=14(件)优等品, (3)X 的取值为 0,1,2. C2 3 3 P(X=0)=C2=10, 5 P(X=1)=
1 C1 3×C2 3 2 = , C5 5

C2 1 3 P(X=2)=C2=10.
5

所以 X 的分布列为 X P 0 3 10 1 6 10 2 1 10

3 3 1 4 故 X 的均值为 E(X)=0×10+1×5+2×10=5. 17.(本小题满分 14 分)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越 多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费,超过两小 时的收费标准为 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算).有人独立来该租车 1 1 点则车骑游.各租一车一次.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为4,2; 1 1 两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为2,4;两人租车时间都不会超 过四小时. (1)求出甲、乙所付租车费用相同的概率; (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 X,求 X 的分布列与数学期 望 E(X). 解 (1)所付费用相同即为 0,2,4 元.

1 1 1 设付 0 元为 P1=4×2=8, 1 1 1 付 2 元为 P2=2×4=8, 1 1 1 付 4 元为 P3=4×4=16, 5 则所付费用相同的概率为 P=P1+P2+P3=16. (2)设甲,乙两个所付的费用之和为 X, X 可为 0,2,4,6,8. 1 P(X=0)=8 1 1 1 1 5 P(X=2)=4×4+2×2=16 1 1 1 1 1 1 5 P(X=4)=4×4+2×4+2×4=16 1 1 1 1 3 P(X=6)=4×4+2×4=16 1 1 1 P(X=8)=4×4=16. 分布列 X P 5 5 9 1 7 E(X)=8+4+8+2=2. 18.(本小题满分 16 分)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个 白球、2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相 同, 每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个, 则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在一次游戏中,①摸出 3 个白球的概率,②获奖的概率; (2)求在两次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X). 解 (1)设“在一次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i=0,1,2,3),则 P(A3)= 0 1 8 2 5 16 4 5 16 6 3 16 8 1 16

2 1 C3 C2 1 2· 2= . C5 C3 5

(2)设“在一次游戏中获奖”为事件 B,则 B=A2∪A3,又

2 2 1 1 1 C3 C2 C3 C2 C2 1 1 1 P(A2)=C2C2+ C2 · 且 A A 所以 P ( B ) = P ( A 2= , 2, 3 互斥, 2)+P(A3)= + = C 2 2 5 5 3 5 3

7 10. (2)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2, 7? 9 ? P(X=0)=?1-10?2=100, ? ? 7 ? 21 7? P(X=1)=C1 2· ?1-10?= , 10? ? 50 49 ?7? P(X=2)=?10?2=100, ? ? 所以 X 的分布列是 X P 0 9 100 1 21 50 2 49 100

9 21 49 7 X 的数学期望 E(X)=0×100+1×50+2×100=5. 19.(本小题满分 16 分)某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以 便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共 8 杯,其颜色完全相同,并 且其中 4 杯为 A 饮料,另外 4 杯为 B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料,若 4 杯都选对,则月工资定为 3 500 元;若 4 杯选对 3 杯,则月工资定为 2 800 元,否则月工资定为 2 100 元,令 X 表示 此人选对 A 饮料的杯数,假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力. (1)求 X 的分布列: (2)求此员工月工资的期望. 解 (1)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,

i 4-i C4 C4 则 P(x=i)= C4 (i=0,1,2,3,4),所以所求的分布列为 8

X P

0 1 70

1 16 70

2 36 70

3 16 70

4 1 70

(2)设 Y 表示该员工的月工资,则 Y 的所有可能取值为 3 500,2 800,2 100,相 1 16 53 对的概率分别为70,70,70,

1 16 53 所以 E(Y)=3 500×70+2 800×70+2 100×70=2 280(元). 所以此员工工资的期望为 2 280 元. 20.(本小题满分 16 分)如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,据统计,通 过两条路径所用的时间互不影响,所用时间落在各时间段内的频率如下表:

时间(分钟) L1 的频率 L2 的频率

10~20 0.1 0

20~30 0.2 0.1

30~40 0.3 0.4

40~ 50 0.2 0.4

50~ 60 0.2 0.1

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站. (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自 的路径? (2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针地(1)的选 择方案,求 X 的分布列和数学期望. 解 (1)Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时,40 分钟内赶到火车站”,Bi 表示事件

“乙选择路径 Li 时,50 分钟内赶到火车站”,i=1,2 用频率估计相应的概率 可得 P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5. ∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择 L1, P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8, P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9, ∵P(B1)>P(B2), ∴乙应选择 L2. (2)A、B 分别表示针对(1)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车 站,由(1)知 P(A)=0.6,P(B)=0.9 又由题意知,A,B 独立, ∴P(X=0)=P( A B )=P( A )P( B )=0.4×0.1=0.04,

P(X = 1) = P( A B + A B ) = P( A )P(B) + P(A)P( B ) = 0.4×0.9 + 0.6×0.1 =

0.42. P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.9=0.54. ∴X 的分布列为 X P 0 0.04 1 0.42 2 0.54

∴EX=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5


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