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2014届步步高大一轮复习讲义5.3


§ 5.3
2014 高考会这样考

平面向量的数量积

1.考查两个向量的数量积的求法; 2.利用两个向量的数量积求向量

的夹角、向量的模;3.利用两个向量的数量积证明两个向量垂直. 复习备考要这样做 1.理解数量积的意义,掌握求数量积的各种方法;2.理解数量积的

运算性质;3.利用数量积解决向量的几何问题.

1. 平面向量的数量积 已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为 θ,则数量|a||b|cos θ 叫作 a 和 b 的数量积(或内 积),记作 a· b=|a||b|cos θ. 规定:零向量与任一向量的数量积为__0__. 两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是 a· b=0,两个非零向量 a 与 b 平行的充要条件是 a· b=± |a||b|. 2. 平面向量数量积的几何意义 数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积. 3. 平面向量数量积的重要性质 (1)e· a=a· e=|a|cos θ; (2)非零向量 a,b,a⊥b?a· b=0; (3)当 a 与 b 同向时,a· b=|a||b|; 当 a 与 b 反向时,a· b=-|a||b|,a· a=a2,|a|= a· a; a· b (4)cos θ= ; |a||b| (5)|a· b|__≤__|a||b|. 4. 平面向量数量积满足的运算律 (1)a· b=b· a(交换律); (2)(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb)(λ 为实数); (3)(a+b)· c=a· c+b· c. 5. 平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=x1x2+y1y2,由此得到 (1)若 a=(x,y),则|a|2=x2+y2 或|a|= x2+y2. → (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A、B 两点间的距离|AB|=|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2.

(3)设两个非零向量 a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b?x1x2+y1y2=0. [难点正本 疑点清源] 1. 向量的数量积是一个实数 两个向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有 关,在运用向量的数量积解题时,一定要注意两向量夹角的范围. 2. a· b>0 是两个向量 a· b 夹角为锐角的必要不充分条件.因为若〈a,b〉=0,则 a· b>0,而 → → a,b 夹角不是锐角;另外还要注意区分△ABC 中,AB、BC的夹角与角 B 的关系. 3.计算数量积时利用数量积的几何意义是一种重要方法.

1. 已知向量 a 和向量 b 的夹角为 135° ,|a|=2,|b|=3,则向量 a 和向量 b 的数量积 a· b= ________. 答案 -3 2 解析 a· b=|a||b|cos 135° =2×3×?-

?

2? =-3 2. 2?

2. 已知 a⊥b,|a|=2,|b|=3,且 3a+2b 与 λa-b 垂直,则实数 λ 的值为________. 答案 3 2

解析 由 a⊥b 知 a· b=0.又 3a+2b 与 λa-b 垂直, ∴(3a+2b)· (λa-b)=3λa2-2b2 3 =3λ×22-2×32=0.∴λ= . 2 3. 已知 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为______. 答案 65 5

a· b 解析 设 a 和 b 的夹角为 θ,|a|cos θ=|a| |a||b| = 2×?-4?+3×7 13 65 = . 2 2 = 5 65 ?-4? +7 ( )

4. (2011· 辽宁)已知向量 a=(2,1),b=(-1,k),a· (2a-b)=0,则 k 等于 A.-12 答案 D 解析 由已知得 a· (2a-b)=2a2-a· b =2(4+1)-(-2+k)=0,∴k=12. 5. (2012· 陕西)设向量 a=(1,cos θ)与 b=(-1,2cos θ)垂直,则 cos 2θ 等于 A. 2 2 1 B. 2 C.0 D.-1 B.-6 C.6 D.12

(

)

答案 C 解析 a=(1,cos θ),b=(-1,2cos θ). ∵a⊥b,∴a· b=-1+2cos2θ=0, 1 ∴cos2θ= ,∴cos 2θ=2cos2θ-1=1-1=0. 2

题型一 平面向量的数量积的运算 例1 → → (1)在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AC=4,则AB· AC等于 A.-16 B.-8 C.8 D.16 ) ( )

(2)若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)· c=30,则 x 等于 ( A.6 B.5 C.4 D.3

→ → 思维启迪:(1)由于∠C=90° ,因此选向量CA,CB为基底. (2)先算出 8a-b,再由向量的数量积列出方程,从而求出 x. 答案 解析 (1)D (2)C → → → → → (1)AB· AC=(CB-CA)· (-CA)

→ → →2 =-CB· CA+CA =16. (2)∵a=(1,1),b=(2,5), ∴8a-b=(8,8)-(2,5)=(6,3). 又∵(8a-b)· c=30,∴(6,3)· (3,x)=18+3x=30. ∴x=4. 探究提高 求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数 量积的几何意义.本题从不同角度创造性地解题,充分利用了已知条件. → → (2012· 北京)已知正方形 ABCD 的边长为 1, 点 E 是 AB 边上的动点, 则DE· CB → → 的值为________;DE· DC的最大值为________. 答案 1 1

解析 方法一 以射线 AB,AD 为 x 轴,y 轴的正方向建立平面直角 坐标系,则 A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),则 → → → → E(t,0),t?[0,1],则DE=(t,-1),CB=(0,-1),所以DE· CB=(t,-1)· (0,-1)=1. → → → 因为DC=(1,0),所以DE· DC=(t,-1)· (1,0)=t≤1, → → 故DE· DC的最大值为 1.

→ → 方法二 由图知,无论 E 点在哪个位置,DE在CB方向上的投影都是 CB=1, → → → ∴DE· CB=|CB|· 1=1, → → 当 E 运动到 B 点时, DE 在 DC 方向上的投影最大即为 DC = 1 , → → → ∴(DE· DC)max=|DC|· 1=1. 题型二 向量的夹角与向量的模 例2 已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61, (1)求 a 与 b 的夹角 θ; (2)求|a+b|; → → (3)若AB=a,BC=b,求△ABC 的面积. 思维启迪:运用数量积的定义和|a|= a· a. 解 (1)∵(2a-3b)· (2a+b)=61,

∴4|a|2-4a· b-3|b|2=61. 又|a|=4,|b|=3,∴64-4a· b-27=61,∴a· b=-6. -6 1 a· b ∴cos θ= = =- . |a||b| 4×3 2 2π 又 0≤θ≤π,∴θ= . 3 (2)可先平方转化为向量的数量积. |a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a· b+|b|2 =42+2×(-6)+32=13, ∴|a+b|= 13. 2π 2π π → → (3)∵AB与BC的夹角 θ= ,∴∠ABC=π- = . 3 3 3 → → 又|AB|=|a|=4,|BC|=|b|=3, 1→ → 1 3 ∴S△ABC= |AB||BC|sin∠ABC= ×4×3× =3 3. 2 2 2 探究提高 (1)在数量积的基本运算中,经常用到数量积的定义、模、夹角等公式,尤其

对|a|= a· a要引起足够重视,它是求距离常用的公式. (2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系.在向量的运算中,灵活运用运算律, 达到简化运算的目的. (1)已知向量 a、b 满足|a|=1,|b|=4,且 a· b=2,则 a 与 b 的夹角为( )

π A. 6 答案 C

π B. 4

π C. 3

π D. 2

a· b 1 解析 ∵cos〈a,b〉= = , |a||b| 2 π ∴〈a,b〉= . 3 (2)已知向量 a=(1, 3),b=(-1,0),则|a+2b|等于 A.1 答案 C 解析 |a+2b|2=a2+4a· b+4b2=4-4×1+4=4, B. 2 C.2 D.4 ( )

∴|a+2b|=2. 题型三 向量数量积的综合应用 例3 已知 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)(0<α<β<π). (1)求证:a+b 与 a-b 互相垂直; (2)若 ka+b 与 a-kb 的模相等,求 β-α.(其中 k 为非零实数) 思维启迪:(1)证明两向量互相垂直,转化为计算这两个向量的数量积问题,数量积为零 即得证. (2)由模相等,列等式、化简. (1)证明 ∵(a+b)· (a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2 =(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)=0, ∴a+b 与 a-b 互相垂直. (2)解 ka+b=(kcos α+cos β,ksin α+sin β),

a-kb=(cos α-kcos β,sin α-ksin β), |ka+b|= k2+2kcos?β-α?+1, |a-kb|= 1-2kcos?β-α?+k2. ∵|ka+b|=|a-kb|,∴2kcos(β-α)=-2kcos(β-α). 又 k≠0,∴cos(β-α)=0. π ∵0<α<β<π,∴0<β-α<π,∴β-α= . 2 探究提高 (1)当向量 a 与 b 是坐标形式给出时,若证明 a⊥ b,则只需证明 a· b=0?x1x2 +y1y2=0. (2)当向量 a,b 是非坐标形式时,要把 a,b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共 线的向量要知道其模与夹角,从而进行运算证明 a· b=0. (3)数量积的运算中,a· b=0?a⊥ b 中,是对非零向量而言的,若 a=0,虽然有 a· b=0,

但不能说 a⊥ b. 1 3 已知平面向量 a=( 3,-1),b=? , ?. ?2 2 ? (1)证明:a⊥b; (2)若存在不同时为零的实数 k 和 t,使 c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且 c⊥d,试求函 数关系式 k=f(t). 1 3 (1)证明 ∵a· b= 3× -1× =0,∴a⊥b. 2 2 (2)解 ∵c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且 c⊥d,

∴c· d=[a+(t2-3)b]· (-ka+tb) =-ka2+t(t2-3)b2+[t-k(t2-3)]a· b=0, 又 a2=|a|2=4,b2=|b|2=1,a· b=0, t3-3t ∴c· d=-4k+t3-3t=0,∴k=f(t)= (t≠0). 4

三审图形抓特点

典例:(5 分)如图所示,把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起, → → → 若AD=xAB+yAC,则 x=________,y=________.

图形有一副三角板构成 ↓(注意一副三角板的特点) 令|AB|=1,|AC|=1 ↓(一副三角板的两斜边等长) |DE|=|BC|= 2 ↓(非等腰三角板的特点) |BD|=|DE|sin 60° = 2× 3 6 = 2 2

↓(注意∠ABD=45° +90° =135° ) → → AD在AB上的投影即为 x ↓x=|AB|+|BD|cos 45° =1+ → → ↓AD在AC上的投影即为 y 6 2 3 × =1+ 2 2 2

↓y=|BD|· sin 45° =

6 2 3 × = . 2 2 2

→ → → → → 解析 方法一 结合图形特点,设向量AB,AC为单位向量,由AD=xAB+yAC知,x,y 6 → → → → → 分别为AD在AB,AC上的投影.又|BC|=|DE|= 2,∴|BD|=|DE|· sin 60° = . 2 → → ∴AD在AB上的投影 x=1+ 6 6 2 3 cos 45° =1+ × =1+ , 2 2 2 2

6 3 → → AD在AC上的投影 y= sin 45° = . 2 2 → → → → → → 方法二 ∵AD=xAB+yAC,又AD=AB+BD, → → → → → → → ∴AB+BD=xAB+yAC,∴BD=(x-1)AB+yAC. → → → → → 又AC⊥AB,∴BD· AB=(x-1)AB2. → → → 设|AB|=1,则由题意|DE|=|BC|= 2. 6 → → → 又∠BED=60° ,∴|BD|= .显然BD与AB的夹角为 45° . 2 → → → ∴由BD· AB=(x-1)AB2, 得 6 3 ×1×cos 45° =(x-1)×12.∴x= +1. 2 2

3 → → → 同理,在BD=(x-1)AB+yAC两边取数量积可得 y= . 2 答案 1+ 温馨提醒 3 2 3 2

突破本题的关键是,要抓住图形的特点(图形由一副三角板构成).根据图形

的特点,利用向量分解的几何意义,求解方便快捷.方法二是原试题所给答案,较方法 一略显繁杂.

方法与技巧 1.计算数量积的三种方法:定义、坐标运算、数量积的几何意义,要灵活选用,和图形有关 的不要忽略数量积几何意义的应用. 2.求向量模的常用方法:利用公式|a|2=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算. 3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. 失误与防范

1.(1)0 与实数 0 的区别:0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a· 0=0≠0;(2)0 的方向是任意的,并 非没有方向,0 与任何向量平行,我们只定义了非零向量的垂直关系. 2.a· b=0 不能推出 a=0 或 b=0,因为 a· b=0 时,有可能 a⊥b. 3.a· b=a· c(a≠0)不能推出 b=c,即消去律不成立.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. (2012· 辽宁)已知向量 a=(1,-1),b=(2,x),若 a· b=1,则 x 等于 A.-1 答案 D 解析 a· b=(1,-1)· (2,x)=2-x=1?x=1. 2. (2012· 重庆)设 x,y?R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 a⊥c,b∥c,则|a +b|等于 A. 5 答案 B 解析 ∵a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4), 由 a⊥c 得 a· c=0,即 2x-4=0,∴x=2. 由 b∥c,得 1×(-4)-2y=0,∴y=-2. ∴a=(2,1),b=(1,-2). ∴a+b=(3,-1),∴|a+b|= 32+?-1?2= 10. 3. 已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则 c 等于( 7 7? A.? ?9,3? 7 7? C.? ?3,9? 答案 D 解析 设 c=(x,y),则 c+a=(x+1,y+2), 又(c+a)∥b,∴2(y+2)+3(x+1)=0.① 又 c⊥(a+b),∴(x,y)· (3,-1)=3x-y=0.② 7 7 联立①②解得 x=- ,y=- . 9 3 → → 4.在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10,则AB· AC等于 ( ) 7 7? B.? ?-3,-9? 7 7? D.? ?-9,-3? ) B. 10 C.2 5 D.10 ( ) 1 B.- 2 1 C. 2 D.1 ( )

3 A.- 2 答案 D

2 B.- 3

2 C. 3

3 D. 2

→ → → → 解析 由于AB· AC=|AB|· |AC|· cos∠BAC 1 → 1 3 → → = (|AB|2+|AC|2-|BC|2)= ×(9+4-10)= . 2 2 2 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. (2012· 课标全国)已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|=________. 答案 3 2 解析 ∵a,b 的夹角为 45° ,|a|=1, ∴a· b=|a|· |b|cos 45° = |2a-b|2=4-4× 2 |b|, 2

2 |b|+|b|2=10,∴|b|=3 2. 2

→ → 6. (2012· 浙江)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB· AC=________. 答案 -16 → → → 解析 如图所示,AB=AM+MB, → → → AC=AM+MC → → =AM-MB, → → → → → → ∴AB· AC=(AM+MB)· (AM-MB) → → → → =AM2-MB2=|AM|2-|MB|2=9-25=-16. 7. 已知 a=(2,-1),b=(λ,3),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是____________. 答案 3? (-∞,-6)∪? ?-6,2?

3 解析 由 a· b<0,即 2λ-3<0,解得 λ< ,由 a∥b 得: 2 3 6=-λ,即 λ=-6.因此 λ< ,且 λ≠-6. 2 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)已知 a=(1,2),b=(-2,n) (n>1),a 与 b 的夹角是 45° . (1)求 b; (2)若 c 与 b 同向,且 a 与 c-a 垂直,求 c. 解 (1)a· b=2n-2,|a|= 5,|b|= n2+4, 2n-2 5· n +4
2

∴cos 45° =



2 ,∴3n2-16n-12=0, 2

2 ∴n=6 或 n=- (舍),∴b=(-2,6). 3 (2)由(1)知,a· b=10,|a|2=5. 又 c 与 b 同向,故可设 c=λb (λ>0),(c-a)· a=0, |a|2 5 1 ∴λb· a-|a|2=0,∴λ= = = , b· a 10 2 1 ∴c= b=(-1,3). 2 9. (12 分)设两个向量 e1、e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2 的夹角为 60° ,若向量 2te1+7e2 与 向量 e1+te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围. 解 1 ∵e1· e2=|e1|· |e2|· cos 60° =2×1× =1, 2

∴(2te1+7e2)· (e1+te2)
2 2 =2te1 +7te2 e2 2+(2t +7)e1·

=8t+7t+2t2+7=2t2+15t+7. 1 由已知得 2t2+15t+7<0,解得-7<t<- . 2 当向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 反向时, 设 2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0,
? ?2t=λ, 14 14 则? ?2t2=7?t=- 或 t= (舍). 2 2 ?λt=7 ?

故 t 的取值范围为(-7,-

14 14 1 )∪(- ,- ). 2 2 2 B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) → → 1. (2012· 湖南)在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB· BC=1,则 BC 等于 A. 3 答案 A → → 解析 ∵AB· BC=1,且 AB=2, → → → → ∴1=|AB||BC|cos(π-B),∴|AB||BC|cos B=-1. 在△ABC 中,|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB||BC|cos B, 即 9=4+|BC|2-2×(-1). ∴|BC|= 3. 2. 已知|a|=6,|b|=3,a· b=-12,则向量 a 在向量 b 方向上的投影是 A.-4 B.4 C.-2 D.2 ( ) B. 7 C.2 2 D. 23 ( )

答案 A 解析 a· b 为向量 b 的模与向量 a 在向量 b 方向上的投影的乘积, 得 a· b=|b||a|· cos 〈a, b〉 , 即-12=3|a|· cos〈a,b〉 , ∴|a|· cos〈a,b〉=-4. 3. (2012· 江西)在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,则 |PA|2+|PB|2 等于 |PC|2 A.2 答案 D → → → 解析 ∵PA=CA-CP, → → → → →2 ∴|PA|2=CA2-2CP· CA+CP . → → → → → → → →2 ∵PB=CB-CP,∴|PB|2=CB2-2CP· CB+CP . → → ∴|PA|2+|PB|2 → → → → → → =(CA2+CB2)-2CP· (CA+CB)+2CP2 → → → → =AB2-2CP· 2CD+2CP2. → → → → 又AB2=16CP2,CD=2CP, → → → 代入上式整理得|PA|2+|PB|2=10|CP|2,故所求值为 10. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. (2012· 安徽)设向量 a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=________. 答案 2 B.4 C.5 D.10 ( )

解析 a+c=(1,2m)+(2,m)=(3,3m).∵(a+c)⊥b, ∴(a+c)· b=(3,3m)· (m+1,1)=6m+3=0, 1 ∴m=- .∴a=(1,-1),∴|a|= 2. 2 5. (2012· 江苏)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的 → → → → 中点,点 F 在边 CD 上,若AB· AF= 2,则AE· BF的值是________. 答案 2

解析 方法一 坐标法. 以 A 为坐标原点,AB,AD 所在直线为 x 轴, y 轴建立平面直角坐标系, 则 A(0,0),B( 2, 0),E( 2,1),F(x,2). → → → → 故AB=( 2,0),AF=(x,2),AE=( 2,1),BF=(x- 2,2),

→ → ∴AB· AF=( 2,0)· (x,2)= 2x. → → → 又AB· AF= 2,∴x=1.∴BF=(1- 2,2). → → ∴AE· BF=( 2,1)· (1- 2,2)= 2-2+2= 2. → → → → 方法二 用AB,BC表示AE,BF是关键. → → → → 设DF=xAB,则CF=(x-1)AB. → → → → → AB· AF=AB· (AD+DF) → → → → =AB· (AD+xAB)=xAB2=2x, → → 又∵AB· AF= 2,∴2x= 2, ∴x= 2 → → → → ? 2 ?→ .∴BF=BC+CF=BC+ AB. 2 ? 2 -1?

→ → → → ?→ ? 2 →? ?AB ∴AE· BF=(AB+BE)· BC+ ? ? 2 -1? ? → 1 → ?? → ? 2 ? → ? =? ?AB+2BC??BC+? 2 -1?AB? =? =? 2 ?→2 1→2 AB + BC 2 ? 2 -1? 1 2 ? ×2+ ×4= 2. 2 ? 2 -1?

6. (2012· 上海)在矩形 ABCD 中,边 AB、AD 的长分别为 2、1,若 M、N 分别是边 BC、CD → → |BM| |CN| → → 上的点,且满足 = ,则AM· AN的取值范围是________. → → |BC| |CD| 答案 [1,4] 解析 如图所示, → → |BM| |CN| 设 = → → |BC| |CD| → → =λ(0≤λ≤1),则BM=λBC, → → → → → CN=λCD,DN=CN-CD → =(λ-1)CD, → → → → → → ∴AM· AN=(AB+BM)· (AD+DN) → → → → =(AB+λBC)· [AD+(λ-1)CD] → → → → =(λ-1)AB· CD+λBC· AD

=4(1-λ)+λ=4-3λ, → → ∴当 λ=0 时,AM· AN取得最大值 4; → → 当 λ=1 时,AM· AN取得最小值 1. → → ∴AM· AN?[1,4]. 三、解答题 1 3 7. (13 分)设平面上有两个向量 a=(cos α,sin α) (0° ≤α<360° ),b=?- , ?. ? 2 2? (1)求证:向量 a+b 与 a-b 垂直; (2)当向量 3a+b 与 a- 3b 的模相等时,求 α 的大小. (1)证明 ∵(a+b)· (a-b)=a2-b2 1 3? =|a|2-|b|2=(cos2α+sin2α)-? ?4+4?=0, 故向量 a+b 与 a-b 垂直. (2)解 由| 3a+b|=|a- 3b|,两边平方得

3|a|2+2 3a· b+|b|2=|a|2-2 3a· b+3|b|2, 所以 2(|a|2-|b|2)+4 3a· b=0,而|a|=|b|, 1? 3 所以 a· b=0,即? cos α+ · sin α=0, ?-2?· 2 即 cos(α+60° )=0,∴α+60° =k· 180° +90° , k?Z, 即 α=k· 180° +30° ,k?Z, 又 0° ≤α<360° ,则 α=30° 或 α=210° .


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