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全国高中数学联赛一试专项训练


全国高中数学联赛一试专项训练—排列组合概率
1.将 10 个相同的小球装入 3 个编号为 1、2、3 的盒子(每次要把 10 个球装完) ,要求每个 盒子里球的个数不少于盒子的编号数,这样的装法种数为 .
1 10 2 9 2. 611 ? C11 6 ? C11 6 ? 10 ? C11 6 ?1被 8 除所得余数是

. 种.

3.有 6 个座位连成一横排,三人就座,恰有两个空位相邻的不同排法共有 4.若 x ? R? ,则 (1 ? 2 x)15 的二项展开式系数最大的项为第 项.

5.将 5 名同学分配到 A、B、C 三个宿舍中,每个宿舍至少安排 1 名同学,其中,甲同学 不能分配到 A 宿舍,则不同的分配方案有 种. 6.将 (a ? b ? c ? d )9 展开之后再合并同类项,所得的多项式的项数是 .

7.设有 5 枚无区别的棋子放在 5 ? 5 的棋盘的小方格中,如图,放棋子的规则是, 每行每列放且仅放一枚棋子.同时,不允许放在黑色小方格内,则共有 种放法. 8.一个正方体的 8 个顶点可以组成 个非等边三角形. 9.三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则称这 个数为凹数,如 504、746 等都是凹数.那么,各个数位上无重复数字的三位数中凹数共 有 个. 10.如果将含有数码 4 的四位数一齐去掉,则剩下的四位数有 个. 11.用 1,2,3,4,5 排成一个五位数,使任两个相邻数码之差至少是 2,则这种五位数 个. 12.正八边形所有对角线在其内部交点的个数为 . 13.如果自然数 a 的各位数字之和等于 7,那么,称 a 为“吉祥数” .将所有吉祥数从小到 大排成一列 a1 , a2 , a3 , 14.多项式 (1 ? x ? x ?
2

,若 an ? 2005 ,则 a5 n ?

. (用

? x100 )3 的展开式在合并同类项后,x150 的系数为

数字作答) . 15.在小于 20 的正整数中,每次不重复地取出三个数,使它们的和能被 3 整除,则不同的 取法种数为 . 16.方程 x ? y ? z ? 2010 满足 x ? y ? z 的正整数解 ( x, y, z ) 的个数是 .

17. 平面内给出一个凸十边形及其所有对角线, 在这样的图中至少有两个顶点是该凸十边形 顶点的三角形有 个(用数字作答) . 18.现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每个项 目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为 (用数字作答) . 19.将 24 个志愿者名额分配给 3 所学校,求每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分 配方法共有 种. 20.对于 n ? N ? ,计算 C4n?1 ? C4n?1 ?
1 5 4 n?1 ? C4 n?1 ?



21.袋中装有 m 个红球和 n 个白球 (m ? n ? 4) .现从中任取两球,若取出的两个球是同色 的概率等于取出的两个球是异色的概率,则满足关系 m ? n ? 40 的数组 (m, n) 的个数

为 . 22.正四面体的 4 个面分别写着 1,2,3,4,将 4 个这样均匀的正四面体同时投掷于桌面 上,与桌面接触的 4 个面上的 4 个数的乘积被 4 整除的概率是 . 23.袋内有 8 个白球和 2 个红球,每次从中随机取出 1 个球,然后放回 1 个白球,则第 4 次恰好取完所有红球的概率为 . 24.在 1,2,?,2006 中随机选取三个数,能构成递增等差数列的概率是 . 25.把长为 1 的铁丝截成三段,则这三段恰能围成三角形的概率为 . 26. 两人轮流投掷骰子, 每人每次投掷两颗, 第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜, 否则, 由另一人投掷,则先投掷人的获胜概率是 . 19 ? 19 27.有一个 的正方形棋盘,从中任取两条水平线,两条垂直线,围成的图形恰好是 正方形的概率是 . 28.有五个乒乓球,其中有三个是新球,两个是旧球(即至少用过一次的球) .每次比赛, 都拿其中的两个球用,用完后全部放回.设第二次比赛时取到新球的个数为 ? ,则 ? 的 数学期望 E? =
n n


n

29.求 2

? k 3Cnk ? 3n? k 2Cnk ? n2 ? kCnk 的值.
k ?1 k ?1 k ?1

30.有一个由 0 和 1 构成的 6 行 n 列的数字方阵,其中每行中恰有 5 个 1,任意两行中同一 列都取 1 的列数不超过 2,求 n 的最小值.

31.将编号为 1,2,?9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各有一 个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为 S,求使 S 达到最小值的放法 的概率. (注:如果某种放法,经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合,则认为是相 同的放法)

32.甲和乙轮流掷一枚均匀硬币,谁先掷出正面谁获胜,此时本场结束,而且负方在下一场 先掷. (1)求任一场比赛中,先掷的人获胜的概率; (2)设他们一共玩了 10 场,且甲第一场先掷,记甲赢得第 k 场的概率为 Pk ,若
9 1? 3 (P 2k ? 1) ? ,求 8 1 k 的值.

33.已知由 1, 2, ?, 1000 这 1000 个正整数构成的集合 A, 先从集合 A 中随机了一个数 a , 取出后把 a 放回集合 A,然后再从集合 A 中随机取一个数 b ,求

a 1 ? 的概率. b 3


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