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2014年高考数学(理)二轮专题复习知能提升演练:1-2-3导数及其综合应用 Word版含解析]


第3讲

导数及其综合应用

一、选择题 1 1.(2013· 大连调研)函数 y=2x2-ln x 的单调减区间是 A.(-1,1] C.[1,+∞) 解析 1 y′=x- x ,且 x>0, B.(0,1] D.(0,+∞) ( ).

1 令 y′=x- x ≤0,解之得 0<x≤1. ∴函数的单调减区间为(0,1]. 答案 B

1 2.(2013· 江西高考)若 S1=?2x2dx,S2=?2x dx,S3=?2exdx,则 S1,S2,S3 的大小 ?1 ?1 ?1 关系为 A.S1<S2<S3 C.S2<S3<S1 解析 1 7 S1=?2x2dx=3x3|2 1= , 3 ?1 B.S2<S1<S3 D.S3<S2<S1 ( ).

1 S2=?2xdx=ln 2,S3=?2exdx=e2-e, ?1 ?1 ∴S2<S1<S3. 答案 B ( ).

3.设函数 f(x)=xex,则 A.x=1 为 f(x)的极大值点 B.x=1 为 f(x)的极小值点 C.x=-1 为 f(x)的极大值点 D.x=-1 为 f(x)的极小值点 解析 ∵f(x)=xex,

∴f′(x)=ex+xex=ex(1+x). ∴当 f′(x)>0 时,则 x>-1,函数 y=f(x)是增函数,同理可求,x<-1 时 函数 f(x)为减函数. ∴x=-1 时,函数 f(x)取得极小值. 答案 D

4.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点, 则下列图象不可能为 y=f(x)的图象是 ( ).

解析

设 h(x)=f(x)ex,

则 h′(x)=(2ax+b)ex+(ax2+bx+c)ex =(ax2+2ax+bx+b+c)ex. 由 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点. ∴c-a=0,∴c=a. ∴f(x)=ax2+bx+a. a 若方程 ax2+bx+a=0 有两根 x1,x2,则 x1x2=a=1,D 中图象一定不满足条 件. 答案 D

5.(2013· 湖北高考)已知函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数 a 的取值范 围是 A.(-∞,0) C.(0,1) 解析 1 B.(0,2) D.(0,+∞) ( ).

1 f′(x)=(ln x-ax)+x(x -a)=ln x+1-2ax,

令 f′(x)=0,得 2a= 设 φ(x)=

ln x+1 x ,

ln x+1 -ln x ,则 φ ′ ( x ) = x x2 ,

易知 φ(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, ∴φ(x)在(0,+∞)上的极大值为 φ(1)=1. 大致图象如图

1 若 f(x)有两个极值点, 则 y=2a 和 y=φ(x)图象有两个交点, ∴0<2a<1, ∴0<a<2. 答案 B

二、填空题 6. (2013· 江西高考)若曲线 y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则 α =________. 解析 y′=αxα-1,∴y′|x=1=α.

曲线在点(1,2)处的切线方程为 y-2=α(x-1),将点(0,0)代入方程,得 α=2. 答案 2

1 7. 已知函数 f(x)=2mx2+ln x-2x 在定义域内是增函数, 则实数 m 的取值范围是 ________. 解析 1 f′(x)=mx+ x-2≥0 对一切 x>0 恒成立,

?1? 2 m≥-? x?2+ x, ? ? 1 ?1? 2 令 g(x)=-? x?2+x,则当 x=1 时,函数 g(x)取最大值 1,故 m≥1. ? ? 答案 [1,+∞)

8. (2013· 长沙调研)设直线 x=t, 与函数 f(x)=x2, g(x)=ln x 的图象分别交于点 M, N,则当|MN|达到最小时 t 的值为________. 解析 当 x=t 时,f(t)=t2,g(t)=ln t,

∴y=|MN|=t2-ln t(t>0).

? 2?? 2? 2?t+ ??t- ? 2 2 ?? 2? 1 2t -1 ? ∴y′=2t- t = t = . t 2 2 当 0<t< 2 时,y′<0;当 t> 2 时,y′>0. 2 ∴y=|MN|=t2-ln t 在 t= 2 时有最小值. 答案 2 2

三、解答题 9.(2013· 新课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线 y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为 y=4x+4. (1)求 a,b 的值; (2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值. 解 (1)f′(x)=ex(ax+b)+aex-2x-4

=ex(ax+a+b)-2x-4, ∵y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为 y=4x+4, ∴f′(0)=a+b-4=4,f(0)=b=4, ∴a=4,b=4. (2)由(1)知 f′(x)=4ex(x+2)-2(x+2) =2(x+2)(2ex-1), 1 令 f′(x)=0 得 x1=-2,x2=ln 2, 列表: x f′(x) f(x) (-∞,- 2) + -2 0 极大值 1? ? ?-2,ln 2? ? ? - 1 ln 2 0 极小值 ? 1 ? ?ln 2,+∞? ? ? +

? 1 ? ∴y=f(x)的单调增区间为(-∞,-2),?ln 2,+∞?; ? ? 1? ? 单调减区间为?-2,ln 2?. ? ? f(x)极大值=f(-2)=4-4e-2.

10.设函数 f(x)=x+ax2+bln x,曲线 y=f(x)在点 P(1,0)处的切线斜率为 2. (1)求 a,b 的值; (2)证明:f(x)≤2x-2. (1)解 b f′(x)=1+2ax+x ,

由题设,y=f(x)在点 P(1,0)处切线的斜率为 2. ?f?1?=1+a=0, ?a=-1, ∴? 解之得? ?f′?1?=1+2a+b=2, ?b=3, 因此实数 a,b 的值分别为-1 和 3. (2)证明 f(x)定义域(0,+∞),且 f(x)=x-x2+3ln x.

设 g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3ln x, ?x-1??2x+3? 3 则 g′(x)=-1-2x+ x=- . x 当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0. ∴g(x)在(0,1)上单调递增;在(1,+∞)上单调减少. ∴g(x)在 x=1 处有最大值 g(1)=0 故 g(x)≤0,即 f(x)≤2x-2. 1-a 1 11.(2012· 天津高考改编)已知函数 f(x)=3x3+ 2 x2-ax-a,x∈R,其中 a>0. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值范围. 解 (1)f′(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).

由 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=a>0. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,-1) + -1 0 极大值 (-1,a) - a 0 极小值 (a,+∞) +

故函数 f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(a,+∞);单调递减区间是(-1, a). (2)由(1)知 f(x)在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,从

而函数

?f?-2?<0, f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点当且仅当?f?-1?>0, ?f?0?<0.

解得 0<a

1 <3. 1? ? 所以 a 的取值范围是?0,3?. ? ?


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