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带电粒子在磁场中做匀速圆周运动类型题


四、带电粒子做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定. 1.圆心的确定一般有以下四种情况: ①已知粒子运动轨迹上两点的速度方向,作这两速度的垂线,交点即为圆心. ②已知粒子入射点、入射方向及运动轨迹上的一条弦,作速度方向的垂线及弦的垂直平分线,交点即 为圆心. ③已知粒子运动轨迹上的两条弦,作出两弦垂直平分线,交点即为圆心. ④已知粒子在磁场中的入射点、入射方向和出射方向(不一

定在磁场中),延长(或反向延长)两速度方向 所在直线使之成一夹角,作出这一夹角的角平分线,角平分线上到两直线距离等于半径的点即为圆心. 2.半径的确定和计算.圆心找到以后,自然就有了半径,半径的计算一般是利用几何知识,常用解三 角形的方法及圆心角等于圆弧上弦切角的两倍等知识. 3.在磁场中运动时间的确定.利用圆心角和与弦切角的关系,或者是四边形内角和等于 360 计算出 圆心角θ 的大小,由公式 t=


?
360
0

×T可求出运动时间.有时也用弧长与线速度的比 t=

s v



如图 8-2-1 所示,在上述问题中经常用到以下关系:

图 8-2-1 ①速度的偏向角 φ 等于 AB 所对的圆心角θ . ②偏向角 φ 与弦切角 α 的关系为:φ<180 ,φ=2α ;φ>180 ,φ=360 一 2α ③圆周运动中有关对称规律:如从同一直线边界射入的粒子,再从这一边射出时,速度与边界的夹角 相等;在圆形磁场区域内,沿径向射入的粒子,必沿径向射出. 4.带电粒子在有界磁场中运动问题如何处理? (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切. (2)当速度 v 一定时,弧长越长,轨迹对应的圆心角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长. 六、带电粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动的多解问题. 由于多种因素的影响,使问题形成多解.多解形成的原因一般包含下述几个方面: 1.带电粒子电性不确定形成多解.受洛仑兹力作用的带电粒子,可能带正电荷,也可能带负电荷,在 相同的初速度下,正、负粒子在磁场中运动轨迹不同,导致形成双解. 2.磁场的方向不确定形成多解.有些题目只告诉了磁感应强度的大小,而未指出磁感应强度的方向, 有时必须要考虑因磁感应强度方向不确定而形成的双解. 3.临界状态不唯一形成多解.带电粒子在洛仑兹力作用下飞越有界磁场时,由于粒子运动轨迹是圆弧 状,因此,它可能穿过去了,也可能转过 180 从入射界面这边反向飞出,于是形成多解. 4.运动的重复性形成多解.带电粒子在磁场中运动时,由于某些因素的变化,例如磁场方向反向或者 速度方向突然反向等,往往运动具有往复性,因而形成多解.
0 0 0 0

类型题: 确定带电粒子在磁场中运动圆心 带电粒子垂直进入磁场,在洛仑兹力的作用下,做匀速圆周运动,找到圆心,画出轨迹, 是解这类题的关键。下面举例说明圆心的确定方法。

1.由两速度的垂线定圆心 【例题】电视机的显像管中,电子(质量为 m,带电量为 e)束的偏转是用磁偏转技术 实现的。电子束经过电压为 U 的加速电场后,进入一圆形匀强磁场区,如图 1 所示,磁场 方向垂直于圆面,磁场区的中心为 O,半径为 r。当不加磁场时,电子束将通过 O 点打到屏 幕的中心 M 点。为了让电子束射到屏幕边缘 P,需要加磁场,使电子束偏转一已知角度 ? , 此时磁场的磁感强度 B 应为多少?

★解析:如图 2 所示,电子在匀强磁场中做圆周运动,圆周上的两点 a、b 分别为进入和 射出的点。做 a、b 点速度的垂线,交点 O1 即为轨迹圆的圆心。

设电子进入磁场时的速度为 v,对电子在电场中的运动过程有
eU ? m v
2

/2

对电子在磁场中的运动(设轨道半径为 R)有
evB ? m v
2

/ R

由图可知,偏转角 ? 与 r、R 的关系为
tan(? / 2 ) ? r / R

联立以上三式解得
B ? (1 / r ) 2 mU / e tan( ? / 2 )

2.由两条弦的垂直平分线定圆心 【例题】如图 3 所示,有垂直坐标平面的范围足够大的匀强磁场,磁感应强度为 B,方 向向里。一带正电荷量为 q 的粒子,质量为 m,从 O 点以某一初速度垂直射入磁场,其轨 迹与 x、y 轴的交点 A、C 到 O 点的距离分别为 a、b。试求: (1)初速度方向与 x 轴夹角; (2)初速度的大小。

★解析: (1)粒子垂直射入磁场,在 xOy 平面内做匀速圆周运动,如图 4 所示,OA、OC

是圆周上的两条弦。 做两条弦的垂直平分线, 交点 O1 即为圆轨迹的圆心, O1 为圆心, O 1 以 O =R 为半径画圆。正电荷在 O 点所受的洛仑兹力 F 的方向(与初速度垂直)和粒子的初速度 v 的方向(与 O O 1 垂直斜向上) ,也在图上标出。

设初速度方向与 x 轴的夹角为 ? ,由几何关系可知,∠O1OC= ? 。在直角三角形 OO1D 中,有
tan ? ? ( a / 2 ) / ( b / 2 ) ? a / b

? ? a r c t aan/ (b )

(2)由直角三角形 OO1D,粒子的轨道半径
R ? ( a / 2 ) ? (b / 2 )
2 2

粒子在磁场中运动有 由上述两式可得

q v B? m v

2

/ R

v ? qB a

2

?b

2

/ (2m)

3.由两洛仑兹力的延长线定圆心 【例题】如图 5 所示,有垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度为 B。在匀强磁场中做 匀速圆周运动的一个电子,动量为 P,电量为 e,在 A、C 点,所受洛仑兹力的方向如图示, 已知 AC=d。求电子从 A 到 C 时发生的偏转角。

★解析:如图 6 所示,A、C 为圆周上的两点,做洛仑兹力的延长线,交点 O 为圆周轨迹 的圆心。以 O 为圆心做电子从 A 到 C 的运动轨迹。过 A、C 画出速度的方向,则 ? 角为偏转 角。

设粒子的质量为 m,速度为 v,则轨迹半径
R ? m v / ( eB ) ? P / ( eB )

由几何关系有

s i n?( / 2 ) ? ( d / 2 ) / R

联立以上二式解得

? ? 2 a r c s ideB / ( 2 P )] n[

4.综合定圆心 确定圆心,还可综合运用上述方法。一条切线,一条弦的垂直平分线,一条洛仑兹力的延长 线,选其中任两条都可找出圆心。 【例题】如图 7 所示,在 y ? 0 的区域内存在匀强磁场,磁场方向垂直于 xOy 平面并指向纸 面外,磁感应强度为 B。一带正电的粒子以速度 v 0 从 O 点射入磁场,入射方向在 xy 平面内, 与 x 轴正方向的夹角为 ? 。若粒子射出磁场的位置与 O 点的距离为 L,求该粒子的电量和质 量之比 q/m。 ★解析:如图所示,

粒子进入磁场后,受洛仑兹力的作用,做匀速圆周运动,从 A 点射出磁场。 O A 是圆轨 迹上一条弦,初速度 v 0 与圆周轨迹相切。做弦的垂直平分线和初速度 v 的垂线,交点 O1 即 为圆轨迹的圆心。以 O1 为圆心,以 O1 到入射点 O 的距离 R(轨道半径)画出粒子圆周运动 的轨迹。 由洛仑兹力公式和牛顿定律有
qv 0 B ? m v 0 / R
2

O1 是弦 O A 的垂直平分线上的点,由几何关系有
L / 2 ? R sin ?

联立以上二式解得

q / m ? 2 v 0 sin ? / ( L B )

类型题: 确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法 带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点,这些题不但涉及洛伦兹 力,而且往往与几何关系相联系,使问题难度加大,但无论这类题多么复杂,其关键一点在 于画轨迹,只要确定了轨迹,问题便迎刃而解,下面举几种确定带电粒子运动轨迹的方法。 1。 对称法 带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出,则其轨迹关于入射点和出射点线段的 中垂线对称, 入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等, 利用这一结论可以轻松画出 粒子的轨迹。

【例题】 (这题和前一题重复)如图 1 所示,在 y 小于 0 的区域内存在匀强磁场,磁场方 向垂直于 xy 平面并指向纸面外,磁感应强度为 B,一带正电的粒子以速度 v 0 从 O 点射入磁 场,入射速度方向为 xy 平面内,与 x 轴正向的夹角为 ? ,若粒子射出磁场的位置与 O 点的 距离为 L,求该粒子电量与质量之比。

★解析:根据带电粒子在有界磁场的对称性作出轨迹,如图 2 所示,找出圆心 A,向 x 轴作垂线,垂足为 H,由与几何关系得:

R sin ? ?

1 2

L


2

带电粒子磁场中作圆周运动,由 q v 0 B ?

mv0 R

解得 R ?

mv0 qB



①②联立解得

2。 动态圆法 在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射粒子时,粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的动 态圆,用这一规律可确定粒子的运动轨迹。 【例题】如图所示,S 为电子源,它在纸面 360 度范围内发射速度大小为 v 0 ,质量为 m, 电量为 q 的电子(q<0) ,MN 是一块足够大的竖直挡板,与 S 的水平距离为 L,挡板左侧充 满垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为
mv0 qL

,求挡板被电子击中的范围为多大?

★解析:由于粒子从同一点向各个方向发射,粒子的轨迹构成绕 S 点旋转的一动态圆, 动态圆的每一个圆都是逆时针旋转, 这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹, 如图 4 所示, 最高点为动态圆与 MN 的相切时的交点,最低点为动态圆与 MN 相割,且 SB 为直径时 B 为 最低点,带电粒子在磁场中作圆周运动,由 q v 0 B ?
mv0 R
2



R ?

mv0 qB

? L

SB 为直径,则 SB ? 2 L , SO ? L 由几何关系得
OB ?
2

SB

? OS

2

?

3L

A 为切点,所以 OA=L 所以粒子能击中的范围为 (1 ?
3) L 。

3。 放缩法 带电粒子在磁场中以不同的速度运动时,圆周运动的半径随着速度的变化而变化,因此 可以将半径放缩,探索出临界点的轨迹,使问题得解。 【例题】如图 5 所示,匀强磁场中磁感应强度为 B,宽度为 d,一电子从左边界垂直匀 强磁场射入,入射方向与边界的夹角为 ? ,已知电子的质量为 m,电量为 e,要使电子能从 轨道的另一侧射出,求电子速度大小的范围。

★解析:如图 6 所示,当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射

出,速率越大,轨道半径越大,当轨道与边界相切时,电子恰好不能从另一侧射出,当速率 大于这个临界值时便从右边界射出,设此时的速率为 v 0 ,带电粒子在磁场中作圆周运动, 由几何关系得

r ? r cos ? ? d



电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力
ev 0 B ? mv0 r
2

,所以 r ?

mv0 Be
B ed



①② 联 立 解 得 v 0 ?

m (1 ? c o ? ) s

所以电子从另一侧射出的条件是速度大于

Bed m (1 ? cos ? )



4。 临界法 临界点是粒子轨迹发生质的变化的转折点,所以只要画出临界点的轨迹就可以使问题得 解。 【例题】长为 L 的水平极板间,有垂直纸面向内的匀强磁场,如图 7 所示,磁感应强度 为 B,板间距离也为 L,两极板不带电,现有质量为 m 电量为 q 的带负电粒子(不计重力) 从左边极板间中点处垂直磁感线以水平速度 v 射入磁场,欲使粒子打到极板上, 求初速度的 范围。

★解析:由左手定则判定受力向下,所以向下偏转,恰好打到下板右边界和左边界为两 个临界状态,分别作出两个状态的轨迹图,如图 8、图 9 所示,打到右边界时,在直角三角 形 OAB 中,由几何关系得:

R1 ? ( R1 ?

2

L 2

) ? L
2

2

解得轨道半径 R 1 ?

5L 4
m v1 R1
2

电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力 q v 1 B ?
5L 4 m ? 5q B L 4m

因此 v 1 ?

qB R1 m

qB ?

打在左侧边界时,如图 9 所示,由几何关系得轨迹半径 R 2 ? 电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力
qv 2 B ? mv2 R2
2

L 4

所以 v 2 ?

qBR2 m

qB ? m

L 4 ? qBL 4m

所以打在板上时速度的范围为
qBL 4m ? v ? 5q B L 4m

以上是确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法,在解题中如果善于抓住这几点,可 以使问题轻松得解

类型题: 计算带电粒子在有界磁场中的运动 带电粒子在有界磁场中的运动问题,综合性较强,解这类问题既要用到物理中的洛仑兹 力、圆周运动的知识,又要用到数学中的平面几何中的圆及解析几何知识。 1。带电粒子在半无界磁场中的运动 【例题】一个负离子,质量为m,电量大小为q,以速率V垂直于屏S经过小孔O射入存在 着匀强磁场的真空室中(如图11)。磁感应强度B的方向与离子的运动方向垂直,并垂直于图1 中纸面向里。

O S

v θ

B P

(1)求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离。 (2)如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P,证明:直线O与离子入射方向之间的夹角θ 跟t的关系是 ? ?
qB 2m t。

★解析:(1)离子的初速度与匀强磁场的方向垂直,在洛仑兹力作用下,做匀速圆周运动。 设圆半径为r,则据牛顿第二定律可得:

BqV ? m

V r

2

,解得 r ?

mV Bq

如图12所示,离了回到屏S上的位置A与O点的距离为:AO=2r 所以 AO ?
2 mV Bq

(2)当离子到位置P时,圆心角(见图12):
? ?
Vt r ? Bq m qB 2m t。 t

因为 ? ? 2? ,所以 ? ?

2、带电粒子在圆形磁场中的运动 【例题】圆心为 O、半径为 r 的圆形区域中有一个磁感强度为 B、方向为垂直于纸面向 里的匀强磁场,与区域边缘的最短距离为 L 的 O'处有一竖直放置的荧光屏 MN,今有一质 量为 m 的电子以速率 v 从左侧沿OO'方向垂直射入磁场,越出磁场后打在荧光屏上之 P 点,如图 13 所示,求 O'P 的长度和电子通过磁场所用的时间。

L A

M

O'
N ★解析:电子所受重力不计。 L A M

O
θ B

O,

R

θ/2 θ/2 O//

P

N

它在磁场中做匀速圆周运动,圆心为 O″,半径为 R。圆弧段轨迹 AB 所对的圆心角为 θ, 电 子 越 出 磁 场 后 做 速 率 仍 为 v 的 匀 速 直 线 运 动 , 如 图 14 所 示 , 连 结 OB , ∵△OAO″≌△OBO″,又 OA⊥O″A,故 OB⊥O″B,由于原有 BP⊥O″B,可见 O、B、P 在同一直线上,且∠O'OP=∠AO″B=θ,在直角三角形OO'P 中,O'P=(L+r)tanθ,而
2 tan( tan ? ?
2

?
2

)

1 ? tan (

?
2

, tan(
)

?
2

)?

r R

,所以求得 R 后就可以求出 O'P 了,电子经过磁场的

时间可用 t=

AB V

?

?R
V

来求得。
mV eB

由 BeV ? m
?
2

V

2

R
tan( )? r R

得 R=
eBr mV

.OP ? ( L ? r ) tan ?

?

2 tan( tan ? ?

?
2

)

1 ? tan (
2

?
2

? )

2 eBrmV m V
2 2

?e B r
2 2

2

O P ? ( L ? r ) tan ? ?
,

2 ( L ? r ) eBrmV m V
2 2

?e B r
2 2

2



? ? arctan(

2 eBrmV m V
2 2

?e B r
2 2

2

)

t ?

?R
V

?

m eB

arctan(

2 eBrmV m V
2 2

?e B r
2 2

2

)

3、带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动 【例题】如图 15 所示,一束电子(电量为 e)以速度 V 垂直射入磁感强度为 B,宽度为 d 的匀强磁场中,穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是 30°,则电子的质量是, 穿透磁场的时间是 。 A V B d 30 V0

O

B

★解析: 电子在磁场中运动, 只受洛仑兹力作用, 故其轨迹是圆弧的一部分, 又因为 f⊥V, 故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛仑兹力指向交点上,如图 15 中的 O 点,由几何知识 知,AB 间圆心角 θ=30°,OB 为半径。 ∴r=d/sin30°=2d,又由 r=mV/Be 得 m=2dBe/V 又∵AB 圆心角是 30°,∴穿透时间 t=T/12,故 t=πd/3V。 带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动时要注意临界条件的分析。如已知带电粒子 的质量 m 和电量 e,若要带电粒子能从磁场的右边界射出,粒子的速度 V 必须满足什么条 件?这时必须满足 r=mV/Be>d,即 V>Bed/m。

4、带电粒子在正方形磁场中的运动 【例题】长为 L 的水平极板间,有垂直纸面向内的匀强磁场,如图 16 所示,磁感强度为 B,板间距离也为 L,板不带电,现有质量为 m,电量为 q 的带正电粒子(不计重力),从左边 极板间中点处垂直磁感线以速度 V 水平射入磁场,欲使粒子不打在极板上,可采用的办法 是( ) O r1 l v

+q

v

l

A.使粒子的速度 V<BqL/4m; B.使粒子的速度 V>5BqL/4m; C.使粒子的速度 V>BqL/m;

D.使粒子速度 BqL/4m<V<5BqL/4m。 ★解析:由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏,而作匀速圆周运动,很明显,圆周运 动的半径大于某值 r1 时粒子可以从极板右边穿出,而半径小于某值 r2 时粒子可从极板的左 边穿出, 现在问题归结为求粒子能在右边穿出时 r 的最小值 r1 以及粒子在左边穿出时 r 的最 大值 r2,由几何知识得: 粒子擦着板从右边穿出时,圆心在 O 点,有: r12=L2+(r1-L/2)2 得 r1=5L/4, 又由于 r1=mV1/Bq 得 V1=5BqL/4m,∴V>5BqL/4m 时粒子能从右边穿出。 粒子擦着上板从左边穿出时,圆心在 O'点,有 r2=L/4,又由 r2=mV2/Bq=L/4 得 V2= BqL/4m? ∴V2<BqL/4m 时粒子能从左边穿出。 综上可得正确答案是 A、B。

5、带电粒子在环状磁场中的运动 【例题】核聚变反应需要几百万度以上的高温,为把高温条件下高速运动的离子约束在 小范围内(否则不可能发生核反应) ,通常采用磁约束的方法(托卡马克装置) 。如图所示, 环状匀强磁场围成中空区域, 中空区域中的带电粒子只要速度不是很大, 都不会穿出磁场的 外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为 R1=0.5m,外半径 R2=1.0m,磁场的磁 感强度 B=1.0T,若被束缚带电粒子的荷质比为 q/m=4× 10 c/㎏,中空区域内带电粒子具有 各个方向的速度。试计算
7

(1)粒子沿环状的半径方向射入磁场,不能穿越磁场的最大速度。 (2)所有粒子不能穿越磁场的最大速度。 ★解析: (1)要粒子沿环状的半径方向射入磁场,不能穿越磁场,则粒子的临界轨迹必 须要与外圆相切,轨迹如图 18 所示。

r
1

由图中知 r1 ? R 1 ? ( R 2 ? r1 )
2 2

2

解得 r1 ? 0 . 375 m

由 BqV

1

? m

V1

2

r1

得V1 ?

Bqr 1 m

? 1 . 5 ? 10 m / s
7

所以粒子沿环状的半径方向射入磁场,不能穿越磁场的最大速度为 V 1 ? 1 . 5 ? 10 m / s 。
7

(2)当粒子以 V2 的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时,则以 V1 速度 沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界,如图 19 所示。

O O2 由图中知 r2 ?
R 2 ? R1 2 ? 0 . 25 m

由 BqV

2

? m

V2

2

r2
Bqr m

得V 2 ?

2

? 1 . 0 ? 10 m / s
7

所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度
V 2 ? 1 . 0 ? 10 m / s
7

6、带电粒子在“绿叶形”磁场中的运动 【例题】如图所示,在 xoy 平面内有很多质量为 m、电量为 e 的电子,从坐标原点 O 不 断以相同的速率 V0 沿不同方向平行 xoy 平面射入第 I 象限。现加一垂直 xoy 平面向里、磁感 强度为 B 的匀强磁场, 要求这些入射电子穿过磁场都能平行于 x 轴且沿 X 轴正方向运动。 求 符合条件的磁场的最小面积。 (不考虑电子之间的相互作用)

★解析:如图 21 所示,电子在磁场中做匀速圆周运动,半径为 R ?

mV Be

0

。在由 O 点射

入第 I 象限的所有电子中,沿 y 轴正方向射出的电子转过 1/4 圆周,速度变为沿 x 轴正方向, 这条轨迹为磁场区域的上边界。下面确定磁场区域的下边界。 设某电子做匀速圆周运动的圆心 O/与 O 点的连线与 y 轴正方向夹角为 θ,若离开磁场时

电子速度变为沿 x 轴正方向,其射出点(也就是轨迹与磁场边界的交点)的坐标为(x,y) 。 由图中几何关系可得

x=Rsinθ,y=R-Rcosθ, 消去参数 θ 可知磁场区域的下边界满足的方程为 x2+(R-y)2=R2,(x>0,y>0) 这是一个圆的方程,圆心在(0,R)处。磁场区域为图中两条圆弧所围成的面积。磁场 的最小面积为;
(? ? 2 ) m V 0 1 1 2 2 S ? 2( ?R ? R ) ? 2 2 4 2 2e B
2 2

7、带电粒子在有“圆孔”的磁场中运动 【例题】如图 22 所示,两个共轴的圆筒形金属电极,外电极接地,其上均匀分布着平行 于轴线的四条狭缝a、b、c和d,外筒的外半径为r,在圆筒之外的足够大区域中有平行 于轴线方向的均匀磁场,磁感强度的大小为B。在两极间加上电压,使两圆筒之间的区域内 有沿半径向外的电场。一质量为m、带电量为+q的粒子,从紧靠内筒且正对狭缝a的S点 出发,初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S,则两电极之间 的电压U应是多少?(不计重力,整个装置在真空中)
a S d c o b

★解析: a S d o b

c 如图所示,带电粒子从 S 点出发,在两筒之间的电场作用下加速,沿径向穿过狭缝 a 而 进入磁场区, 在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。 粒子再回到 S 点的条件是能沿径向穿过狭 缝 d。只要穿过了 d,粒子就会在电场力作用下先减速,再反向加速,经 d 重新进入磁场区,

然后粒子以同样方式经过 c、b,再回到 S 点。设粒子进入磁场区的速度大小为 V,根据动能 定理,有: qU ?
1 2 mV
2

设粒子做匀速圆周运动的半径为 R,由洛伦兹力公式和牛顿第二定律,有:
BqV ? m V
2

R

由前面分析可知,要回到 S 点,粒子从 a 到 d 必经过 外半径 r,即 R=r。由以上各式解得:
U ? B qr 2m
2 2

3 4

圆周,所以半径 R 必定等于筒的



8、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动 【例题】如图 24 所示,空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的 场强大小为 E、方向水平向右,电场宽度为 L;中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为 B, 方向垂直纸面向里。一个质量为 m、电量为 q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的 O 点由静止开始运动,穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后,又回到 O 点,然后重复上 述运动过程。求: L E O d B B

(1)中间磁场区域的宽度 d; (2)带电粒子从 O 点开始运动到第一次回到 O 点所用时间 t。 ★解析: (1)带电粒子在电场中加速,由动能定理,可得: 带电粒子在磁场中偏转,由牛顿第二定律,可得: O3 600 O O2 O1
2

qEL ?

1 2

mV

2

BqV ? m

V

R

由以上两式,可得 R ?

1 B

2 mEL q



可见在两磁场区粒子运动半径相同, 如图 25 所示, 三段圆弧的圆心组成的三角形 ΔO1O2O3 是等边三角形,其边长为 2R。所以中间磁场区域的宽度为
d ? R sin 60
0

?

1 2B

6 mEL q

(2)在电场中
t1 ? 2V a ? 2 mV qE ? 2 2 mL qE



在中间磁场中运动时间 t 2 ?

T 3

?

2? m 3 qB 5? m 3 qB

在右侧磁场中运动时间 t 3 ?

5 6

T ?



则粒子第一次回到 O 点的所用时间为
t ? t1 ? t 2 ? t 3 ? 2 2 mL qE ? 7? m 3 qB



综上所述,运动的带电粒子垂直进入有界的匀强磁场,若仅受洛仑兹力作用时,它一定 做匀速圆周运动,这类问题虽然比较复杂,但只要准确地画出轨迹图,并灵活运用几何知识 和物理规律,找到已知量与轨道半径 R、周期 T 的关系,求出粒子在磁场中偏转的角度或距 离以及运动时间不太难

类型题: 计算带电粒子在有界磁场边界碰撞 带电粒子与有界磁场边界碰撞的问题,由于这类问题往往存在多解,同学们解这类习题 时常常由于只考虑问题的特解而忽略一般情况的分析, 对学生能力的要求较高, 因此不少同 学感到困难。 为加强学生对这类问题的认识, 下面通过例题来分析带电粒子与磁场边界碰撞 问题。 1、带电粒子与绝缘圆筒的碰撞 【例题】如图 26 所示,一个质量为 m、电量为 q 的正离子,从 A 点正对着圆心 O 以速 度 V 射入半径为 R 的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度的大 小为 B。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从 A 点射出,求正离子在磁场中运动的时间 t。设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失,不计粒子的重力。

A

v0

B

O

★解析:由于离子与圆筒内壁碰撞时无能量损失和电量损失,每次碰撞后离子的速度方 向都沿半径方向指向圆心,并且离子运动的轨迹是对称的,如图 27 所示。设粒子与圆筒内 壁碰撞 n 次( n ? 2 ),经过 m 转回到 A 点,则每相邻两次碰撞点之间圆弧所对的圆心角为 2πm/(n+1)(这里是指磁场圆弧所对圆心角,而不是指轨迹圆弧所对圆心角)由几何知识可 。 知,离子运动的半径为:

r ? R tan

m? n ?1

(m=1,2,3…,n=2,3,…)
2? m qB

离子运动的周期为 T ?

,又

BqV ? m

V r

2



所以离子在磁场中运动的时间为 2? R m? t ? tan (m=1, 3…, 2, n=2, …) 3,
V n ?1

我认为应改为:

设图中、的 ? 、 ? 2? m 2? m 因? ? ,则 ? ? ? ?
n ?1

n ?1

t ? ( n ? 1)

?R ?
2? m n ?1 ) R tan

( n ? 1)( ? ?

?m
n ?1

而?
?

? ( n ? 1 ? 2 m )? R ?

tan

?m
n ?1

2、带电粒子与正方形绝缘壁的碰撞 【例题】如图 28 所示,正方形匀强磁场区边界长为 a、由光滑绝缘壁围成,质量为 m、 电量为 q 的带正电粒子垂直于磁场方向和边界,从下边界正中央的 A 孔射入磁场中。粒子 碰撞时无能量和电量损失,不计重力和碰撞时间,磁感应强度的大小为 B,粒子在磁场中运 动的半径小于 a。欲使粒子仍能从 A 孔处射出,粒子的入射速度应为多少?在磁场中运动时 间是多少?

B a

A ★解析:欲使粒子仍能从 A 孔处射出,粒子的运动轨迹可能是如图 29 甲、乙所示的两 种情况。 对图 29 甲所示的情形,粒子运动的半径为 R,则

R ?

a 2 ( 2 n ? 1)

, n ? 0 ,1, ? ?

又 qVB ? 所以

mV R

2

,T ?

2? m qB



V ?

qBa 2 ( 2 n ? 1) m

, 2 ( 2 n ? 1) ? m qB , n ? 0 ,1, 2 , ? ?

t ? ( 4 n ? 1) T ?

对图 29 乙所示的情形,粒子运动的半径为 R1,则
R1 ? a 4k , k ? 1, 2 , ? ?
2

又 qV 1 B ? 所以
V1 ? ? qBa 4 km

mV 1 R1



, t ? 2 kT , k ? 1, 2 , ? ?

2 k (? ? 2 )? m qB

我认为应改为:
V1 ? ? qBa 4 km , k ? 1, 2 , ? ? qB , t ? 2 kT

4 k (? ? 2 )? m

3、带电粒子与三角形绝缘壁的碰撞 【例题】如图 30 所示,在半径为 α 的圆柱形空间中(图中圆为其横截面)充满磁感应强度 为 B 的均匀磁场. 其方向平行于轴线远离读者。 在圆柱空间中垂直轴线平面内固定放置一绝 缘材料制成的边长为 L=1.6α 的刚性等边三角形框架△ DEF, 其中心 O 位于圆柱的轴线上. DE 边上 S 点 DS ? L / 4 处有一发射带电粒子的源,发射粒子的方向皆在图中截面内且垂直于 DE 边向下.发射粒子的电量皆为 q(>0),质量均为 m,但速度 V 有各种不同的数值.若这 些粒子与三角形框架的碰撞均为完全弹性碰撞, 并要求每一次碰撞时速度方向垂直于被碰的 边.试问:

(1)带电粒子速度 V 的大小取哪些数值时可使 S 点发出的粒子最终又回到 S 点? (2)这些粒子中,回到 S 点所用的最短时间是多少?

★解析: (1)粒子从 S 点以垂直于 DF 边射出后,做匀速圆周运动,其圆心必在 DE 边上。 根据牛顿第定律可得:
BqV ? m V
2

解得 R ?

mV Bq

R

要使粒子能回到 S 点, 要求粒子每次与△ DEF 碰撞时, V 都垂直于边,且通过三角形 顶点处时,圆心必为三角形顶点,故
DS ? ( 2 n ? 1) R n (n=1,2,3……)
L 4 ( 2 n ? 1) 2a 5 ( 2 n ? 1)

即 Rn ?

?

(n=1,2,3……)

此时 SE

? 3 DS ? ( 6 n ? 3 ) R n

(n

? 1 ,2 ,? ?



要使粒子能绕过三角形顶点,粒子轨迹至多与磁场边界相切,即 D 与磁场边界距离
x ? a? 8 3 15 a ? 0 . 076 a

由于 R 3

?

2 25

a ? 0 . 080 a ,

R4 ?

2 35

a ? 0 . 057 a

所以有 n ? 4 ,所以可得 V n ? (n=4,5,……) (2)由于 T ?
2? R V ? 2? m Bq

Bq

2a

m 5 ( 2 n ? 1)

可见,T 与 V 无关,n 越小,所用时间越少,取 n=4。 由几何关系可知,粒子运动轨迹包含 3×13 个半圆加 3 个加圆心角 300? 的弧。所以有
t ? 3 ? 13 ? T 2 ? 3? 5 6 T ? 22 T

可求得 t ? 44

?m
Bq


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