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江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选分类汇编14:解析几何


江苏省 2014 届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编 14:解析几何
一、填空题 错误!未指定书签。 . ( 江 苏 省 扬 州 中 学 2014 届 高 三 开 学 检 测 数 学 试 题 ) 已知实 数 p ? 0 , 直线

3x ? 4 y ? 2 p ? 0 与抛物线 x 2 ? 2 py 和圆 x 2 ? ( y ? )2 ?<

br />则

p 2

p2 从左到右的交点依次为 A、B、C、D, 4

AB 的值为 CD 1 【答案】 16
2 2 2





错误!未指定书签。 . ( 江 苏 省 淮 安 市 车 桥 中 学 2014 届 高 三 9 月 期 初 测 试 数 学 试 题 ) 如 果 圆

x +y -2ax-2ay+2a -4=0 与圆 x +y =4 总相交,则 a 的取值范围是___.
【答案】 ?2 2 ? a ? 0或0 ? a ? 2 2 错误!未指定书签。 . (江苏省常州市武进区 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题)若实数 x 、 y 满足

2

2

x 2 ? y 2 ? 2 ? x ? y ? ,则 x ? y 的最大值是_________.
【答案】4 错误!未指定书签。 . (江苏省无锡市市北高中 2014 届高三上学期期初考试数学试题)椭圆中有如下结论:椭圆

x y x2 y 2 ? 2 ? 1 上斜率为 1 的弦的中点在直线 2 ? 2 ? 0 上, 类比上述结论得到正确的结论为 : 双曲线 2 a b a b
x2 y 2 ? ? 1 上斜率为 1 的弦的中点在直线_______________上. a 2 b2
【答案】

x y ? ?0 a 2 b2
2

错误!未指定书签。 . (江苏省泰州中学 2014 届第一学学期高三数学摸底考试)设中心在原点的双曲线与椭

圆错误!未找到引用源。 +y =1 有公共的焦点 , 且它们的离心率互为倒数 , 则该双曲线的方程是 __________. 2 2 【答案】2x ﹣2y =1 错误!未指定书签。 . (江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校 2014 届高三 10 月月考数学试题)我们把形如 b y? ? a ? 0, b ? 0 ? 的函数称为“莫言函数”,并把其与 y 轴的交点关于原点的对称点称为“莫言 x ?a 点 ”,以 “ 莫 言点” 为圆心 , 凡是 与 “ 莫 言函 数”图 象有 公共 点的 圆 , 皆称之 为 “ 莫言 圆”. 当 a ? 1 , b ? 1 时,在所有的“莫言圆”中,面积的最小值______. ) 【答案】 3? .
错误!未指定书签。 . (江苏省无锡市 2014 届高三上学期期中调研考试数学试题) 直线 y ? kx ? 1 与圆

( x ? 3)2 ? ( y ? 2) 2 ? 9 相交于 A、B 两点,若 AB ? 4 ,则 k 的取值范围是____________________.
【答案】 ( ?

1 , 2) 2

错误!未指定书签。 . (江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校 2014 届高三 10 月月考数学试题)设 F 是椭圆

x2 y2 + =1(a>b>0)右焦点,A 是其右准线与 x 轴的交点.若在椭圆上存在一点 P,使线段 PA 的垂直平分线恰 a2 b2
1

好经过点 F,则椭圆离心率的取值范围是 ___________.]
【答案】[ ,1) 错误! 未指定书签。 . (江苏省南京市第五十五中学 2014 届高三上学期第一次月考数学试题) 抛物线 y ? ?12 x
2

1 2

x2 y 2 的准线与双曲线 ? ? 1 的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 9 3
(A) 3 3
【答案】A 错 误! 未指 定书签 。 . ( 江苏省苏州 市 2014 届高 三暑假自主学 习测试( 9 月)数学试卷 ) 已知双曲线

(B) 2 3

(C) 2

(D) 3

y2 ? 1 (m ? 0) 的离心率为 2,则 m 的值为 ______. m 【答案】3 x2 ?
错误!未指定书签。 . (江苏省诚贤中学 2014 届高三上学期摸底考试数学试题)若双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 的焦点到 k

渐近线的距离为 2 2 ,则实数 k 的值是________.
【答案】8 错误!未指定书签。 . ( 江 苏 省 宿 迁 市 2014 届 高 三 上 学 期 第 一 次 摸 底 考 试 数 学 试 卷 ) 已 知 双 曲 线

x2 y 2 右焦点分别为 F1 , F2 ,以 F1F2 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为 ? ? 1(a>0 , b>0) 的左、 a 2 b2
? P .若 ?PF1 F2 ? 30 ,则该双曲线的离心率为______.

【答案】 3 ? 1 错误!未指定书签。 . (江苏省宿迁市 2014 届高三上学期第一次摸底考试数学试卷)已知过点 (2 , 5) 的直线 l 被

x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦长为 4,则直线 l 的方程为______. 圆C:
【答案】 x ? 2 ? 0 或 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 错误!未指定书签。 . (江苏省无锡市 2014 届高三上学期期中调研考试数学试题)若中心在原点,以坐标轴为对

称轴的圆锥曲线 C ,离心率为 2 ,且过点 (2,3) ,则曲线 C 的方程为________.
【答案】 x ? y ? 5
2 2

错误!未指定书签。 . (江苏省苏州市 2014 届高三暑假自主学习测试( 9 月)数学试卷) 已知 P 是直线

l: kx ? y ? 4 ? 0(k ? 0) 上一动点,PA,PB 是圆 C: x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的两条切线,切点分别为 A,B.若四边
形 PACB 的最小面积为 2,则 k=______. 【答案】2
错误! 未指定书签。 . (江苏省南京市 2014 届高三 9 月学情调研数学试题) 如图,已知过椭圆

的 ,则椭圆的

左顶点 A(-a,0)作直线 1 交 y 轴于点 P,交椭圆于点 Q.,若△AOP 是等腰三角形,且 离心率为____
2

【答案】

2 5 5

错误!未指定书签。 . (江苏省扬州市扬州中学 2014 届高三 10 月月考数学试题)当且仅当 m ? r ? n 时,两圆

x 2 ? y 2 ? 49 与 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 25 ? r 2 ? 0(r ? 0) 有公共点,则 n ? m 的值为______________.
【答案】10 二、解答题 错误!未指定书签。 . (江苏省南京市 2014 届高三 9 月学情调研数学试题)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,右

准线为 x ? 3 2 ,离心率为

6 学科网.若直线 y=t(t>o)与椭 3

圆 C 交于不同的两点 A,B,以线段 AB 为直径作圆 M. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若圆 M 与 x 轴相切,求圆 M 被直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 截得的线段长.
【答案】

3

错误!未指定书签。 . (江苏省泰州中学 2014 届第一学学期高三数学摸底考试)给定圆 P : x ? y ? 2 x 及抛
2 2

物 线 S : y ? 4x , 过 圆 心 P 作 直 线 l , 此 直 线 与 上 述 两 曲 线 的 四 个 交 点 , 自 上 而 下 顺 次 记 为
2

A、B、C、D ,如果线段 AB、BC、CD 的长按此顺序构成一个等差数列,求直线 l 的方程.
y
A

B

o
D

P
C

x

【答案】解:圆 P 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 ,则其直径长 B C ? 2 ,圆心为
2 2

P ?1, 0 ? ,设 l 的方程为 ky ? x ? 1 ,即 x ? ky ? 1 ,
2 代入抛物线方程得: y ? 4ky ? 4 ,设 A ? x1 , y1 ? , D ? x2 , y2 ? ,

有?

? y1 ? y2 ? 4k ,则 ( y1 ? y2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 16(k 2 ? 1) . ? y1 y2 ? ?4
2 2 2 2

2 y12 ? y2 )2 故 | AD | ? ( y1 ? y2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( 4

? ( y1 ? y2 )2 [1 ? (

y1 ? y2 2 ) ] ? 16(k 2 ? 1) 2 ,因此 | AD |? 4(k 2 ? 1) 4

据等差, 2 BC ? AB ? CD ? AD ? BC ,
2 所以 AD ? 3 BC ? 6 ,即 4 k ? 1 ? 6 , k ? ?

?

?

2 , 2

即: l 方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 或 2 x ? y ? 2 ? 0
错误!未指定书签。 . ( 江 苏 省 扬 州 市 扬 州 中 学 2014 届 高 三 10 月 月 考 数 学 试 题 ) 已 知 椭

圆: C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,一条准线 l : x ? 2 . 2 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 O 为坐标原点, M 是 l 上的点, F 为椭圆 C 的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的 圆交于 P、Q 两点.

4

①若 PQ ? 6 ,求圆 D 的方程; ②若 M 是 l 上的动点,求证: P 在定圆上,并求该定圆的方程.
?c 2 ? ? ?a ? 2 ? 2 ,? ? 【答案】解:(1)由题设: ? a ,? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 , ? 2 ? ? c ?1 ? a ?2 ? ? c

?? ??

x2 ? y2 ? 1 2 (2)①由(1)知: F (1,0) ,设 M (2, t ) ,
椭圆 C 的方程为: 直线 PQ 的方程: 2 x ? ty ? 2 ? 0 ,

t t2 则圆 D 的方程: ( x ? 1) 2 ? ( y ? ) 2 ? 1 ? , 2 4
2? t2 ?2 2
2

? PQ ? 6 ,? 2 (1 ?

t2 )?( 4

4?t

)2 ? 6 ,

? t 2 ? 4 ,? t ? ?2
? 圆 D 的方程: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 或 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2

②解法(一):设 P( x0 , y0 ) ,
? t 2 t2 2 ? x0 2 ? y0 2 ? 2 x0 ? ty0 ? 0 ? ? ( x0 ? 1) ? ( y0 ? ) ? 1 ? 由①知: ? , 即 : , 2 4 ? ? ? 2 x0 ? ty0 ? 2 ? 0 ?2 x ? ty ? 2 ? 0 0 ? 0

消去 t 得: x0 2 ? y0 2 =2,? 点 P 在定圆 x 2 ? y 2 =2 上. 解法(二):设 P( x0 , y0 ) ,则直线 FP 的斜率为 k FP ? ∵FP⊥OM,∴直线 OM 的斜率为 kOM ? ?
y0 , x0 ? 1

x0 ? 1 , y0

∴直线 OM 的方程为: y ? ?

x0 ? 1 x, y0
??? ? ???? ∵MP⊥OP,∴ OP ? MP ? 0 ,

点 M 的坐标为 M (2, ?

2( x0 ? 1) ). y0

∴ x0 ( x0 ? 2) ? y0 [ y0 ?

2( x0 ? 1) ] ? 0 ,∴ x0 2 ? y0 2 =2,? 点 P 在定圆 x 2 ? y 2 =2 上. y?

错误!未指定书签。 . (江苏省梁丰高级中学 2014 届第一学期阶段性检测一)如图:一个城市在城市改造中沿

市内主干道国泰路修建的圆形广场圆心为 O,半径为 100 m ,其与国泰路一边所在直线 l 相切于点 M,A 为上半圆弧上一点,过点 A 作 l 的垂线,垂足为 B.市园林局计划在 ?ABM 内进行绿化,设 ?ABM 的面 积为 S(单位: m ) (1)以 ?AON ? ? 为参数,将 S 表示成 ? 的函数; (2)为绿化面积最大,试确定此时点 A 的位置及面积的最大值.
5
2



l

B


A
N

M

O


【答案】

错误!未指定书签。 . (江苏省南京市第五十五中学 2014 届高三上学期第一次月考数学试题) 已知 A 为椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上 的 一 个 动 点 , 弦 AB 、 AC 分 别 过 焦 点 F1 、 F2, 当 AC 垂 直 于 x 轴 时 , 恰 好 有 a2 b2
| AF 1 | : | AF 2 |? 3: 1.
(Ⅰ)求椭圆离心率; (Ⅱ)设 AF1 ? ?1 F1 B, AF2 ? ?2 F2 C ,试判断 ?1 ? ?2 是否为定值?若是定值,求出该定值并证 明;若不 是定值,请说明理由.

6

【答案】解:(Ⅰ)当 AC 垂直于 x 轴时, | AF 2 |?

b2 3b 2 | AF 2 |? 3: 1 ,∴ | AF 1 |? , | AF 1 | : a a



4b 2 2 . ? 2a ,∴ a 2 ? 2b 2 ,∴ b 2 ? c 2 ,故 e ? 2 a
2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得椭圆的方程为 x ? 2 y ? 2b ,焦点坐标为 F1 (?b,0), F2 (b,0) . ① 当 弦 AC 、 AB 的 斜 率 都 存 在 时 , 设 A( x0 , y 0 ), B( x1 , y1 ), C ( x 2 , y 2 ) , 则 AC 所 在 的 直 线 方 程 为

y?

y0 ( x ? b) , x0 ? b
2 2 2 2

代入椭圆方程得 (3b ? 2bx0 ) y ? 2by0 ( x0 ? b) y ? b y 0 ? 0 . ∴ y0 y2 ? ?

b 2 y0 , 3b 2 ? 2bx0

2

AF2 ? ? 2 F2 C , ?2 ?

y0 3b ? 2 x0 3b ? 2 x0 ? .同理 ?1 ? ,∴ ?1 ? ?2 ? 6 ? y2 b b

②当 AC 垂直于 x 轴时,则 ?2 ? 1, ?1 ?

3b ? 2b ,这时 ?1 ? ?2 ? 6 ; b

当 AB 垂直于 x 轴时,则 ?1 ? 1, ?2 ? 5 ,这时 ?1 ? ?2 ? 6 . 综上可知 ?1 ? ?2 是定值 【D】6.
错误!未指定书签。 . ( 江 苏 省 苏 州 市 2014 届 高 三 暑 假 自 主 学 习 测 试 ( 9 月 ) 数 学 试 卷 ) 已 知 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的长轴两端点分别为 A,B, P( x0 , y0 )( y0 ? 0) 是椭圆上的动点,以 AB 为一边在 x 轴 a 2 b2 下方作矩形 ABCD,使 AD ? kb(k ? 0) ,PD 交 AB 于点 E,PC 交 AB 于点 F.
(Ⅰ)如图(1),若 k=1,且 P 为椭圆上顶点时, ?PCD 的面积为 12,点 O 到直线 PD 的距离为 方程; (Ⅱ)如图(2),若 k=2,试证明:AE,EF,FB 成等比数列.

6 ,求椭圆的 5

y P

y P E F
A E O F B x

A D
图(1)

O

B C
图(2)

x
D
7

C

【答案】解:(Ⅰ)如图,当 k=1 时,CD 过点(0,-b),CD=2a,

y P E F

A D

O

B C

x



1 ?PCD 的面积为 12,∴ ? 2a ? 2b ? 12 ,即 ab ? 6 .① 2 此时 D(-a,-b),∴直线 PD 方程为 2bx ? ay ? ab ? 0 .
∴点 O 到 PD 的距离 d ? 由①②解得 a ? 3, b ? 2 ∴所求椭圆方程为

ab 4b ? a
2 2

=

6 . ② 5

x2 y 2 ? ?1 9 4

(Ⅱ)如图,当 k=2 时, C (a, ?2b), D(?a, ?2b) ,设 E ( x1 ,0), F ( x2 ,0) ,

y P E F

A

O

B

x

D

C

???? ??? ? 由 D,E,P 三点共线,及 DE ? ( x1 ? a, 2b) , DP ? ( x0 ? a, y0 ? 2b)
(说明:也可通过求直线方程做) 得 ( x1 ? a)( y0 ? 2b) ? 2b ? ( x0 ? a) , ∴ x1 ? a ?

2b ? ( x0 ? a) 2b ? ( x0 ? a) ,即 AE ? y0 ? 2b y0 ? 2b

??? ? 由 C,F,P 三点共线,及 CF ? ( x2 ? a, 2b) , ??? ? CP ? ( x0 ? a, y0 ? 2b)
得 ( x2 ? a)( y0 ? 2b) ? 2b ? ( x0 ? a) ,

8

∴ a ? x2 ?

2b ? (a ? x0 ) 2b ? (a ? x0 ) ,即 FB ? y0 ? 2b y0 ? 2b



4b 2 ? (a 2 ? x0 2 ) 4a 2 y0 2 x0 2 y0 2 ,∴ AE ? FB ? ? ? ? 1 ( y0 ? 2b) 2 ( y0 ? 2b) 2 a 2 b2
2b ? ( x0 ? a) 2b ? (a ? x0 ) 2ay0 4ab ? ? 2a ? ? y0 ? 2b y0 ? 2b y0 ? 2b y0 ? 2b

而 EF ? 2a ? AE ? FB ? 2a ?

∴ EF 2 ? AE ? FB ,即有 AE,EF,FB 成等比数列
错误!未指定书签。 . (江苏省扬州中学 2014 届高三开学检测数学试题)如图,已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的上、 4

下顶点分别为 A、B ,点 P 在椭圆上,且异于点 A、B ,直线 AP、BP 与直线 l : y ? ?2 分别交于点

M、N ,
(Ⅰ)设直线 AP、BP 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,求证: k1 ? k 2 为定值; (Ⅱ)求线段 MN 的长的最小值; (Ⅲ)当点 P 运动时,以 MN 为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论.

P

【答案】解(Ⅰ)? A(0,1) , B (0,?1) ,令 P ( x0 , y0 ) ,则由题设可知 x0 ? 0 ,

? 直线 AP 的斜率 k1 ?

y0 ? 1 y ?1 , PB 的斜率 k 2 ? 0 ,又点 P 在椭圆上,所以 x0 x0

2 2 y ? 1 y0 ? 1 y0 ?1 x0 1 2 ? ? ?? 。 ? y0 ? 1, ( x0 ? 0 ) ,从而有 k1k 2 ? 0 2 x0 x0 x0 4 4

(Ⅱ)由题设可以得到直线 AP 的方程为 y ? 1 ? k1 ( x ? 0) , 直线 BP 的方程为 y ? ( ?1) ? k 2 ( x ? 0) ,

3 ? ? y ? 1 ? k1 x ? x ? ? k1 , ?? 由? y ? ? 2 ? ? y ? ?2 ?

1 ? ? y ? 1 ? k2 x ? x ? ? k2 , ?? 由? y ? ? 2 ? ? y ? ?2 ?
9

? 1 ? ? 3 ? ? 直线 AP 与直线 l 的交点 N ? ? ? k , ?2 ? ?。 ? ? k , ?2 ? ? ,直线 BP 与直线 l 的交点 M ? ? 2 ? ? 1 ?
又 k1k 2 ? ?

3 1 3 3 3 1 ,?| MN |? ? ? ? 4k1 ? ? 4 | k1 |? 2 ? 4 | k1 | ? 4 3 , k1 k 2 k1 | k1 | | k1 | 4

等号当且仅当

3 3 ,故线段 MN 长的最小值是 4 3 。 ? 4 | k1 | 时取到,即 k1 ? ? 2 | k1 |

错误!未指定书签。 . (江苏省苏州市 2014 届高三暑假自主学习测试(9 月)数学试卷)在平面直角坐标系 xOy

中,已知曲线 C 上任意一点到点 M (0, ) 的距离与到直线 y ? ? (Ⅰ)求曲线 C 的方程;

1 2

1 的距离相等. 2

(Ⅱ)设 A1 ( x1 , 0) , A2 ( x2 , 0) 是 x 轴上的两点 ( x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0) ,过点 A1 , A2 分别作 x 轴的垂线,与曲 线 C 分别交于点 A1? , A2? ,直线 A1? A2? 与 x 轴交于点 A3 ( x3 , 0) ,这样就称 x1 , x2 确定了 x3 .同样,可由

x2 , x3 确定了 x4 .现已知 x1 ? 6, x2 ? 2 ,求 x4 的值.

1 1 ) 的距离与到直线 y ? ? 的距离相等, 2 2 1 1 根据抛物线定义知,曲线 C 是以点 M (0, ) 为焦点,直线 y ? ? 为准线的抛物线, 2 2
【答案】解:(Ⅰ)因为曲线 C 上任意一点到点 M (0,

故其方程为 x ? 2 y
2

1 2 ( x2 ? x12 ) 1 1 1 2 2 ? ( x2 ? x1 ) , (Ⅱ)由题意知, A1? ( x1 , x1 ) , A2? ( x2 , x2 ) ,则 k A ? A ? ? 2 1 2 x2 ? x1 2 2 2
故 lA ? A ? : y ?
1 2

1 2 1 x2 ? ( x2 ? x1 )( x ? x2 ) 2 2
10

令 y ? 0 ,得

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ,即 ? ? ? ? x x1 x2 x3 x1 x2 6 2

同理,

1 1 1 1 1 1 7 ? ? ? ? ? ? , x4 x2 x3 2 6 2 6

于是 x4 ?

6 7

错误!未指定书签。 . (江苏省淮安市车桥中学 2014 届高三 9 月期初测试数学试题) 已知圆 M 的方程为

x 2 ? ( y ? 2)2 ? 1 , 直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 0 , 点 P 在直线 l 上 ,过 P 点作圆 M 的切线 PA, PB ,切点为 A, B . (1)若 ?APB ? 60? ,试求点 P 的坐标;
(2)若 P 点的坐标为 (2,1) ,过 P 作直线与圆 M 交于 C , D 两点,当 CD ?

2 时,求直线 CD 的方程;

(3)经过 A, P, M 三点的圆是否经过异于点 M 的定点,若经过,请求出此定点的坐标;若不经过,请说明理 由.
【答案】,解:(1)设 P(2m, m) ,由题可知 MP ? 2 ,所以 (2m) ? (m ? 2) ? 4 ,解之得: m ? 0, m ?
2 2

4 , 5

故所求点 P 的坐标为 P (0, 0) 或 P ( , ) .( ) (2)设直线 CD 的方程为: y ? 1 ? k ( x ? 2) ,易知 k 存在,由题知圆心 M 到直线 CD 的距离为

8 4 5 5

2 ,所以 2

2 ?2 k ? 1 ? ,( ) 2 1? k 2

解得, k ? ?1 或 k ? ?

1 ,ks.5u 7

故所求直线 CD 的方程为: x ? y ? 3 ? 0 或 x ? 7 y ? 9 ? 0 .( ) (3)设 P(2m, m) , MP 的中点 Q(m,

m ? 1) ,因为 PA 是圆 M 的切线 2

所以经过 A, P, M 三点的圆是以 Q 为圆心,以 MQ 为半径的圆, 故其方程为: ( x ? m) ? ( y ?
2

m m ? 1)2 ? m2 ? ( ? 1)2 2 2

化简得: x ? y ? 2 y ? m(2 x ? y ? 2) ? 0 ,此式是关于 m 的恒等式,故
2 2

? x? ?x ? 0 ? ? 解得 ? 或? ?y ? 2 ?y ? ? ?

4 5 2 5

所以经过 A, P, M 三点的圆必过异于点 M 的定点 ( , )
错误!未指定书签。 . (江苏省涟水中学 2014 届高三上学期(10 月)第一次统测数学(理)试卷)如图,已知抛物

4 2 5 5

0) 的直线交抛物线于 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) 两点,直线 AF,BF 分别与抛 线 y ? 4 x 的焦点为 F . 过点 P(2,
2

11

物线交于点 M,N. (1)求 y1 y 2 的值;记直线 MN 的斜率为 k1 ,直线 AB 的斜率为 k 2 .证明:

k1 为定值. k2

【答案】(1)解:依题意,设直线 AB 的方程为 x ? my ? 2.

将其代入 y ? 4 x ,消去 x ,整理得 y ? 4my ? 8 ? 0. 从而 y1 y2 ? -8.
2

2

(2)证明:设 M ( x3 , y3 ),N ( x4 , y4 ).



y ? y4 k1 y3 ? y4 x1 ? x2 ? ? ? 23 2 k 2 x3 ? x4 y1 ? y2 y3 y ? 4 4 4

y1 y ? 2 4 ? y1 ? y2 . ? 4 y1 ? y2 y3 ? y4

2

2

设直线 AM 的方程为 x ? ny ? 1 ,将其代入 y ? 4 x ,消去 x ,
2

整理得 y ? 4ny ? 4 ? 0 .所以 y1 y3 ? ?4. 同理可得 y2 y4 ? ?4.
2



k k1 y1 ? y2 y ? y2 yy ? ? 1 ? 1 2 . 由(1)得 1 ? 2, 为定值 k2 k 2 y3 ? y 4 ? 4 ? ? 4 ?4 y1 y2

错误!未指定书签。 . ( 江 苏 省 梁 丰 高 级 中 学 2014 届 第 一 学 期 阶 段 性 检 测 一 ) 已 知 P(4,4), 圆

x2 y2 C: ( x ? m) ? y ? 5(m ? 3) 与 椭 圆 E: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 有 一 个 公 共 点 A(3,1), a b F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切. (1)求 m 的值与椭圆 E 的方程;
2 2

12

(2)设点 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求 AP ? AQ 的取值范围.
【答案】(Ⅰ)如图, BM ? AO sin? ? 100sin? ,

AB ? MO ? AO cos? ? 100 ? 100cos? ,? ? (0, ? ) .
则S ?

1 1 MB ? AB ? 100sin ? ? (100 ? 100cos? ) 2 2 1 ? 5000(sin ? ? sin 2? ),? ? (0, ? ) 2

(Ⅱ) S ' ? 5000(2cos2 ? ? cos? ? 1) ? 5000(2cos? ? 1)(cos? ? 1) ,

1 ? 令 S ' ? 0 ,得 cos? ? ,cos? ? ?1 (舍去),此时 ? ? . 2 3

x
S'

(0, ) 3 +

?

? 3
0 极大值

( ,? ) 3 -

?

S
所以当 ? ?

?
3

时, S 取得最大值 Smax ? 3750 3m2 ,此时 AB ? 150m .

答:当点 A 离路边 l 为 150 m 时,绿化面积最大,值为 3750 3m2 .
错误! 未指定书签。 . (江苏省宿迁市 2014 届高三上学期第一次摸底考试数学试卷) 在平面直角坐标系 xOy 中,

x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a > b > 0) 与直线 l : x ? m(m ? R ) . a b (?2 2 , 0) , ( 3 , 3) 中有三个点在椭圆 C 上,剩余一个点在直线 l 上. 四点 (3 , 1) , (3 , ? 1) , (1)求椭圆 C 的方程; (2)若动点 P 在直线 l 上,过 P 作直线交椭圆 C 于 M , N 两点,使得 PM ? PN ,再过 P 作直线 l ? ? MN . 证明:直线 l ? 恒过定点,并求出该定点的坐标. 【答案】解:(1)由题意有 3 个点在椭圆 C 上, 根据椭圆的对称性,则点 (3 , 1) , (3 , ? 1) 一定在椭圆 C 上,


9 1 ? 2 ?1 2 a b

①,

0) 在椭圆 C 上,则点 (?2 2 , 0) 必为 C 的左顶点, 若点 (?2 2 , 0) 一定不在椭圆 C 上, 而 3> 2 2 ,则点 (?2 2 , 0) 在直线 l 上, 故点 ( 3 , 3) 在椭圆 C 上,点 (?2 2 ,
所以

3 3 ? ?1 a 2 b2

②,

联立①②可解得 a 2 ? 12 ,b2 ? 4 , 所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1; 12 4

13

(2)由(1)可得直线 l 的方程为 x ? ?2 2 ,设 P(?2 2 , y0 ) , y0 ? (? 当 y0 ? 0 时,设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,显然 x1 ? x2 ,

2 3 2 3 , ), 3 3

? x12 y12 ? ? 1, ? y ? y2 x12 ? x2 2 y12 ? y2 2 1 x ? x2 ? 12 4 联立 ? 2 则 , ?? ? 1 ? ? 0 ,即 1 2 x1 ? x2 3 y1 ? y2 12 4 ? x2 ? y2 ? 1, ? 4 ? 12
又 PM ? PN ,即 P 为线段 MN 的中点,

1 ?2 2 2 2 故直线 MN 的斜率为 ? ? , ? 3 y0 3 y0
又 l ? ? MN ,所以直线 l ? 的方程为 y ? y0 ? ? 即y??

3 y0 2 2

( x ? 2 2) ,

3 y0 2 2

(x ?

4 2 ), 3

显然 l ? 恒过定点 ( ?

4 2 , 0) ; 3 4 2 , 0) ; 3

当 y0 ? 0 时,直线 MN 即 x ? ?2 2 ,此时 l ? 为 x 轴亦过点 ( ? 综上所述, l ? 恒过定点 ( ?

4 2 , 0) 3

错误!未指定书签。 . (江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校 2014 届高三 10 月月考数学试题)在平面直角坐

标系 xOy 中,设椭圆 T 的中心在坐标原点,一条准线方程为 y ? 2 ,且经过点(1,0). (1)求椭圆 T 的方程; (2)设四边形 ABCD 是矩形,且四条边都与椭圆 T 相切. ①求证:满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上; ②求矩形 ABCD 面积 S 的取值范围.
【答案】 【解】(1)因为椭圆 T 的中心在坐标原点,一条准线方程为有 y=2,

所以椭圆 T 的焦点在 y 轴上,于是可设椭圆 T 的方程为 2+ 2=1(a>b>0). 因为椭圆 T 经过点(1,0),
? a2 ? 2, ? ? a 2 ? 2, ? ? a 2 ? b2 所以 ? 解得 ? 2 ? ?b ? 1. ? 0 ? 1 ? 1, 2 2 ? b ?a

x2 y2 a b

故椭圆 T 的方程为

y2 ? x2 ? 1 . 2 y2 ? 1 的外切矩形, 2

(2)由题意知,矩形 ABCD 是椭圆 x2 ?

①(i)若矩形 ABCD 的边与坐标轴不平行,则可设一组对边所在直线的方程为 y ? kx ? m(k ? 0) ,
14

? 2 y2 ?x ? ? 1, 则由 ? 消去 y 得 (k 2 ? 2) x2 ? 2kmx ? m2 ? 2 ? 0 , 2 ? ? y ? kx ? m

于是 ? ? 4k 2 m2 ? 4(k 2 ? 2)(m2 ? 2) ? 0 ,化简得 m ? ? k 2 ? 2 . 所以矩形 ABCD 的一组对边所在直线的方程为 y ? kx ? k 2 ? 2 ,即 y ? kx ? ? k 2 ? 2 , 则另一组对边所在直线的方程为 ky ? x ? ? 1 ? 2k 2 , 于是矩形顶点坐标(x,y)满足 ( y ? kx) 2 ? (ky ? x) 2 ? (k 2 ? 2) ? (1 ? 2k 2) , 即 (1 ? k 2 )( x2 ? y 2 ) ? 3(1 ? k 2 ) ,亦即 x2 ? y 2 ? 3 . (ii)若矩形 ABCD 的边与坐标轴平行,则四个顶点 (?1,? 2) 显然满足 x2 ? y 2 ? 3 . 故满足条件的所有矩形的顶点在定圆 x2 ? y 2 ? 3 上. ②当矩形 ABCD 的边与坐标轴不平行时,由①知,一组对边所在直线间的距离为另一组对边的边长,于是 矩形的一条边长为 2 k ? 2 ,另一条边长为 1? k2
2

2

?2 ?? 1 k? ? 2 2k ? 1 . 1? k 1 ? ?? 1 ? k
2 2 2 2

4 2 k?1 2 2 4 2 k 4 k ? 2 ? 2 k ? 1 4 2 k ? 5 k ? 2 ? ? 所以 S ? 1 1? k2 1? k2 k? k

?

? ?1 ,
2

2 令 t ? k ? 1 ,则 t 2 ? ? 2,? ? ? ,于是 S ? 4 2t ? 1 ? 4 2 ? 1 ? 4 2, 6? ?. t k t2

?

②若矩形 ABCD 的边与坐标轴平行,则 S ? 4 2 .
? 故 S 的取值范围是 ? ? 4 2,6 ? .
错误!未指定书签。 . (江苏省诚贤中学 2014 届高三上学期摸底考试数学试题)在平面直角坐标系 xOy 中,已知

椭圆

2 x2 y 2 2 2 ,其焦点在圆 x +y =1 上. ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 2 2 a b (1)求椭圆的方程; (2)设 A,B,M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角 θ ,使 ???? ? ??? ? ??? ? OM ? cos? OA ? sin ? OB . (i)求证:直线 OA 与 OB 的斜率之积为定值; 2 2 (ii)求 OA +OB .
【答案】解:(1)依题意,得

c=1.于是,a= 2 ,b=1

所以所求椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 2
x12 x2 2 ? y12 ? 1 ①, 2 ? y2 ? 1 ②. 2 2

(2) (i)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

???? ? ??? ? ??? ? ? x ? x1 cos ? ? x2 sin ? , 又设 M(x,y),因 OM ? cos? OA ? sin ? OB ,故 ? ? y ? y1 cos ? ? y2 sin ? .
15

因 M 在椭圆上,故 整理得 (

( x1 cos? ? x2 sin ? )2 ? ( y1 cos? ? y2 sin ? )2 ? 1 . 2

x12 x2 xx 2 ? y12 )cos2 ? ? ( 2 ? y2 )sin 2 ? ? 2( 1 2 ? y1 y2 )cos ? sin ? ? 1 . 2 2 2 x1 x2 将①②代入上式,并注意 cos? sin ? ? 0 ,得 ? y1 y2 ? 0 . 2 yy 1 所以, kOA kOB ? 1 2 ? ? 为定值 x1 x2 2

(ii) ( y1 y2 )2 ? (? 又(

2 x1 x2 2 x12 x2 2 2 2 2 ,故 y12 ? y2 ?1. ) ? ? ? (1 ? y12 )(1 ? y2 ) ? 1 ? ( y12 ? y2 ) ? y12 y2 2 2 2

x12 x2 2 2 ?2. ? y12 ) ? ( 2 ? y2 ) ? 2 ,故 x12 ? x2 2 2
2 2

2 2 所以,OA +OB = x12 ? y12 ? x2 =3 ? y2

错误!未指定书签。 . (江苏省梁丰高级中学 2014 届第一学期阶段性检测一)过直线 x=-2 上的动点 P 作抛物

线 y =4x 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点. (1)若切线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1k2 为定值; (2)求证:直线 AB 恒过定点.
【答案】证明:(1)不妨设 A(t1,2t1)(t1>0),B(t2,2t2)(t2<0),P(-2,m).
2 2

2

因为 y =4x,所以当 y>0 时,y=2 x,y′= 2t1-m 1 2 由 k1= 2 = ,得 t1-mt1-2=0. t1+2 t1

2

1

x

1 1 ,所以 k1= .同理 k2= .

t1

t2

同理 t2-mt2-2=0. 2 所以 t1,t2 是方程 t -mt-2=0 的两个实数根. 所以 t1t2=-2. 所以 k1k2= 1 =- 为定值. t1t2 2 2? t2-t1? 2 (x-t1), 2 t2 2-t1 1

2

(2)直线 AB 的方程为 y-2t1= 即 y= 即 y= 2 2t1 x+2t1, t1+t2 t1+t2
2

2 2t1t2 x+ ,由于 t1t2=-2, t1+t2 t1+t2 2

所以直线方程化为 y=

t1+t2

(x-2),

所以直线 AB 恒过定点(2,0).

16


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