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北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月数学理试题(一)


北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三综合练习(一)数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题。每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1, 2,3? , B ? ?2, 4? ,则 B ? CU A 为 A. ?1, 2, 4? C. ?0,

2, 4? 2. a ? 1 是 B. ?2,3, 4? D. ?0, 2,3, 4?

1 ? 1的 a
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

3.若 0 ? x ? y ,则下列各式正确的是 A. x
?1

? y ?1

B. sin x ? sin y D. ( ) ? ( )
x

C. log 3 x ? log 3 y

1 3

1 3

y

4.在等差数列 ?a n ?中, a n ? 0 ,且 a1 ? a 2 ? ? ? a10 ? 30 ,则 a5 ? a 6 的最大值是 A. 3 B. 6 C. 9 D. 36

5.如图,某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是平行四边形,则该几何体的体积 为

A. 6 3

B. 9 3

C. 12 3

D. 18 3

6.下列命题中,真命题是 A. ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2

B. ?? , ? ? R, sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? C. ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2

第 1 页 共 10 页

D. ?? , ? ? R, sin(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? 7.已知 F1 、F2 为双曲线 C: 到 x 轴的距离为 A.

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠ F1 PF2 = 600 ,则 P 4

5 5

B.

15 5

C.

2 15 5

D.

15 20

? x 2 ? 6 x ? 6, x ? 0 8.设函数 f ( x) ? ? ,若互不相等的实数 x1 , x 2 , x3 满足 ? 3 x ? 4, x ? 0
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x3 ) ,则 x1 ? x2 ? x3 的取值范围是
A. (

11 ,] 6 3

( B.

20 26 20 26 , ) C. ( , ] 3 3 3 3

D.(

11 , 6) 3

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9.已知 sin ? ? cos ? ?

2 , ? ? (0, ? ), 则 tan ? ? ___________.

10.函数 f ( x) ? ax ? 1 ? 2a 在区间 (?1,1) 上存在一个零点,则实数 a 的取值范围是 11.由曲线 y ?

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为 . ???? ? ???? ??? ? ??? ???? ? ??? ? 12.正三角形 ABC 边长为 2,设 BC ? 2 BD , AC ? 3 AE ,则 AD ?BE ? _____________.
13.已知命题: p : f ( x ? 1) 是奇函数; q : f ( ) ? ① f ( x) ?

1 2

1 。下列函数: 2

2 ?x x ,② f ( x) ? cos ,③ f ( x) ? 2 ? 1 中 x ?1 2
.(写出符合要求的所有函数的序号).

能使 p, q 都成立的是 14. 集合 A ? ?( x, y ) | ( x ?

? ? ? ?

? 5 2 ? ) ? ( y ? 1) 2 ? 4 ? , 2 ? ?

集合 B (m) ? ( x, y ) | y ? x 2 ? 2mx ? m 2 ? 2m , m ? R ,设集合 B 是所有 B (m) 的并集,则

?

?

A ? B 的面积为________.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明步骤或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin (
2

?
4

? x) ?

3 cos 2 x 2

(1)求函数 f (x) 的最小正周期和单调递增区间; (2)函数 f (x) 的图象经过怎样的变换可以得到 y ? sin 2 x 的图象?

第 2 页 共 10 页

16. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? n ? n ,数列 {b n } 满足 b1 ? 3b2 ? 3 2 b3 ? ? ? 3 n ?1 bn ? a n ,
2

n ? N *.
(1)求数列 {an },{bn } 的通项公式; (2)求数列 {b n } 的前 n 项和 Tn .

17. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 S ? ABC 中,侧面 SAC 与底面 ABC 垂直, E , O 分别是 SC, AC 的 中点, SA ? SC ?

2

, BC ?

1 AC , ?ASC ? ?ACB ? 90 ? . 2
S

E A O F B

C

(1)求证: OE //平面 SAB ; (2)若点 F 在线段 BC 上,问:无论 F 在 BC 的何处,是否都有 OE ? SF ?请证明你的 结论; (3)求二面角 B ? AS ? C 的平面角的余弦值.

第 3 页 共 10 页

18. (本小题满分 13 分) 椭圆 T 的中心为坐标原点 O ,右焦点为 F (2, 0) ,且椭圆 T 过点 E (2, 2) 。 ?ABC 的 三个顶点都在椭圆 T 上,设三条边的中点分别为 M , N , P . (1)求椭圆 T 的方程; (2)设 ?ABC 的三条边所在直线的斜率分别为 k1 , k2 , k3 ,且 ki ? 0, i ? 1, 2,3 。若直线

OM , ON , OP 的斜率之和为 0,求证:

1 1 1 ? ? 为定值. k1 k2 k3

19. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? (2 x ? 4ax) ln x ? x ( a ? 0 ).
2 2

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)对 ?x ? [1, ??) ,不等式 (2 x ? 4a ) ln x ? ? x 恒成立,求 a 的取值范围.

20. (本小题满分 14 分) 将所有平面向量组成的集合记作 R , f 是从 R 到 R 的映射,记作 y ? f (x) 或
2 2 2

( y1 , y 2 ) ? f ( x1 , x 2 ) ,其中 x1 , x2 , y1 , y2 都是实数。定义映射 f 的模为:在 x ? 1 的条件下

y 的最大值,记做 f .若存在非零向量 x ? R 2 ,及实数 ? 使得 f ( x) ? ? x ,则称 ? 为 f 的
一个特征值. (1)若 f ( x1 , x 2 ) ? ( x1 , x 2 ) ,求 f ; (2)如果 f ( x1 , x 2 ) ? ( x1 ? x 2 , x1 ? x 2 ) ,计算 f 的特征值,并求相应的 x ; (3)若 f ( x1 , x 2 ) ? (a1 x1 ? a 2 x 2 , b1 x1 ? b2 x 2 ) ,要使 f 有唯一的特征值,实数 a1 , a2 , b1 , b2 应满足什么条件?试找出一个映射 f ,满足以下两个条件:①有唯一的特征值 ? , ② f ?

1 2

? ,并验证 f 满足这两个条件.

第 4 页 共 10 页

北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三综合练习(一)数学试卷(理科) 参考答案
题号 答案 9. 1 12. ?2 1 C 10. 2 A 3 C 4 C 11. 5 B 6 D 7 B 8 D

1 ? a ?1 3

16 3 4? ? 3 3

13. ①②

14.

15.解:(1) f ( x) ? sin (
2

?
4

? x) ?

3 cos 2 x 2
? 3 cos 2 x 2

1 ? cos(
=

?

2 2

? 2 x)

=

1 1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 2
1 ? ? sin( 2 x ? ) 2 3
…………………6 分

=

最小正周期 T ? ? 单调递增区间 [ k? ? (2) 向左平移

?
12

, k? ?

5 ?] ,k ?Z 12

………………9 分 ………………13 分

? 1 个单位;向下平移 个单位 6 2

16.解(1) n ? 1, a1 ? 2

n ? 2, an ? S n ? S n ?1 ? 2n

? a n ? 2n( n ? N * ) b1 ? 3b2 ? 32 b3 + ? +3 n ?1 bn ? a n , n ? N * b1 ? 3b2 ? 32 b3 + ? +3 n ?2 bn ?1 ? an ?1 , n ? 2,
两式作差:3
n ?1

………………4 分

bn ? an - an ?1 =2

? bn ?

2 ( n ? 2), 又 ? b1 ? 2 3n ?1

? bn ?

2 3
n ?1

(n ? N * )

………………………10 分

第 5 页 共 10 页

1 2(1 ? ( ) n ) 3 ? 3? 1 (2) Tn = 1 3n?1 1? 3
17.解: (1)? E,O 分别是 SC, AC 的中点

…………………………13 分

? OE // SA
又? OE ? 平面 SAB

? OE //平面 SAB
S

…………………………3 分

E A O F B

C

(2) 在 ?SAC 中,? OE // AS , ?ASC ? 90 ? ? OE ? SC

? 平面 SAC ? 平面 ABC , ?BCA ? 90 ?

? BC ? 平面 ASC , OE ? 平面 ASC

? BC ? OE ? OE ? 平面 BSC
? SF ? 平面 BSC

? OE ? SF
所以无论 F 在 BC 的何处,都有 OE ? SF (3) 由(2) BC ? 平面 ASC ………………………8 分

? BC ? AS
又? ?ASC ? 90 ?

? AS ? SC ? AS ? 平面 BCS ? AS ? SB ? ?BSC 是二面角 B ? AS ? C 的平面角
在 Rt ?BCS 中

cos ?BSC ?

6 3
第 6 页 共 10 页

所以二面角 B ? AS ? C 的平面角的余弦值为 法二:

6 3

…………………14 分

(2)? O 是 AC 的中点, SA ? SC ? SO ? AC 又? 平面 SAC ? 平面 ABC

? SO ? 平面 ABC
同理可得 BC ? 平面 ASC 在平面 ABC 内, O 作 OM ? AC 以 O 为原点, 过 OM , OC , OS 所在直线为 x, y, z 轴, 建立空间直角坐标系,如图所示,则 O(0,0,0) A(0,?1,0) , B (1,1,0) ,C (0,1,0) , S (0,0,1) ,

AS ? (0,1,1) , AB ? (1,2,0) ,
z S

E A y

O

C

M B

F

1 1 ? F ? BC ,设 F (x,1,0) ,则 SF ? ( x,1,?1) , OE ? (0, , ) 2 2

SF ? OE ? 0 恒成立,所以无论 F 在 BC 的何处,都有 OE ? SF ??? ? (3)由(2)知平面 ASC 的法向量为 BC = (?1, 0, 0) ? 设平面 SAB 的法向量为 n ? ( x, y, z )
则 n ? AS ? 0 , n ? AB ? 0 即?

? y?z ?0 ?x ? 2 y ? 0

令 y ? 1 ,则 x ? ?2 , z ? ?1

n ? (?2,1,?1)
cos ? n ? BC ?? n ? BC | n | ? | BC | ? 6 3

所以二面角 B ? AS ? C 的平面角的余弦值为

6 3

………………………14 分

第 7 页 共 10 页

x2 y 2 18.解: (1)设椭圆 T 的方程为 2 ? 2 ? 1 , a b
由题意知:左焦点为 F (?2, 0)
'

所以 2a ?| EF | ? | EF ' | ? 解得 a ? 2 2 , b ? 2 . 故椭圆 T 的方程为

2 ?3 2 ,

x2 y 2 (方法 2、待定系数法)………………………4 分 ? ? 1. 8 4

(2)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) , M ( s1 , t1 ), N ( s2 , t2 ), P ( s3 , t3 ) , 由: x1 ? 2 y1 ? 8 , x2 ? 2 y2 ? 8 ,两式相减,得到
2 2 2 2

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0
所以 k1 ?

y1 ? y2 1 x ?x 1s t 1 ? ? 1 2 ? ? 1 ,即 ? ?2 1 , …………………9 分 x1 ? x2 2 y1 ? y2 2 t1 k1 s1

同理

t t 1 1 ? ?2 2 , ? ?2 3 k2 s2 k3 s3

所以

t t t 1 1 1 ? ? ? ?2( 1 ? 2 ? 3 ) ,又因为直线 OM , ON , OP 的斜率之和为 0, k1 k2 k3 s1 s2 s3

所以

1 1 1 ? ? ?0 k1 k2 k3

…………………………13 分

方法 2: 设直线 AB : y ? t1 ? k1 ( x ? s1 ) ,代入椭圆 x ? 2 y ? 8 ,得到
2 2

(1 ? 2k12 ) x 2 ? 4(t1 ? k1s1 )k1 x ? 2(t1 ? k1s1 ) 2 ? 8 ? 0
x1 ? x2 ?
以下同。

?4(t1 ? k1s1 )k1 1s ? 2s1 ,化简得 k1 ? ? 1 2 1 ? 2k1 2 t1
………………………13 分

1 19.解: (1) f ?( x) ? (2 x 2 ? 4ax) ? ln x(4 x ? 4a) ? 2 x x
f ?( x) ? 4 x ? 4a ? ln x(4 x ? 4a) ? 4( x ? a)(ln x ? 1) , ( x ? 0) …………………2 分

当0? a ?

1 时, e
x

(0, a)

a

1 ( a, ) e
递减 极小

1 e
0

1 ( , ??) e
+ 递增

f ?( x) f ( x)

?
递增 极大

0

第 8 页 共 10 页

1 1 所以, f ( x) 在 (0, a) 和 ( , ??) 上单调递增;在 (a, ) 上单调递减。 e e 1 当 a ? 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增。 e 1 当 a ? 时, e
x

1 (0, ) e
+ 递增

1 e
0 极大

1 ( , a) e
递减

a

(a, ??)
+ 递增

f ?( x)
f ( x)

0 极小

1 1 所以, f ( x) 在 (0, ) 和 (a, ??) 上单调递增;在 ( , a) 上单调递减。……………8 分 e e
(2)法一、因为 x ? 1 , 所以由 (2 x ? 4a) ln x ? ? x 得, (2 x 2 ? 4ax) ln x ? x 2 ? 0 即函数 f ( x) ? 0 对 x ? 1 恒成立 由(Ⅰ)可知, 当0? a ? 当

1 1 时, f ( x) 在 (1, ??) 单调递增,则 f ( x)min ? f (1) ? 0 ,成立,故 0 < a ? 。 e e

1 ? a ? 1 ,则 f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增, f ( x)min ? f (1) ? 1 ? 0 恒成立,符合要求。 e

当 a ? 1 , f ( x) 在 (1, a) 上单调递减, (a, ??) 上单调递增,则 f ( x)min ? f (a) ? 0 , 即 (2a 2 ? 4a 2 ) ln a ? a 2 ? 0 , 1 ? a ? e 。 综上所述, 0 ? a ? e 。 法二、当 x ? 1 时, a ? R ; 当 x ? 1 时,由 (2 x ? 4a) ln x ? ? x 得, 4a ? 2 x ? 设 g ( x) ? 2 x ? ……………13 分

x 对 ?x ? [1, ??) 恒成立。 ln x

x ,则 ln x
1 e

由 g '( x) ? 0 ,得 x ? e 或 x ?
x

(1, e )
递减

e

( e , ??)
+ 递增 ………………………13 分

g '( x)

0 极小

g ( x)

g ( x) min ? g ( e ) ? 4 e ,所以, 4a ? 4 e , 0 ? a ? e 。

第 9 页 共 10 页

20.解: (1)由于此时 y1 ? y2 ?
2 2

1 2 2 2 2 x1 ? x2 ,又因为是在 x1 ? x2 ? 1 的条件下,有 4

y1 ? y 2 ?
2 2

1 2 1 3 2 2 ,所以此时有 f ? 1 。 x1 ? x 2 ? ? x 2 ? 1 ( x2 ? ?1 时取最大值) 4 4 4
……………………4 分

(2)由 f ( x1 , x2 ) ? ( x1 ? x2 , x1 ? x2 ) ? ? ( x1 , x2 ) , 可得: ?

? x1 ? x2 ? ? x1 ,解此方程组可得: (? ? 1)(? ? 1) ? 1 ,从而 ? ? ? 2 。 ? x1 ? x2 ? ? x2

当? ?

? x1 ? x2 ? 2 x1 ? 此时这两个方程是同一个方程,所以此时方程有无 2 时,解方程 ? ? x1 ? x2 ? 2 x2 ?

穷多个解,为 x ? m( 2 ? 1,1) (写出一个即可) ,其中 m ? R 且 m ? 0 。 当 ? ? ? 2 时,同理可得,相应的 x ? m(1 ? 2 ,1) (写出一个即可) , 其中 m ? R 且 m ? 0 (3)解方程组 ? ………9 分

?a1 x1 ? a2 x2 ? ? x1 ? x1 ? a1 ? ? , b1 ? ? x2 ? a2 , ?b1 ? ? ? ? 0 ?b1 x1 ? b2 x2 ? ? x2
b1 ? 与 ?a2 , ? b1 ? ? ? 平行,从而有 a1 , a2 , b1 , b2 应满足:

从而向量 ?a1 ? ? ,

(a1 ? b2 ) 2 ? 4a2b1 ? 0 。
当 f ( x) ? ? x 时, f 有唯一的特征值,且 f ?

? 。具体证明为:

由 f 的定义可知:对任意的 x ? ( x1 , x2 ) 有: f ( x1 , x2 ) ? (?x1 , ?x2 ) ? ? ( x1 , x2 ) ,所以 ? 为 特征值。此时 a1 ? ? , a2 ? 0, b1 ? 0, b2 ? ? 。 满足: (a1 ? b2 ) 2 ? 4a2b1 ? 0 ,所以有唯一的特征值。 在 x1 ? x2 ? 1 的条件下 (?x1 ) 2 ? (?x2 ) 2 ? ?2 ,从而有 f ?
2 2

?

? 。……………14 分

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