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1.2.1函数的概念


1.2.1 函数的概念
一、复习引入 〖回顾〗初中学习的(传统)的函数的定义是什么?初中学过哪些函数? 问题 1: y =1( x ? R )是函数吗?

问题 2: y = x 与 y = 观察对应:

x2 是同一函数吗? x

〖分析〗观察分析集合 A 与 B 之间的元素有什么对应关系? 二、函数的概念 (一)函数 函数:设 A,B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个 数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么就称 f :A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y = f ( x) ,x ∈A。其中 x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫做函数 y = f ( x) 的定义域; 与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值, 函数值的集合{ f ( x) | x ∈A}, 叫做函数 y = f ( x) 的值域。 函数符号 y = f ( x) 表示“ y 是 x 的函数” ,有时简记作函数 f ( x) 。

〖例析〗例 1、设集合 M={ x |0≤ x ≤2},N={ y |0≤ y ≤2},从 M 到 N 有 4 种对应如下图 所示:

其中能表示为 M 到 N 的函数关系的有______________. (二)函数的三要素:对应法则 f 、定义域 A、值域{ f ( x) | x ∈A}. 注:只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数。 例 2、下列函数中哪个与函数 y = x 是同一个函数? (1) y ? ( x ) ;
2

(2)

y ? 3 x3 ;

(3)

y?

x2

例 3、下列各组中的两个函数是否为相同的函数?

(1)

y1 ?

( x ? 3)( x ? 5) x?3

y2 ? x ? 5

(2) y1 ?

x ? 1 x ? 1 y2 ? ( x ? 1)(x ? 1)

2 (3) f1 ( x) ? ( 2x ? 5 ) f 2 ( x) ? 2 x ? 5

〖注意〗两个函数相同即它们的定义域和对应法则完全相同。 (三)函数的定义域和值域: 1、一次函数 f ( x) = ax ? b ( a ≠0):定义域 R ,值域 R . 2、反比例函数 f ( x) =

k ( k ≠0):定义域{ x | x ≠0},值域{ y | y ≠0}. x

3、 二次函数 f ( x) = ax + bx + c ( a ≠0): 定义域 R , 值域: 当 a >0 时, {y|y≥

2

4ac ? b 2 } ; 4a

当 a <0 时, {y|y≤

4ac ? b 2 } 。 4a
(2) f ( x) ? 3x ? 2 ; (3) f ( x ) ?

例 4、求下列函数的定义域: (1) f ( x ) ?

1 ; x?2

x ?1 ?

1 2? x

例 5:求函数的值域: y ?

? x2 ? 6x ? 5

练习:求函数的值域: y ?

? x 2 ? 2 x ? 10

例 6:求函数的值域: y ? x ?1 ? x ? 4

练习:求函数的值域: y ? x ? 2 ? x ? 3

例 7:求函数的值域: y ? x ? 4 1 ? x .

练习:求函数的值域: y ? 2x ? 1 ? 1 ? x

(三)函数的值:关于函数值 f ( a ) 例 8:若 f ( x) = x +3 x +1,求 f ( 2) , f (3) 。
2

例 9、已知函数 f ( x) =3 x -5 x +2,求 f (3) , f (? 2 ) , f (a ? 1) 。
2



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