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一道2011年全国高中数学联赛试题的简解


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数学通讯 ) 2012 年第 2 期 ( 下半月)

63

一道 2011 年全国高中数学联赛试题的简解
边 欣
( 天津师范大学数学系, 300387)

所以将 f ( v ) 平移后得到的曲线与横轴至少有 2 个 2011 年全国高中数学联合竞赛一试( B 卷) 的 第 9 题为: 题目
2

已知实数 x , y , z 满足: x \y \z , x + y
2 2

+ z = 1, x + y + z = 3. 求实数 x 的取值范围. 这是一 道构思巧妙的试题. 参 考解答( 参见文 [ 1] ) 采用代数方法, 先将题设中的两个方程转化为 一个一元二次方程, 再利用一元二次方程有实根的 充要条件, 即判别式非负, 并结合题设中的不等关系 得到 x 的取值范围. 此外, 也可以从几何、 三角方面 探究此题的解法. 本文利用解析方法给出一个简解. 解 由已知得 2x y + 2yz + 2z x = ( x + y + z ) - ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 12 - 3= - 2, 故 x y + yz + zx = 1. 从而 x , y , z 是关于 v 的一元三次方程 v 3 - v 2 v - xy z = 0 的三个实数根. 设函数 f ( v ) = v - v - v . 则 f c( v ) = 3v 2v - 1= ( 3 v + 1) ( v - 1) . 易知: 当 v< 1 时, f c( v ) > 0, f ( v ) 严格单增; 3
3 2 2 2

交点. 故当点 A 随着曲线 f ( v ) 沿纵轴方向向下平 5 移 个单位至横轴上时, x 取到最大值. 平移后点 27 1 1 A 的坐标为( - , 0) . 此时, y = z = - , 从而 x = 3 3 5 5 3 , 即 x 的最大值为 3 . ( 如图 2)

图 2

函数 f ( v ) -

5 的图象 27

同理, 当点 B 随着曲线 f ( v ) 沿纵轴方向向上 平移 1 个单位至横轴上时, x 取到最小值. 平移后点 B 的坐标为( 1, 0) . 此时, x = y = 1, 从而 z = - 1, 即 x 的最小值为 1. ( 如图 3)

1 当- 3 < v < 1 时, f c( v ) < 0, f ( v ) 严格单减; 当 v > 1 时, f c( v ) < 0, f ( v ) 严格单增. 1 5 并且点 A ( - , ) 是 f ( v ) 的局部极大值点, 3 27 点 B ( 1, - 1) 是 f ( v ) 的局部极小值点, 如图 1 所示.

图 3

函数 f ( v ) + 1 的图象

综上可知, 1 [ x [ 5 . 3 参考文献:
图1 函数 f ( v ) = v 3 - v 2 - v 的图象

[ 1]

2011 年 全国 高中数 学联 合竞赛 试题 及参 考答 案. 5 数 学通讯6 官方网站 http: / / w ww . shux uetong xun. com/ . ( 收稿日期: 2011- 11- 18)

因为 x , y , z 是关于 v 的 方程 f ( v ) - xyz = 0 的三个实数根, 即将曲线 f ( v ) 沿纵轴方向向上( 或 向下) 平移| xyz | 个单位后, 所得曲线与横轴交点的 横坐标. 注意到 x \y \z , 且 x , y , z 不能全相等,



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