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2012--2013南昌市新建二中数学(理)调研测试卷


南昌市新建二中 2012--2013 学年度上学期调研考试模拟卷(理) 命题:邓国平 时量:120 分钟 内容:除概率和解析几何外所有知识 总分:150 分

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.请把答案填在题后的括号内. ) 1.已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“

a 2 ? 2 a ”的( A )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要
? ? ? ? 2.已知向量 a ? (cos ? , ? 2), b ? (sin ? ,1), a // b

则 tan(? ?
1 3

D.既非充分也非必要 ?
) 等于(

B

)

4

A.3
3.复数 z ?
i i ?1

B. ? 3

C.

1 3

D. ?
A

在复平面内对应点位于 ( B.第二象限

)
D.第四象限

A.第一象限 4.如图是计算 A. i ? 1005
1 2 ? 1 4 ? 1 6

C.第三象限

?L ?

1 2012

的值的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是( C ) C. i ? 1006 D. i ? 1006

B. i ? 1005

i=i+1

s=s+

1 2i

i=1, s=0
是 否

开 始

结 束

输出 S

1

5.给定函数① y = x 2 ,② y = log 1 ( x ? 1) ,③ y ? x ? 1 ,④ y ? 2
2

x ?1

,其中在区间(0,1)上单调递减的 D.①④

函数的序号是( B )A.①②

B.②③

C.③④

6.已知等比数列 { a n }中 , a1 ? a 2 ? a 3 ? 40, a 4 ? a 5 ? a 6 ? 20, 则前 9 项之和等于 ( B ) A.50 B.70 C.80
2

D.90 C.6 D.8

7. 已知函数 y ? f ( x ) 的周期为 2,当 x ? [0, 2] 时, f ( x ) ? ( x ? 1) ,如果 g ? x ? ? f ? x ? ? log 5 | x ? 1 | ,则函 数 y ? g ? x ? 的所有零点之和为( D ) A.2 B.4

8.已知三棱锥 S—ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SA⊥平面 ABC, SA ? 2 3 , AB=1,AC=2, ∠BAC=60°,则球 O 的表面积为( C ) A. 4 ? B. 12? C. 16? D. 64?

9.已知

?ABC

为 等 边 三 角 形 , AB=2 , 设 点 P , Q 满 足 A
10 2

AP ? ? AB



AQ ? (1 ? ? ) AC

??? ??? ? ? 3 ? ? R, 若 BQ ? CP ? ? , 则? ? ( 2

) D. ? 3 ? 2
2 2

A.

1 2

B.

1? 2

2

C. 1 ?

10.已知 f ( x ) 为 R 上的可导函数,且 ? x ? R , 均有 f ( x ) ? f ′(x) ,则有( D ) A. e 2013 f ( ? 2013) ? f (0), f (2013) ? e 2013 f (0) B. e 2013 f ( ? 2013) ? f (0), f (2013) ? e 2013 f (0) C. e 2013 f ( ? 2013) ? f (0), f (2013) ? e 2013 f (0) D. e 2013 f ( ? 2013) ? f (0), f (2013) ? e 2013 f (0) 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在题中横线上. ) 11. a ? ? (2 x ? 1)dx =
0 1

.2

12.若从点 O 所作的两条射线 OM、ON 上分别有点 M 1 、 M 2 与点 N 1 、 N 2 ,则三角形面积之比为:
S ? O M 1 N1 S ?OM 2 N 2 ? OM 1 ? ON1

. 若从点 O 所作的不在同一个平面内的三条射线 OP、 和 OR 上分别有点 OQ

OM 2 ON 2

P1 、 P2 与点 Q 1 、 Q 2 和 R 1 、 R 2 ,则类似的结论为:

.

V O ? P1Q1 R1 V O ? P2 Q 2 R 2

?

OP1 OP 2

?

OQ 1 OQ 2

?

OR 1 OR 2

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 13.设实数 x , y 满足约束条件 ? 8 x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z = abx + y ( a > 0, b > 0) 的最大值为 8,则 ? x ? 0, y ? 0 ?

a + b 的最小值为

4
? ? ,且 sin ? ? 2 co s ? ? ? ? ? sin ? ?
*

14.已知 ? , ?

? ? ? ? 0, 2 ?
n ?1

,若 tan ? ?

? ?

? ? 3, 则 tan ?

?

.1

15.曲线 f ( x ) ? x

( n ? N ) 与 直 线 x ? 1 交于点 P,若设曲线 y=f(x)在点 P 处的切线与 x 轴交

点的横坐标为 x n , 则 log 2012 x1 ? log 2012 x 2 ? ? ? log 2012 x 2011 的值为____.-1 三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (本小题满分 12 分) 在数 1 和 2 之间插入 n 个实数,使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数列,将这
* n ? 2 个 数 的 乘积 记 为 A n , 令 a n ? l o g 2 An , n ? N .(1) 求 数列 ? An ? 的 前 n 项 和 S n ; (2) 求

T n ? tan a 2 ? tan a 4 ? tan a 4 ? tan a 6 ? ? ? tan a 2 n ? tan a 2 n ? 2 .

解 : 设 b1 , b 2 , b3 ,? , b n ? 2

构 成 等 比 数 列 , 其 中 b1 ? 1, b n ? 2 ? 2 ②

, 依 题 由

意, An ? b1 ? b 2 ? ? ? b n ? 1 ? b n ? 2 , ① An ? b n ? 2 ? b n ? 1 ? ? ? b 2 ? b1 , 于 b1 ? b n ? 2 ? b 2 ? b n ? 1 ? b3 ? b n ? ? ? b n ? 2 ? b1 ? 2 , ① ? ②得 An ?
2

?b b ? ? ?b b ? ? ? ? ?b
1 n?2 2 n ?1
n?2 2

n ?1 2

b

? ? ?b

n?2 1

b

?

? 2

n?2

.

n?3

∵ An ? 0 ,∴ An ? 2

.∵

An ? 1 An

?

2 2

2 n?2 2

?

2 ,

∴数列 ? An ? 是首项为 A1 ? 2 2 ,公比为

2 的等比数列.

∴ Sn ?

? 2 2 ?1 ? ? 1 ?

? 2?
2
n?2

n

? ? ?

?

?4 ?
2

2 2

? ??? ? 2 ?

n

? ? 1? . ?

(2)解: 由(1)得 a n ? l o g 2 An ? log 2 2

2

?

n ? 2

,

tan ? n ? 1 ? ? tan n ∵ tan 1 ? tan ? ? n ? 1 ? ? n ? ? , ? ? 1 ? tan ? n ? 1 ? ? tan n

∴ tan n ? tan ? n ? 1 ? ?

tan ? n ? 1 ? ? tan n tan 1

? 1,n ?N .
*

∴ T n ? tan a 2 ? tan a 4 ? tan a 4 ? tan a 6 ? ? ? tan a 2 n ? tan a 2 n ? 2
? tan 2 ? tan 3 ? tan 3 ? tan 4 ? ? ? tan ? n ? 1 ? ? tan ? n ? 2 ?
? tan ? n ? 2 ? ? tan ? n ? 1 ? ? ? tan 3 ? tan 2 ? ? tan 4 ? tan 3 ? ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? 1? ? ? tan 1 tan 1 tan 1 ? ? ? ? ? ?

?

tan ? n ? 2 ? ? tan 2 tan 1

? n.

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 a ? (cos 2 x , ? 1), b ? (1, cos(2 x ?

?
3

)), 设 f ( x ) ? a ? b ? 1. (1)

求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间; (2)设 x 为三角形的内角,且函数 y= 2f(x)+k 恰有两 个零点,求实数 k 的取值范围. 解: (1) f ( x ) ? a ? b + 1 ? cos 2 x ? cos(2 x ?
?
3 ) ?1? 1 2 cos 2 x ? 3 2 sin 2 x ? 1
? cos(2 x ?

?
3

) ?1

∴最小正

周期为 ? ,由 2 k ? ≤ 2 x ?

?
3

≤ 2k? ? ?

,得 k ? ?
,k ? ?

?
6

≤ x ≤ k? ?

?
3

(k∈Z)

∴函数 f (x)的单调递减区间是 ( k ? ? 解:(2) y ? 2 f ( x ) ? k ? 2 cos(2 x ? 由 2 cos(2 x ?
?
3

?
6

?
3

)

(k∈Z)
?
3 ? 2x ?

?
3

)? 2? k

,因为 x 是三角形的内角,所以
2? k 2 1 2 ? ?1 ? k 2 ? ?1 ? k 2

?
3

?

7? 3

) ? 2 ? k ? 0 得: cos(2 x ? k 2 ? 1 2

?
3

)??

①,函数 y = 2f (x) + k 恰有两个零点, k < 0 或-4 < k <-3,∴实数 k 的取

即①在(0,? )有两个根∴ ? 1 ? ? 1 ?



? 1 ,即-3 <

值范围是{ k |-3 < k < 0 或-4 < k <-3}. 18.(本小题满分 12 分)等比数列 { a n }满 足 a n ? 1 ? a n ? 9 ? 2
n ?1

, n ? N . (1)求数列 { a n } 的通项公式;
* *

(2)设数列 { a n } 的前 n 项和为 Sn,若不等式 S n ? ka n ? 2 对 一 切 n ? N 恒成立,求实数 k 的取值 范围. (1)解:设等比数列 { a n } 的公比为 q ,∵ a n ? 1 ? a n ? 9 ? 2 n ?1 ,n∈N*,∴ a 2 ? a1 ? 9 , a 3 ? a 2 ? 18 ∴q ?
a3 ? a 2 a 2 ? a1 ? 18 9
a1 (1 ? q )
n

? 2

,又 2 a1 ? a1 ? 9 ,∴ a1 ? 3 ,∴ a n ? 3 ? 2 n ? 1 n∈N* .
? 3(1 ? 2 )
n

(2)解: S n ? 令 f (n) ? 2 ? ∴k ?
5 3

1? q

1? 2

? 3(2 ? 1)
n

,∴ 3(2 n ? 1) ? k ? 3 ? 2 n ?1 ? 2 ,∴ k ? 2 ?
1 3 5 3

1 3?2
n ?1



1 3?2
n ?1

, f ( n ) 随 n 的增大而增大,∴ f ( n ) m in ? f (1) ? 2 ?
5

?

, .即实数 k 的取值范围为 ( ? ? , ) .
3

19. (本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ACB=90° ,AA1=AC=1,BC= 2 ,CD ⊥AB,垂足为 D.(1)求证:BC∥平面 AB1C1;(2)求点 B1 到面 A1CD 的距离. 解:(1)证明: C1 BC∥B1C1 ? BC∥AB1C1 B1C1 面 AB1C1 B1 A1 BC 面 AB1C1 C A (2) 建立空间直角坐标系,则 A1(1, 0, 1),C(0, 0, 0),D( A1CD 的一个法向量为 n =(x, y, z),∵ n ⊥ CA 1 , n ⊥ CD ∴?2
?x ? z ? 0 ? ? ? x? y?0 3 ?3
2 3

D
2

B

,

2 3

, 0),B1(0,

, 1),设平面

∴ n · CA 1 =0, n · CD =0

∴?

?z ? ? x ? ?y ? ? 2x ?

,令 x=1,得 n =(1, - 2 , -1)

∵点 B1 到面 A1CD 的距离等于 B 1 C 在 n 上的射影长∴d=

? 2 ?1 2

?

3 2

20.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x ) ? ax 3 ? bx 2 ? 2 x 在 x ? ? 1 处取得极值,且在点 (1, f (1)) 的 切 线 斜 率 为 2 .( l ) 求 a 、 b 的 值 ( 2 ) 若 关 于 x 的 方 程
1 3 2 f ( x ) ? x ? 2 x ? x ? m ? 0 在 区 间[ , 2] 上恰有两个不相等的实数根,求 2

实数 m 的取值

范围,
? (1)解: f ?( x ) ? 3 ax 2 ? 2 bx ? 2 ,∴ ? f ? ( ? 1) ? 3 a ? 2 b ? 2 ? 0 ? f ? (1) ? 3 a ? 2 b ? 2 ? 2

,解得: a ? ?

1 3

,b ?

1 2

(2)解 : 由 (1) 知 ,
2 3 x ?
3

f (x) ? ?

1 3

x ?
3

1 2

x ? 2x
2



f ( x) ? x ? 2 x ? x ? m ? 0
3 2



3 2

x ? x? m ?0
2

设 g (x) ?

2 3

x ?
3

3 2

x ? x? m
2

, 则 g ?( x )?
1

2x ?
2

3 x?

1 ?

x? (

1 ) x( , 2∴ ?

) g 1 (x) 在
1 6

1 ( ?? , ) ,(1 ,? ? ) 2 g ( x ) m ax ? g ( 1 2

上 递 增 , 在 ( ,1) 上 递 减 , ∴ g ( x ) m in ? g (1) ? m ?
2 5 24



)?m ?

, g (2) ? m ?

4 3 1 2

为使方程 f ( x ) ? x 3 ? 2 x 2 ? x ? m ? 0 在区间 [ ,2] 上恰有两个不相等的实数根,则
5 ? 1 ? g ( 2 ) ? m ? 24 ≥ 0 ? 1 ? ?0 ? g (1) ? m ? 6 ? 4 ? g (2) ? m ? ≥ 0 ? 3 ?

解得: ?

5 24

≤m ??

1 6

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f (x)=x2+x-ln(x+a)+3b 在 x=0 处取得极值 0. (Ⅰ)求实 数 a、b 的值; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f (x)=
5 2

x+m 在区间[0,2]上恰有 2 个不同的实数解,求实
1 2

数 m 的取值范围; (Ⅲ)证明:对任意的正整数 n>1,不等式 1+ 立. 解: (Ⅰ) 由题设可知 f ?( x ) ? 2 x ? 1 ? 经检验 a ? 1, b ? 0 符合题意。
1 x?a

+

1 3

+……+

1 n ?1

> ln

n ?1 2

都成

, ∵当 x ? 0 时, (x) f 取得极值∴ ?

? f ? (0) ? 0 ? f (0) ? 0

, 解得 a ? 1, b ? 0

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) ? x 2 ? x ? ln( x ? 1) ,则方程 f ( x ) ? 令 ? ( x ) ? x 2 ? ln( x ? 1) ?
? ?( x ) ? 2 x ?
x ? (1, 2)
3 2 x?m

5 2

x?m

即为 x 2 ? ln( x ? 1) ?

3 2

x?m ?0

,则方程 ? ( x ) ? 0 在区间恰有两个不同的实数根。



1 x ?1

?

3 2

?

(4 x ? 5)( x ? 1) 2( x ? 1)

∴当 x ? (0,1) 时, ? ?( x ) ? 0 ,于是 ? ( x ) 在 (0,1) 上单调递减,当

时, ? ?( x ) ? 0 ,于是 ? ( x ) 在 (1, 2 ) 上单调递增

? ? (0) ? ? m≥ 0 ? 1 1 ? 依题意有 ??(1)=- ? ln 2 ? m ? 0 ,∴ ? ? ln 2 ? m ≤1 ? ln 3 2 2 ? ? ? ? (2) ? 1 ? ln 3 ? m≥ 0

(Ⅲ)由(Ⅰ)知 f ( x ) ? x 2 ? x ? ln( x ? 1) 的定义域为 ( ? 1, ? ? ) ,且 f ?( x ) ? 当 x ? ( ? 1, 0) 时, ,于是 f ( x ) 在 ( ? 1, 0 ) 上单调递减, ? ( x ) ? 0 ,于是 f ( x ) 在 (0, ?? ) 上单调递增 当 x ? (0, ?? ) 时, f
f ?( x ) ? 0

x (2 x ? 3) x ?1

1 ) 0 ∴ f (0 ) 为 f ( x ) 在 ( ? 1, ? ? ) 上的最小值,∴ f ( x )≥ f (0) , f (0) ? , x 2 ? x ≥ ln( x ? 而 故

, 其中当 x ? 0 ,而

时等号成立,对任意的正整数 n ( n ? 1) ,取 x ?
1 n ( n ? 1) ? 1 n
2

1 n

?0

,得 ,∴

1 n
2

?

1 n

? ln(

1 n

? 1) ? ln( n ? 1) ? ln n

( n ? 1)

,∴
1

1 n ( n ? 1)

?

1 n

? ln( n ? 1) ? ln n

1 n ?1

? ln( n ? 1) ? ln n
n ?1 2

∴1 ?

1 2

?

1 3

?? ?

n ?1

? (ln 3 ? ln 2) ? (ln 4 ? ln 3) ? ? [ln( n ? 1) ? ln n ] ? ln( n ? 1) ? ln 2 ? ln


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