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0557数学-江苏省诚贤中学2013届高三第一次质量检测数学试题


江苏省诚贤中学 2013 届高三第一次质量检测 数学试题
时间:120 分钟 分值:160 分 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相 .... 应的位置上. ..... 1、设集合 A ? ? x |
? ? 1 x ? x ? 2 ? , B ? ? x | 2 ? 1? ,则 A ? B ? ?






2、若 ( a ? 2 i )i ? b ? i ,其中 a , b ? R , i 是虚数单位,则 a ? b ?
?





3、 y ? 2 sin(2 x ? ? ), ? ? (0, ? ) 在 x ? ( 0 , ) 上是减函数,则 ? ? ______▲_______.
2

4、已知向量 a=(x,3),b =(2,1),若 a 与 b 的夹角为锐角,则实数 x 的取值范围是 ▲ . 5、方程 lgx+lg(x+3)=1 的解 x= ▲ . 3 2 6、已知函数 y=ax +bx ,当 x=1 时,有极大值 3,则 2a+b= ▲ . 7、阅读下面的流程图,若输入 a=6,b=1,则输出的结果是 ▲ .

8、 一个容量为 40 的样本数据分组后组数与频数如下: (25, 253] 6; , (25.3, 25.6] , 4;(25.6,25.9] ,10;(25.9,26.2] ,8;(26.2,26.5] ,8;(26.5,26.8] ,4;则 样本在(25,25.9]上的频率为 ▲ . 1 9、 在长为 1 的线段上任取两点, 则这两点之间的距离小于2的概率为 ▲ . 10、已知 c ? 0 ,设 p : y ? c x 在 R 上单调递减, q : g ( x ) ? ln(2 cx 2 ? 2 x ? 1) 的值域 为 R,如果“ ? p 或 ? q ”为真命题, p 或 q ”也为真命题,则实数 c 的取值范 “ 围是______▲_______.

1

11、长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 AB1 ? 4 , AD1 ? 3 ,则对角线 AC1 的取值范 围是 ▲ .
x ? 3x ? 4
2

12、若 | x ( x ? 2) |? 0 ,则 y ?

的取值范围是

x





13、如图,在杨辉三角形中,斜线 l 的上方从 1 按箭头方向可以 构成一个“锯齿形”的数列 { a n } : 1, 3, 3, 4, 6, 5,10, ? , 记其前
n

项和为 S n ,则 S 19 的值为
y b
2 2





14、 过双曲线 M : x 2 ?

? 1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l , 若 l 与

双曲线 M 的两条渐近线分别相交于点 B , C , 心率是 ▲ .

且 | AB |?| BC | , 则双曲线 M 的离

二、解答题:本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤,并请将答案写在答题纸相应的位置上. 15、 【本小题满分 14 分】 在△ ABC 中,A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,已知向量→=(1,2sinA), m →=(sinA,1+cosA),满足→∥→,b+c= 3a. n m n (Ⅰ)求 A 的大小; ? (Ⅱ)求 sin(B+ 6)的值.

16、 【本小题满分 14 分】 在多面体 ABCDEF 中,点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点,三角形 CDE 是等边三角 形,棱 EF//BC 且 EF= BC .
2 1

F A O B

E D

(I)证明:FO∥平面 CDE; (II)设 BC= 3CD , 证明 EO⊥平面 CDF.

C

2

17、 【本小题满分 14 分】 某公园准备建一个摩天轮,摩天轮的外围是一个周长为 k 米的圆.在这个圆上安 装座位,且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连.经预算,摩天轮上 的每个座位与支点相连的钢管的费用为 8k 元/根,且当两相邻的座位之间的圆弧 长为 x 米时,相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为
? (1024 x ? 20) x ? ? 2 ? k 元。假设座位等距离分布,且至少有两个座位,所有座位 ? 100 ? ?

都视为点,且不考虑其他因素,记摩天轮的总造价为 y 元。 (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式,并写出定义域; (2)当 k ? 100 米时,试确定座位的个数,使得总造价最低?

18、 【本小题满分 16 分】 已知半椭圆
x b
2 2

?

y a

2 2

? 1 ( y ? 0) 和半圆 x ? y ? b ( y ? 0)
2 2 2

组成曲线 C ,其中 a ? b ? 0 ;如图,半椭圆
x b
2 2

?

y a

2 2

? 1 ( y ? 0) 内切于矩形 ABCD ,

且 CD 交 y 轴于点 G ,点 P 是半圆 x 2 ? y 2 ? b 2 ( y ? 0) 上 异于 A、 B 的任意一点,当点 P 位于点 M (
? AGP 的面积最大。

6 3

,?

3 3

) 时,

(1)求曲线 C 的方程; (2)连 PC 、 PD 交 AB 分别于点 E、 F ,求证: AE 2 ? BF 2 为定值。

3

19、 【本小题满分 16 分】 已知 S n 是数列 ?a n ? 的前 n 项和, S n 满足关系式 2 S n (n≥2,n 为正整数). (1)令 b n
? 2 a n ,求证数列 ?b n ? 是等差数列,并求数列 ?a n ? 的通项公式;
n

1 n ?1 ? S n ?1 ? ( ) ?2 2

,a1

?

1 2

(2)对于数列 ?u n ? ,若存在常数 M>0,对任意的 n ? N * ,恒有
u n ?1 ? u n ? u n ? u n ?1 ? ? ? u 2 ? u 1

≤M 成立,称数列 ?u n ? 为“差绝对和有界数

列”, 证明:数列 ?a n ? 为“差绝对和有界数列”;

20、 【本小题满分 16 分】 设 m 为实数,函数
f ( x) ? 2 x
2

? f ( x) ? ? ( x ? m) x ? m , h( x) ? ? x ?0 ?

x?0 x?0

.

(1)若 f (1) ≥4,求 m 的取值范围; (2)当 m>0 时,求证 h ( x ) 在 ?m , ?? ? 上是单调递增函数; (3)若 h ( x ) 对于一切 x ? ?1, 2 ? ,不等式 h ( x ) ≥1 恒成立,求实数 m 的取值范围.

4

参考答案及评分标准
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置上. ......... 1、 ? x x ?
? ? 1? ? 2?

2、1

3、

?
2

? ? 3 4、 ? x x ? ? 且 x ? 6 ? 2 ? ?

5、2 3 9、 4

6、-3
1 2

7、2

8、

1 2

10、

? c ?1

11、 ? 4, 5 ? 14、 10

12、 ? ?? , ? 7 ? U ?1, ?? ?

13、283

二、解答题:本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤,并请将答案写在答题纸相应的位置上. 15、 【解】 (Ⅰ)由→∥→,得 2sin2A-1-cosA=0, m n 即 2cos2A+cosA-1=0, 分) (3 1 ∴cosA= 或 cosA=-1. (4 分) 2 ∵A 是△ ABC 内角,cosA=-1 舍去, 分) (5 ? ∴A= .(6 分) 3 (Ⅱ)∵b+c= 3a, 3 由正弦定理,sinB+sinC= 3sinA= , 分) (9 2 2? 2? 3 ∵B+C= ,sinB+sin( -B)= , (12 分) 3 3 2 3 3 3 3 ? ∴ cosB+ sinB= ,即 sin(B+ )= . (14 分) 2 2 2 6 2 16、 【证明】 (Ⅰ)证明:取 CD 中点 M,连结 OM. 分) (2 在矩形 ABCD 中, OM // 则 EF //OM , 分) (4 连结 EM,于是四边形 EFOM 为平行四边形.? FO // EM (6 分) 又? FO ? 平面 CDE,切 EM ? 平面 CDE,∵FO∥平面 CDE(7 分) (Ⅱ)证明:连结 FM, 分) (8
1 2 BC ,又 EF // 1 2 BC ,

5

由(Ⅰ)和已知条件,在等边△ CDE 中,
CM ? DM , EM ? CD

且 EM ?

3 2

CD ?

1 2

BC ? EF .

因此平行四边形 EFOM 为菱形, (11 分) 从而 EO⊥FM 而 FM∩CD=M, (12 分) ∴CD⊥平面 EOM,从而 CD⊥EO. (13 分) 而 FM ? CD ? M ,所以 EO⊥平面 CDF(14 分) 17、 【解】 (1)设摩天轮上总共有 n 个座位,则 x ?
y ? 8k k x ?

k n

即n ?

k x



? ? k ? (1024 x ? 20) x 1024 x ? 20 ? 2 10 ? 2? k ? k ? ? ?, ? ? ? x? 100 100 ? ? x ?

? k k ? 定义域 ? x 0 ? x ? , ? Z ? ; 2 x ? ?

(6 分)

? 1000 ? ? 1024 x ? 20 ? (2)当 k ? 100 时,令 y ? 100 ? ? x ?
f ( x) ? 1000 x ? 1024 x ,则 f ?( x ) ? ?
3

1000 x
2

? 512

1 x

?

? 1000 ? 512 x 2 x
3 2

? 0,
2

? 125 ? 3 25 ? x?? ∴ x2 ? , (10 分) ? ? 64 16 ? 64 ? 125

当 x ? (0,

) 上单调减, 16 16 25 25 当 x ? ( , 50) 时, f ?( x ) ? 0 ,即 f ( x ) 在 x ? ( , 50) 上单调增, 16 16 25 100 ? 64 个。 (14 分) y min 在 x ? 时取到,此时座位个数为 25 16 16

25

) 时, f ?( x ) ? 0 ,即 f ( x ) 在 x ? (0,

25

18、 【解】 (1)已知点 M (

6 3

,?

3 3

) 在半圆 x ? y ? b ( y ? 0) 上,
2 2 2

6

所以 (

6 3
2

) ? (?
2

3 3
2

) ? b ,又 b ? 0 ,所以 b ? 1 ,
2 2

(2 分)

当半圆 x ? y ? b ( y ? 0) 在点 P 处的切线与直线 AG 平行时,点 P 到直线 AG 的距离最
2

大,此时 ? AGP 的面积取得最大值, 故半圆 x ? y ? b ( y ? 0) 在点 M 处的切线与直线 AG 平行,
2 2 2

所以 OM ? AG ,又 k OM ? 所以 k AG ?
2 ? a b

yM ? 0 xM ? 0

??

2 2




2 , 分) (4

又 b ? 1 ,所以 a ?

所以曲线 C 的方程为
x ?
2

y

2

2

? 1 ( y ? 0) 或 x ? y ? 1( y ? 0) 。
2 2

(6 分)

(2)点 C (1, 2 ) ,点 D ( ? 1, 2 ) ,设 P ( x 0 , y 0 ) ,则有 直线 PC 的方程为 y ?
2 ? y0 ? 2 ( x ? 1) ,

x0 ? 1

令 y ? 0 ,得 x E ? 1 ?

2 ( x 0 ? 1) y0 ? 2



所以 AE ? 2 ?

2 ( x 0 ? 1) y0 ? 2



(9 分)

直线 PD 的方程为 y ?

2 ?

y0 ?

2

x0 ? 1

( x ? 1) ,

令 y ? 0 ,得 x F ? ? 1 ?

2 ( x 0 ? 1) y0 ? 2



所以 BF ? 2 ?

2 ( x 0 ? 1) y0 ? 2



(12 分)

则 AE ? BF ? [2 ?
2 2

2 ( x 0 ? 1) y0 ? 2

] ? [2 ?
2

2 ( x 0 ? 1) y0 ? 2

]

2

7

?

4 x0 ? 4
2

( y0 ?
2

2)
2

2

?

8 2 y0 ? 2
2

?8,

又由 x 0 ? y 0 ? 1 ,得 x 0 ? 1 ? y 0 ,代入上式得
2

?

8 ? 4 y0 ( y0 ?
2

2 2

?

8 2 y0 ? 2

?8

2)

?

8 ? 4 y0 ? 8 2 ( y0 ? ( y0 ? ? 4( y 0 ? ( y0 ? 2) 2)
2 2

2)

2)

2

?8

?

? 8 ? 4 ,所以 AE 2 ? BF 2 为定值。

(16 分)

19、 【解】
1 n ?1 1 (1)当 n ? 2 时, S n ? ? a n ? ( ) ? 2 , a 2 ? 2 2 1 n S n ?1 ? ? a n ?1 ? ( ) ? 2 2 1 n 所以 a n ?1 ? ? a n ?1 ? a n ? ( ) , 2 1 n 即 2 a n ?1 ? a n ? ( ) , 2

(2 分)

所以 2

n ?1

a n ?1 ? 2 ? a n ? 1
n

(3 分)

即 bn ?1 ? bn ? 1 , ( n ? 2) 又 b2 ? b1 ? 2 ? a 2 ? 2 ? a1 ? 1
2

所以, bn ?1 ? bn ? 1 , n ? N 即 ? b m ? 为等比数列
b1 ? 2 ? a1 ? 1 bn ? 1 ? ( n ? 1) ? n
an ? n 2
n

?

(5 分)

(10 分)
n ?1 2
n ?1

(2)由于 a n ?1 ? a n ? a n ? a n ?1 ? ? ? a 2 ? a1 ?
Sn ? 1 2 Sn ? 1 4

?

n?2 2
n

?? ?

0 2
2

(求和 3 分)

8

所以 S n ?

1

2 20、 【解】

恒成立,即 ? a n ? 为“差绝对和有界数列”。

(16 分)

解(1) f (1) ? 2 ? (1 ? m ) 1 ? m ? 4 当 m ? 1 时, (1 ? m )( m ? 1) ? 2 ,无解; 当 m ? 1 时, (1 ? m )(1 ? m ) ? 2 ,解得 m ? 1 ? 所以 m ? 1 ?
2 。 分) (4
m x
2

(2 分)
2。

(3 分)

(2)由于 m ? 0 , x ? m 。所以 h ( x ) ? 3 x ?

? 2m 。

任取 m ? x1 ? x 2 , h ( x 2 ) ? h ( x1 ) ? ( x 2 ? x1 )(
2 2 2

3 x1 x 2 ? m )
2

(5 分)

x1 x 2

x 2 ? x1 ? 0 ,3 x1 x 2 ? m ? 3 m ? m ? 0 , x1 x 2 ? 0 (7 分)

所以 h ( x 2 ) ? h ( x1 ) ? 0 即: h ( x ) 在 ?m , ?? ? 为单调递增函数。

(8 分)

(3) 、① m ? 1 时, x ? ?1, 2 ? , f ( x ) ? 2 x ? ( x ? m )( x ? m ) ? 3 x ? 2 mx ? m , ?
2 2 2

h( x) ?

f ( x) x

? 1 恒成立 ? f ( x ) ? x 恒成立 ,即: g ( x ) ? 3 x ? (2 m ? 1) x ? m ? 0
2 2

由于 y ? g ( x ) 的对称轴为 x ?

2m ? 1 6

?1
2

故 g ( x ) 在 ?1, 2 ? 为单调递增函数,故 g (1) ? 0 ? m ? 2 m ? 2 ? 0 。 ? 所以 m ? 1 。
2 ? m x ? 2 ? 2m ? ? x ② 当 1 ? m ? 2 时, h ( x ) ? 2 ?3 x ? m ? 2 m 2 ? x ?

(11 分)
1? x ? m m?x?2

易证 y ? x ?

m

m ? m 在 ?1, m ? 为递增,由②得 y ? 3 x ? ? 2 m 在 ? m , 2 ? 为递增, 2 ? ? x x

2

2

所以, h (1) ? 1 ,即 0 ? m ? 2 , 所以 1 ? m ? 2 。

(14 分)

9

③ 当 m ? 2 时, h ( x ) ? x ? 综上所述
m ? 2。

m x

2 2

? 2 m (无解)

(15 分) (16 分)

10


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