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2013-2014高二数学理科期中考试试题(含答案)


2013—2014 学年上期中考 高二理科数学试题
说明: 1、试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷,满分 150 分,时间 120 分钟. 2、将第Ⅰ卷的答案填在第Ⅱ卷的答题栏中. 第Ⅰ卷 (选择题、填空题,共 80 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知 ?1 ? a ? 0 ,那么 ?

a, ?a , a 的大小关系是
3 2

A. a ? ?a ? ?a
2 3

B. ?a ? a ? ?a
2

3

C. ?a ? a ? ?a
3 2

D. a ? ?a ? ?a
2

3

2.公差非零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项, 且 S8 ? 32 ,则 S10 = A.18 B.24 C.60 D.90
.

b c B C 3.在 ?ABC 中, a , , 分别为角 A, , 所对的边,若 a ? 2b cos C ,则此三角形一定是

A.等腰直角三角形 4.不等式 x+

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等腰或直角三角形

2 >2 的解集是 x ?1
B. (??, ?1) ? (0,1) C. (??, ?1) ? (1, ??) D. (?1,0) ? (0,1)

A. (?1,0) ? (1, ??)

5.已知数列 ?an ? 满足 an?2 ? ?an ( n?N*),且 a1 ? 1 , a2 ? 2 ,则该数列前 2012 项的和为 A.1 B.-3 C.3 D.0

b c B C 6.在 ?ABC 中, a , , 分别为角 A, , 所对的边,若 a2 -b2 ? 3bc,sin C ? 2 3 sin B, 则 A ?

A. 30? B. 60? C. 120? 7.设 a ? 0, b ? 0, 则下列不等式中不恒成立的是 .... A. (a ? b)( ? ) ? 4

D. 150?

1 a

1 b

3 3 2 B. a ? b ? 2ab

C. | a ? b | ? a ? b

2 2 D. a ? b ? 2 ? 2a ? 2b

8.在 ?ABC 中, a , b, c 分别为角 A, B, C 的对的边,如果 a , b, c 成等差数列, B ? 30? , ?ABC 的面 积为

3 ,则 b 等于 2

高二理科数学

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A. 1 ? 3

B.

1? 3 2

C.

2? 3 2

D. 2 ? 3

9.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ?

1 ,且对任意正整数 m, n ,都有 am?n ? am ? an 成立. 3

若 Sn ? a 对任意的正整数 n 恒成立,则实数 a 的最小值为 A.

3 2

B.

2 3

C.

1 2

D.2

10.已知 a ? b , ab ? 1 ,则

a 2 ? b2 的最小值是 a ?b
C.2 D.1

A. 2 2

B. 2

11. 已 知 关 于 x 的 方 程 x2 ? ?1 ? a? x ?1 ? a ? b ?( a, b ? R) 的 两 根 分 别 为 x1 , x2 , 且 0

b 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,则 的取值范围是 a
A. ? ?2, ? ? 2

? ?

1? ?

B. ( ?2, ? )

1 2

C. ? , 2 ? ?2 ?

?1

?

D. ( , 2)

1 2

12.定义:在数列 {an } 中,若满足

an? 2 an?1 ( ,我们称 {an } 为“比等差数列”. ? ? d , d 为常数) an?1 an a2014 的末位数字是 a2011

已知在“比等差数列” {an } 中, a1 ? a2 ? 1 , a3 ? 2 ,则 A.6 B.4 C.2

D.0

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知数列 {an } 满足: a1 ? 1, an ?1 ?

an ( n?N*) ,则 a4 = 2an +3



14.某物流公司有 6 辆甲型卡车和 4 辆乙型卡车,此公司承接了每天至少运送 280t 货物的业务, 已知每辆甲型卡车每天的运输量为 30t, 运输成本为 0.9 千元; 每辆乙型卡车每天的运输量为 40t, 运输成本为 1 千元,则当每天运输成本最低时,所需甲型卡车的数量是____________. ....... 15.已知 x, y ? R+,2 y ? x ? xy ? 0 ,若 x ? 2 y ? m ? 2m 恒成立,则 m 的取值范围是_______.
2

b c 16. 在 ?ABC 中 , a , , 分 别 为 角 A,B,C 所 对 的 边 , 已 知 a ? 8 , b ? 7 , B ? 60? , 则
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S?ABC ?



2013—2014 学年上期中考 14 届 高二理科数学试题答题卷
题号 一 二 三 17 18 19 20 21 22 总分

得分

一、选择题: (共 60 分) 题号 答案 二、填空题: (共 20 分) . 13. 14. 15. 16. 1 2 3 4

5

6

7

8

9

10

11

12

第Ⅱ卷 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)设函数 f ( x) ?| 2 x ? 4 | ? | x ? 2 | . (Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的最小值; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? | a ? 4 | ? | a ? 3 | 恒成立,求实数 a 的取值范围.

高二理科数学

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18.(本小题满分 12 分)如图, A, B 是海面上位于东西方向相距 5 3 ? 3 海里的两个观测点, 现位于 A 点北偏东 45? , B 点北偏西 60? 的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西

?

?

60? 且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/时,该救
援船到达 D 点需要多长时间?

19. (本小题满分 12 分)已知 a2 , a5 是方程 x 2 ? 12 x ? 27 ? 0 的两根,数列 ?an ? 是公差为正 的等差数列,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 1 ? (Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式;

1 bn .( n?N*) 2

(Ⅱ)记 cn = an bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n .

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座号
a b c B C 20. (本小题满分 12 分) 已知锐角 ?ABC 中, , , 分别为角 A, ,

所对

的边, tan A ?

3bc . b ? c2 ? a2
2

(Ⅰ) 求角 A 的大小;

(Ⅱ)求 cos B ? cos C 的取值范围.

ax 2 ? 2 x ? 1 21. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 f ? x ? ? 的定义域恰为不等式 x

log2 ? x ? 3? ? log 1 x ? 3 的解集,且 f ? x ? 在定义域内单调递减,求实数 a 的取值范围.
2

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22. (本小题满分 12 分)设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知数列 项为 1 ,公差为 1 的等差数列. (Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式; ( Ⅱ ) 令 bn ?

? S ? 是首
n

m 1 , 若 不 等 式 b1 ? b2 ? b3 ?? ? b ? 对任意 n 2n ? 1 ? 1 an S2 n? 1 ? an? 1 S2 n? 1

n?N*都成立,求实数 m 的取值范围.

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2013—2014 学年上期中考 高二理科数学试题 参考答案
一、选择题: 1-5 BCCAD 二、填空题 13. 6-10 AB A CA 11-12BA

1 53

14. 4

15.

? ?4, 2?

16. 6 3 或 10 3

三、解答题:

??3 x ? 2, ( x ? ?2) ? 17.解: (Ⅰ)由于 f ( x ) ?| 2 x ? 4 | ? | x ? 2 |? ?6 ? x, ( ?2 ? x ? 2) ?3 x ? 2, ( x ? 2) ?
所以函数 y ? f ( x) 的最小值为 f (2) ? 4 .………………………5 分 (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? | a ? 4 | ? | a ? 3 | 的恒成立,则 | a ? 4 | ? | a ? 3|? f ( x)min ? 4 , 当 a ? ?4 时, ? ? a ? 4? ? ? a ? 3? ? 4 ,解得 ?7 ? 4 ,所以 a ? ?4 ; 当 ?4 ? a ? 3 时, ? a ? 4? ? ? a ? 3? ? 4 ,解得 a ?

3 3 ,所以 ?4 ? a ? ; 2 2

当 a ? 3 时, ? a ? 4? ? ? a ? 3? ? 4 ,解得 7 ? 4 ,所以无解; 综上,a 的取值范围为 a ?

3 .……10 分 2

18. 解:由题意知 AB=5(3+ 3)(海里),∠DBA=90° -60° =30° , ∠DAB=90° -45° =45° , ∴∠ADB=180° -(45° +30° )=105° . 在△DAB 中,由正弦定理得 AB· sin∠DAB 5 ∴DB= = sin∠ADB DB AB = , sin∠DAB sin∠ADB

?

3 ? 3 sin 45? sin105?

?

=10 3(海里).

又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30° +(90° -60° )=60° ,BC=20 3(海里), 在△DBC 中,由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BD· cos∠DBC BC·
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1 =300+1200-2× 3× 3× =900, 10 20 2 30 ∴CD=30(海里),则需要的时间 t= =1(小时).即该救援船到达 D 点需要 1 小时.… 12 分 30 19. 解:(1)由 a2 ? a5 ? 12, a2 a5 ? 27.且 d ? 0 得 a2 ? 3, a5 ? 9

?d ?

a5 ? a 2 ? 2 , a1 ? 1 ? an ? 2n ? 1 n ? N ? 3

?

?

在 Tn ? 1 ?

1 2 1 1 bn 中,令 n ? 1, 得 b1 ? . 当 n ? 2 时,T n = 1 ? bn , Tn ?1 ? 1 ? bn ?1 , 3 2 2 2

两式相减得 bn ?

b 1 1 1 bn ?1 ? bn ,? n ? ?n ? 2? 2 2 bn?1 3
? 2 n? N? . n 3

2?1? ? bn ? ? ? 3 ? 3?

n ?1

?

?

……………

6分

(2) c n ? ?2n ? 1? ?

2 4n ? 2 ? , 3n 3n

5 2n ? 1 ? S 3 2n ? 3 2n ? 1 ? ?1 3 ?1 ? S n ? 2? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? , n ? 2? 2 ? 3 ? ? ? ? n?1 ? , 3 3 ? 3 3 3n 3 ?3 3 ?3 ?

? ? 1? 1 ? ? 1 2 ? 9 ?1 ? 3 n ?1 ? 2n ? 1? ?1 ? 1 2 1 1 ? 2n ? 1? ? ?? ? ? S n ? 2? ? 2? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n?1 ? =2 ? ? 1 3 3 3 ? 3 ? ?3 3 n ?1 ? ?3 ? 3 1? ? ? 3 ? ?
= 2?

? 1 1 1 2n ? 1 ? 4 4 n ? 4 ? ? n ? n?1 ? ? ? n?1 , 3 3 ?3 3 3 ? 3
? Sn ? 2 ? 2n ? 2 3n
2

……………

12 分

20.(1)由余弦定理知, b ? c ? a ? 2bc cos A ,∴ tan A ?
2 2

3 3 ? sin A ? , 2cos A 2

∵ A ? (0, ) ,∴ A=

?

?
3

2

.-----4 分

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共 6 页

2? ? 2? ? ?C ? , ,∴ ? B = 3 6 3 2 2? 2? 2? cos B ? cos C ? cos B ? cos( ? B) ? cos B ? cos cos B ? sin sin B 3 3 3
(2) ∵ ?ABC 为锐角三角形且 B ? C =

1 3 ? = cos B ? sin B ? sin( B ? ) 2 2 6


?
3

? B?

?
6

?

2? 3 ? ,∴ ? sin( B ? ) ? 1 , 3 2 6

即 cos B ? cos C 的取值范围是 (

3 ,1] . …………… 2

12 分

21. 解:由 log2(x+3)+log 1 x≤3 得
2

x?3 ? ?x ? 3 ?3 ?8 3 3 ?log2 ? ?? x ? x≥ ,即 f(x)的定义域为[ ,+∞). x ? 7 7 ?x ? 0 ?x ? 0 ? ? 3 3 ∵f(x)在定义域[ ,+∞)内单调递减,∴当 x2>x1≥ 时,f(x1)-f(x2)>0 恒成立,即 7 7 1 1 1 1 (ax1- +2)-(ax2- +2)>0 ? a(x1-x2)-( - )>0 x1 x2 x1 x2
(a+ ? (x1-x2)
1 )>0 恒成立. x1 x 2 1 1 )>0 ? a+ <0. x1 x 2 x1 x 2

∵x1<x2,∴(x1-x2) (a+ ∵x1x2>

1 9 49 >- , ?- x1 x 2 49 9 1 49 要使 a<- 恒成立,则 a 的取值范围是 a≤- . …………… x1 x 2 9

12 分

22. 解:(1)∵数列

? S ? 是首项为1 ,公差为1 的等差数列,
n

∴ Sn ? 1 ? ? n ? 1? ? n .

∴ Sn ? n 2 .
2

2 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ; 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 .

又 a1 ? 1 适合上式.

∴ an ? 2n ? 1.

…… 4 分

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共 6 页

(2) bn ?

1 1 ? an S2 n?1 ? an?1S2 n?1 ? 2n ? 1? 2n ? 1 ? ? 2n ? 1? 2n ? 1

?

? 2n ? 1?? 2n ? 1? ?

1 2n ? 1 ? 2 n ? 1

?

?

1? 1 1 ? ? ? ? ? ∴ 2n ? 1 ? 2 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1

2n ? 1 ? 2 n ? 1

1? 1 ? 1? 1 1 ? 1? 1 1 ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?1 ? ? ? ?? 2? ? ??? 2 ? ? 2? 3? 5? 2n ? 1 ? ? 3 ? 2n ?1 1? 1 ? 2n ? 1 ? 1 . ? ?1 ? ?? 2? 2n ? 1 ? 2 2n ? 1


2n ? 1 ? 1 2 2n ? 1

?

m * 对任意 n?N 都成立, 2n ? 1 ? 1

得m ?

?

2n ? 1 ? 1

??

2n ? 1 ? 1

2 2n ? 1

??

n * 对任意 n?N 都成立. 2n ? 1

令 cn ?

n cn ?1 ? n ? 1? 2n ? 1 2n3 ? 5n2 ? 4n ? 1 ,则 ? ? ? 1. cn 2n ? 1 n 2n ? 3 2n3 ? 3n2
∴ cn ? cn ?1 ? ? ? c1 ?

∴ cn?1 ? cn .

3 . 3
…… 12 分

∴m ?

3 . 3

∴实数 m 的取值范围为 ? ??,

? ? ?

3? ?. 3 ?

[另法]: cn ?1 ? cn ?

? n ? 1? 2n ? 1 ? n 2n ? 3 n ?1 n ? ? 2n ? 3 2n ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 3?
? 2n3 ? 5n2 ? 4n ? 1 ? 2n3 ? 3n3

? 2n ? 1?? 2n ? 3?
∴ cn ? cn ?1 ? ? ? c1 ?

? 0.

∴ cn?1 ? cn .

3 . 3

∴m ?

3 .. 3

…… 12 分

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