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2000年全国高中数学联合竞赛试卷及参考答案


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2000 年全国高中数学联合竞赛试卷及参考答案
(10 月 15 日上午 8:00?9:40) 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.设全集是实数,若 A={x| x ? 2 ≤0},B={x| 10 x (A){2} (B){?1} ? (D) 2.设 sin?>0,cos

?<0,且 sin
2

?2

= 10 x },则 A ? B 是( (C){x|x≤2} )

)

?
3

>cos

?
3

,则

?
3

的取值范围是( (B)(

4 3 6 3.已知点 A 为双曲线 x2?y2=1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,△ABC 是等边三 角形,则△ABC 的面积是( )
(A)
3 3

? ? ,2k?+ ), k?Z 3 6 5? (C)(2k?+ ,2k?+?),k?Z 6
(A)(2k?+

2k? ? 2k? ? + , + ),k?Z 3 3 6 3

(D)(2k?+

? ,2k?+ ? ) ? (2k?+ 5? ,2k?+?),k?Z

(B)

3 3 2

(C)3 3

(D)6 3 4.给定正数 p,q,a,b,c,其中 p?q,若 p,a,q 是等比数列,p,b,c,q 是等差数列,则一元二次方程 bx2?2ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异 号实根 5 4 5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 y ? x ? 的距离中的最小值是( ) 3 5 (A)
34 170

(B)

34 85

(C)

6.设 ? ? cos

?

5 5 (A)x4+x3+x2+x+1=0 (C) x4?x3?x2+x+1=0

? i sin

?

1 20
)

(D)

1 30

,则以?,?3,?7,?9 为根的方程是(

(B) x4?x3+x2?x+1=0 (D) x4+x3+x2?x?1=0

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.arcsin(sin2000?)=__________. 8.设 an 是(3? x ) n 的展开式中 x 项的系数(n=2,3,4,…),则 lim(
n??

3 2 33 3n ? ??? )=________. a 2 a3 an

9.等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________. x2 y2 10.在椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B.若该椭 a b
5 ?1 ,则∠ABF=_________. 2 11.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个球的体积是________. 12.如果:(1)a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}; (2)a?b,b?c,c?d,d?a; (3)a 是 a,b,c,d 中的最小值,

圆的离心率是

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那么,可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是_________.

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三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) Sn 13.设 Sn=1+2+3+…+n,n?N,求 f(n)= 的最大值. (n ? 32) S n?1 1 13 14.若函数 f ( x) ? ? x 2 ? 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b]. 2 2 2 x y2 15.已知 C0:x2+y2=1 和 C1: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)。试问:当且仅当 a,b 满足什么条件时,对 C1 a b 上任意一点 P,均存在以 P 为项点,与 C0 外切,与 C1 内接的平行四边形?并证明你的结论。

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