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高中立体几何知识点(理科)2012.12.9


立体几何知识点(理科)
一.平行关系
? l

方法二:用线面平行实现。

l // ?

1. 线线平行: 方法一:用线面平行实现。
? m

? ? m // ? ? ? ? // ? l , m ? ? 且相交? ?
二.垂直关系: 2. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。

β α

m

l

l // ? ? ? l?? ? ? l // m ? ? ? ? m? ?
方法二:用面面平行实现。
l β γ α m

l α


? // ? ? ? ? ? ? ? l ? ? l // m ? ? ? ? m? ?
方法三:用线面垂直实现。 若l

l ? AC ? ? l ? AB ? ??l ?? AC ? AB ? A? AC, AB ? ? ? ?
法二:用面面垂直实现。

A

C B

? ? , m ? ? ,则 l // m 。

方法四:用向量方法: 若向量 l 和向量 m 共线且 l、m 不重合,则 l // m 。 2. 线面平行: 方法一:用线线平行实现。
l m α

? ?? ? ? ? ?? ? m ??l ?? l ? m, l ? ? ? ?
2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。

β

l m

α

β

l

l // m ? ? m ? ? ? ? l // ? l ?? ? ?
方法二:用面面平行实现。

l ??? ??? ? ? l ? ??
方法二:计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直:

α

l m α

? // ? ? ? ? l // ? l ? ??
方法三:用平面法向量实现。 若

β α

l

方法一:用线面垂直实现。

l ?? ? ??l ?m m ? ??
方法二:三垂线定理及其逆

n 为平面 ?

n
的一个法向量, 。

l
定理。

P A O

n ? l 且 l ? ? ,则 l // ?

α

3. 面面平行:方法一:用线线平行实现。

PO ? ? ? ? l ? OA ? ? l ? PA l ?? ? ?
三 夹角问题。
l

α

l

? ? ? ? ? ? // ? l , m ? ?且相交 ? l ' , m' ? ?且相交? ? l // l ' m // m'

β α l' m'

m

(一) 异面直线所成的角: (1) 范围: (0?,90?] (2)求法:方法一:定义法。 1

步骤 1:平移,使它们相交,找到夹角。 步骤 2:解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理: cos?

步骤 2:计算线段 PO 的长度。(直接解三角形;等体 积法和等面积法;换点法)

?

a2 ? b2 ? c2 2ab

(计算结果可能是其补角)

(二) 线面角 (1)定义:直线 l 上任取一点 P(交点除外) ,作 PO ?

? 于 O,

连结 AO, 则 AO 为斜线 PA 在面 ? 内的射影,?PAO (图中 ? ) 为直线 l 与面 ? 所成的角。 (2)范围: [0?,90?] 当? 当?

P A θ

? 0? 时, l ? ? 或 l // ? ? 90? 时, l ? ?

α

O

(3)求法:方法一:定义法。步骤 1:作出线面角,并证明。 步骤 2:解三角形,求出线面角。 (三) 二面角及其平面角 (1)定义: 在棱 l 上取一点 P, 两个半平面内分别作 l 的垂线 (射 线) m、 n, 则射线 m 和 n 的夹角 ? 为二面角 ? —l— ? 的平面角。 (2)范围: [0?,180?] (3)求法:方法一:定义法。 步骤 1:作出二面角的平面角(三垂线定理),并证明。 步骤 2:解三角形,求出二面角的平面角。 方法二:截面法。 步骤 1:如图,若平面 POA 同时垂直于平面 ?和? ,则交线(射 线)AP 和 AO 的夹角就是二面角。
β

? ? ? m P n l

步骤 2:解三角形,求出二面角。 四 距离问题。 1.点面距。 方法一:几何法。 步骤 1: 过点 P 作 PO ? 线段 PO 即为所求。
α

P θ O A

P

? 于 O,

? A

O

2


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