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函数的单调性与导数:课件一(26张PPT).ppt


第三章 导数及其应用
y

3.3.1 函数的单调性与导数

o

x

观察下列图象的单调区间,

并求单调区间相应的导数.

图象是单调上升的.

y? ? 1 ? 0

在x∈(-∞,0)内 图象是

单调下降的.

y? ? 2 x ? 0
在x∈( 0,+∞)内 图象是单调上升的.

y? ? 2 x ? 0

图象是单调上升的.

y? ? 3x ? 0(当x ? 0时)
2

在x∈(-∞,0)内
图象是单调下降的. 1 y? ? ? 2 ? 0 x 在x∈( 0,+∞)内

图象是单调下降的.
1 y? ? ? 2 ? 0 x

函数的单调性与其导函数正负的关系: 当函数y=f (x)在某个区间内可导时, 如果 f ?( x) ? 0 , 则f (x)为增函数; 如果 f ?( x) ? 0 , 则f (x)为减函数。

例1、已知导函数 f ?( x ) 的下列信息:
当1<x<4时, f ?( x) ? 0 当x>4,或x<1时, f ?( x) ? 0 当x=4,或x=1时, f ?( x) ? 0 试画出函数f(x)图象的大致形状。

解:由题意可知

y
y ? f ( x)

当1<x<4时, f(x)为增函数 当x>4,或x<1时, f(x)为减函数 当x=4,或x=1时, 两点为“临界点”

o

1

4

x

其图象的大致形状如图。

例2、判断下列函数的单调性,并求出 单调区间: (1) f(x)=x3+3x ; 解: f ?( x) =3x2+3=3(x2+1)>0 从而函数f(x)=x3+3x 在x∈R上单调递增, 见右图。
o

y

x

f ( x) ? x3 ? 3x

(2) f(x)=x2-2x-3 ; 解: f ?( x) =2x-2=2(x-1)>0 当 f ?( x) >0,即x>1时,函数单调递增; 当 f ?( x) <0,即x<1时, 函数单调递减; 图象见右图。
o
1

y

f ( x) ? x 2 ? 2x ? 3

x

(3) f(x)=sinx-x ; x∈(0,p)
解: f ?( x) =cosx-1<0 从而函数f(x)=sinx-x 在x∈(0,p)单调递减, 见右图。
y

o
f ( x) ? sin x ? x

x

(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ; 解: f ?( x) =6x2+6x-24=6(x2+x-4)>0 当 f ?( x) >0,
即 x ? ? 1 ? 17 或x ? ? 1 ? 17
2 2

时,

函数单调递增;

当 f ?( x) <0,

即 ? 1 ? 17 ? 1 ? 17 时, y ?x? 2 2
函数单调递减; 图象见右图。

o

x

练习1:确定下列函数的单调区间: (1) f(x)=x2-2x+4
x<1时,函数单调递减,

x>1时,函数单调递增。 (2) f(x)=3x-x3 x<-1或x>1时,函数单调递减,
-1<x<1时,函数单调递增。

练习2:确定下面函数的单调区间:
f(x)=x/2+sinx;

解: (1)函数的定义域是R, 1 f ?( x ) ? ? cos x . 2

1 2p 2p 令 ? cos x ? 0 ,解得 2kp ? ? x ? 2kp ? (k ? Z ). 2 3 3



1 ? cos x ? 0 2

,解得

2p 4p 2kp ? ? x ? 2kp ? ( k ? Z ). 3 3

因此,f(x)的递增区间是:
2p 2p ( 2kp ? ,2kp ? )(k ? Z ); 3 3

递减区间是:
2p 4p ( 2kp ? ,2kp ? )(k ? Z ). 3 3

练习3、确定下面函数的单调区间:

f(x)=x/2-ln(1+x)+1
解:函数的定义域是(-1,+∞),

? x ?1 10 ? f ?( x) ? 0 ? ? x ?? 由 ? ? f ?( x) ? 0即 ?? x) ,? 0 解得x>1. ? 2(1 2(1 ? x ) , ?1 ? 0 ? ?x ? ? x ? ?1 x ? 1 ? 0 ? ? ?

1 1 x ?1 f ?( x ) ? ? ? . 2 1 ? x 2(1 ? x )

? x ? ?1

故f(x)的递增区间是(1,+∞);

? f ?( x) ? 0 由? 解得-1<x<1, ?x ?1 ? 0 故f(x)的递减区间是(-1,1).

求函数的单调区间的一般步骤:
(1) 求出函数 f(x)的定义域A; (2) 求出函f(x)数的导数 f ?( x) ;
x? A ? (3)不等式组 ? ? f ?( x ) ? 0

的解集为f(x)的单调增区间; (4)不等式组 ? x ? A
? ? f ?( x ) ? 0

的解集为f(x)的单调减区间;

例3、如图,水以常速(即单位时间内注入 水的体积相同)注入下面四种底面积相同 的容器中,请分别找出与各容器对应的水 的高度h与时间t的函数关系图象。

练习4 如图,直线l和圆c,当l从l0开始在 平面上绕点O匀速旋转(旋转角度不超过 90o)时,它扫过的圆内阴影部分的面积S是 时间t的函数,它的图象大致是( )。

小 结:
函数的单调性与其导函数正负的关系 求函数的单调区间的一般步骤


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