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11-12学年高中数学 1.2.1 几个常用的函数的导数同步练习 新人教A版选修2-2


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选修 2-2
一、选择题 1.下列结论不正确的是( A.若 y=0,则 y′=0 B.若 y=5x,则 y′=5 C.若 y=x ,则 y′=-x
-1 -2

1.2

第 1 课时 几个常用的函数的导数

)

[答案]

D

2.若函数 f(x)= x,则 f′(1)等于( A.0 C.2 [答案] D 1 [解析] f′(x)=( x)′= , 2 x 1 1 所以 f′(1)= = ,故应选 D. 2× 1 2 1 B.- 2 D. 1 2

)

1 2 3.抛物线 y= x 在点(2,1)处的切线方程是( 4 A.x-y-1=0 C.x-y+1=0 [答案] A 1 2 [解析] ∵f(x)= x , 4 ∴f′(2)=liΔ x m →0 B.x+y-3=0 D.x+y-1=0

)

f(2+Δ x)-f(2) ?1+1Δ x?=1. =liΔ m ? 4 ? x →0 Δx ? ?

∴切线方程为 y-1=x-2.即 x-y-1=0. 4.已知 f(x)=x ,则 f′(2)=( A.0 C.8
3

)
2

B.3x D.12

-1-

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[答案] D [解析] f′(2)=Δ lim x→0
2

(2+Δ x) -2 Δx

3

3

=Δ lim x→0

6Δ x +12Δ x =Δ lim (6Δ x+12)=12,故选 D. x→0 Δx
α

5.已知 f(x)=x ,若 f′(-1)=-2,则 α 的值等于( A.2 C.3 [答案] A [解析] 若 α =2,则 f(x)=x ,
2

)

B.-2 D.-3

∴f′(x)=2x,∴f′(-1)=2×(-1)=-2 适合条件.故应选 A. 6.函数 y=(x+1) (x-1)在 x=1 处的导数等于( A.1 C.3 [答案] D [解析] ∵y=x +x -x-1 ∴ Δ y (1+Δ x) +(1+Δ x) -(1+Δ x)-1 = Δx Δx
2 3 2 3 2 2

)

B.2 D.4

=4+4Δ x+(Δ x) , ∴y′|x=1=liΔ x m →0 故应选 D. 7.曲线 y=x 在点 P 处切线斜率为 k,当 k=2 时的 P 点坐标为( A.(-2,-8) C.(1,1) [答案] C [解析] 设点 P 的坐标为(x0,y0), ∵y=x ,∴y′=2x.∴k=
2 2 2

Δy 2 =liΔ m [4+4·Δ x+(Δ x) ]=4. x→0 Δx

)

B.(-1,-1) 1? ? 1 D.?- ,- ? 2 8? ?

=2x0=2,

∴x0=1,∴y0=x0=1,即 P(1,1),故应选 C. 8.已知 f(x)=f′(1)x ,则 f′(0)等于( A.0 C.2 [答案] A [ 解析 ] ∵f(x) =f′(1)x ,∴f′(x) =2f′(1)x,∴f′(0)=2f′(1)×0= 0. 故应选
-22 2

)

B.1 D.3

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A. 3 9.曲线 y= x上的点 P(0,0)的切线方程为( A.y=-x C.y=0 [答案] B 3 [解析] ∵y= x 3 3 ∴Δ y= x+Δ x- x = B.x=0 D.不存在 )

x+Δ x-x
3 3 3 2 2 ( x+Δ x) + x(x+Δ x)+( x)



Δx 3 3 3 2 2 ( x+Δ x) + x(x+Δ x)+( x)



Δy 1 = Δx 3 3 3 2 2 ( x+Δ x) + x(x+Δ x)+( x)

∴曲线在 P(0,0)处切线的斜率不存在, ∴切线方程为 x=0. 4 10.质点作直线运动的方程是 s= t,则质点在 t=3 时的速度是( A. 1 4 3 4 3 C. 1 3 4 2 3 [答案] A D. B. 1 3 4 4 3 1 4 3 3 4 )

t+Δ t- t 4 4 [解析] Δ s= t+Δ t- t= 4 4 t+Δ t+ t


t+Δ t-t
4 4 ( t+Δ t+ t)( t+Δ t+ t)



Δt 4 4 ( t+Δ t+ t)( t+Δ t+ t)
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∴liΔ t m →0 Δs 1 1 = = , Δt 4 4 3 2 t·2 t 4 t 1 4 3 二、填空题 11.若 y=x 表示路程关于时间的函数,则 y′=1 可以解释为________. [答案] 某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动 [解析] 由导数的物理意义可知:y′=1 可以表示某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动. 12.若曲线 y=x 的某一切线与直线 y=4x+6 平行,则切点坐标是________. [答案] (2,4) [解析] 设切点坐标为(x0,x0), 因为 y′=2x,所以切线的斜率 k=2x0,又切线与 y=4x+6 平行,所以 2x0=4,解得 x0 =2,故切点为(2,4). 1 2 ? 4? 13.过抛物线 y= x 上点 A?2, ?的切线的斜率为______________. 5 ? 5? [答案] 4 5
2 2

∴s′(3)=

.故应选 A.
3

4

1 2 2 [解析] ∵y= x ,∴y′= x 5 5 2 4 ∴k= ×2= . 5 5 14.(2010·江苏,8)函数 y=x (x>0)的图像在点(ak,ak)处的切线与 x 轴的交点的横坐 标为 ak+1,其中 k∈N ,若 a1=16,则 a1+a3+a5 的值是________. [答案] 21 [解析] ∵y′=2x,∴过点(ak,ak)的切线方程为 y-ak=2ak(x-ak),又该切线与 x 轴 1 1 的交点为(ak+1,0),所以 ak+1= ak,即数列{ak}是等比数列,首项 a1=16,其公比 q= ,∴a3 2 2 =4,a5=1,∴a1+a3+a5=21. 三、解答题 15.过点 P(-2,0)作曲线 y= x的切线,求切线方程. [解析] 因为点 P 不在曲线 y= x上, 1 故设切点为 Q(x0, x0),∵y′= , 2 x ∴过点 Q 的切线斜率为: 1 =
2 2 * 2 2

2 x0

x0 ,∴x0=2, x0+2
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1 ∴切线方程为:y- 2= (x-2), 2 2 即:x-2 2y+2=0. 1 2 16.质点的运动方程为 s= 2,求质点在第几秒的速度为- . t 64 1 [解析] ∵s= 2,

t

1 1 ∴Δ s= 2- 2 (t+Δ t) t =

t2-(t+Δ t)2 -2tΔ t-(Δ t)2 = t2(t+Δ t)2 t2(t+Δ t)2
Δ s -2t 2 2 2 = 2 ,∴t=4. 2=- 3.∴- 3=- Δ t t ·t t t 64

∴liΔ t m →0

2 即质点在第 4 秒的速度为- . 64 1 17.已知曲线 y= .

x

(1)求曲线在点 P(1,1)处的切线方程; (2)求曲线过点 Q(1,0)处的切线方程; 1 (3)求满足斜率为- 的曲线的切线方程. 3 1 1 [解析] ∵y= ,∴y′=- 2.

x

x

1 (1)显然 P(1,1)是曲线上的点.所以 P 为切点,所求切线斜率为函数 y= 在 P(1,1)点导

x

数. 即 k=f′(1)=-1. 所以曲线在 P(1,1)处的切线方程为

y-1=-(x-1),即为 y=-x+2.
1 (2)显然 Q(1,0)不在曲线 y= 上.

x

? 1? 则可设过该点的切线的切点为 A?a, ?, ?
a?
-1 那么该切线斜率为 k=f′(a)= 2 .

a

1 1 则切线方程为 y- =- 2(x-a).①

a

a

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1 -1 将 Q(1,0)坐标代入方程:0- = 2 (1-a).

a

a

1 解得 a= ,代回方程①整理可得: 2 切线方程为 y=-4x+4. 3? ? ? 1? 则切线斜率为 k=- 1 =-1, (3)设切点坐标为 A?a, ?, 解得 a=± 3, 那么 A? 3, ?, 2 a a 3 ? ? 3? ?

A′?- 3,

? ?

3 1 3 1 3? ?.代入点斜式方程得 y- 3 =-3(x- 3)或 y+ 3 =-3(x+ 3).整理得切 -3?

1 2 3 1 2 3 线方程为 y=- x+ 或 y=- x- . 3 3 3 3 1 2 18.求曲线 y= 与 y=x 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积.

x

1 ? ?y= , [解析] 两曲线方程联立得? x ? ?y=x2,

解得?

?x=1 ? ? ?y=1

.

1 ∴y′=- 2,∴k1=-1,k2=2x|x=1=2,

x

∴两切线方程为 x+y-2=0,2x-y-1=0,所围成的图形如上图所示. 1 ? 1? 3 ∴S= ×1×?2- ?= . 2 ? 2? 4

-6-



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