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浙江省宁波市2013届高三十校联考数学(文)试题 Word版含答案


2013 年宁波市高三“十校”联考 数学(文科)
说明:1、本试题卷分选择题和非选择题部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2、请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。<

br />
m ? 1 ? ni , 其中 m, n ? R,i 为虚数 1? i 单位,则 m ? ni ? ( ) A、 1 ? 2i B、 2 ? i C、 1 ? 2i D、 2 ? i
1、 已知 2、如果执行右边的程序框图,那么输出的 S 等于 ( ) A、2550 B、2500 C、2450 D、2652 3、若有直线 m 、 n 和平面 ? 、 ? ,下列四个 命题中,正确的是 ( A、若 m // ? , n // ? ,则 m // n )

B、若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? 则 ? // ? C、若 ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? D、若 ? ? ? , m ? ? , m ? ? ,则 m // ? 4、在 ?ABC 中, sin A (2sin C ? sin A) ? cos A (2cos C ? cos A) 是角 A、B、C 成等差数列的 A、充分非必要条件 C、必要非充分条件 ( B、充要条件 D、既不充分也不必要条件 )

?y ? x ?x ? 2 y ? 4 ? 5、已知实数 x 、 y 满足 ? 则 r 的最小值为( y ? ?2 ? ? ( x ? 1)2 ? ( y ? 1) 2 ? r (r ? 0) ?
A、1 B、 2 C、



4 2 3

D、

5 2 3

6、设 a 、 b ? R? , a ? b, x, y ? (0, ??) ,则

a b a 2 b2 (a ? b)2 ,当且仅当 ? 时,上式 ? ? x y x y x? y
2 9 1 ? ( x ? (0, )) 的 最 小 值 为 x 1? 2x 2
D、16

取 等 号 , 利 用 以 上 结 论 , 可 以 得 到 函 数 f ( x) ? ( ) A、169
2

B、121
2

C、25

7、若方程 x ? 5x ? m ? 0 与 x ? 10 x ? n ? 0 的四个根适当排列后,恰好组成一个首项 1 的等比数列,则 m : n 值为 ( C、2 D、4 )

1 A、 4
8、函数 y ? 于 A、2

1 B、 2

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标之和等 x ?1
( B、3 C、4 D、6 )

9、已知 f ( x) ? 1 ? ( x ? a)( x ? b) ,并且 m, n 是方程 f ( x) ? 0 的两根,则实数 a, b, m, n 的 大小可能是 A、 m ? a ? n ? b C、 a ? m ? b ? n ( B、 m ? a ? b ? n D、 a ? m ? n ? b )

10、直线 l 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F ,且交抛物线于 P, Q 两点,由 P ,Q 分别向 准线引垂线 PR 、 QS ,垂足分别为 R, S ,如果 | PF |? a , | QF |? b , M 为 RS 的中点, 则 | MF |? A、 a ? b B、 ( ) D、

a?b 2

C、 ab

1 ab 2

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11、一个组合体的三视图如图,则其体积为______________ 12、 已知 F ,F2 是椭圆的两个焦点, 满足 MF ? MF2 ? 0 1 1 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 ____________.

???? ???? ? ?

13、若将函数 f ( x) ? ( x ? 1) 表示为 f ( x) ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) ?a3 ( x ? 1)
5

2

3

?a4 ( x ? 1)4 ? a5 ( x ? 1)5 其中 a0 , a1 , a2 , a3 , a4 , a5 为实数,则 a3 ? a4 =_________
14、设数列 {an } 满足: a1 ? a2 ? 1, a3 ? 2 ,且对于任意正整数 n 都有 an an?1an?2 ? 1 ,又

an an?1an?2an?3 ? an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ?? a2013 ?
15、函数 y ? sin( x ? 10?) ? cos( x ? 40?)(x ? R ) 的最大值=______________ 16、已知 O 是 ?ABC 的外心, AB ? 2, AC ? 3 ,若 AO ? xAB ? yAC 且 x ? 2 y ? 1 ,则

??? ?

??? ?

??? ?

cos ?BAC ?
17 、 设 a, b, c ? R , f ( x) ? ( x ? a)(2x2 ? bx ? c), g ( x) ? (ax ? 1)(cx2 ? bx ? 2) 记 集 合

S ? {x | f ( x) ? 0, x ? R} ,T ? {x | g ( x) ? 0, x ? R} ,若 | S | ,| T | 分别为集合 S , T 的元素
个数,则下列 4 个结论中有可能正确的序号是 ① | S |? 1 且 | T |? 0 ② | S |? 1 且 | T |? 1 ③ | S |? 2 且 | T |? 2 ④ | S |? 2 且 | T |? 3

三、解答题:本大题共 5 个小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明或演算过程。 18.(本小题满分 14 分) ?ABC 中内角 A, B, C 所对的边分别是 a , b, c ,且 sin C ? 2sin B (1)若 A ? 60? ,求

a ? ; (2)求函数 f ( B) ? cos(2B ? ) ? 2cos2 B 的值域。 b 3

19.(本小题满分 14 分)等差数列 ?an ? 中, 2a1 ? 3a2 ? 11 , 2a3 ? a2 ? a6 ? 4 ,其前 n 项 和为 Sn . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 Sn ?1 ? 1

,其前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ?

3 (n ? N* ). 4

20.(本小题满分 14 分)如图, ?ABC 中, ?B ? 90? , AB ? 2, BC ? 1, D、 两点分别在线段 E

AD AE ? ? ?, ? ? (0,1) 。现将 ?ABC 沿 DE 折成直二面角 A ? DE ? B 。 AB AC 1 (1)求证:当 ? ? 时, 面ADC ? 面ABE ; (2)当 ? ? (0,1) 时,直线 AD 与平面 ABE 所 2
AB、AC上,满足
成角能否等于 A A

?
6

?若能,求出 ? 的值;若不能,请说明理由。

D

E D

E C C

B

B

21.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ?1nx, x ? (0, e] ,其中 e 是自然对数的底数,

a?R 。
(1)当 a ? 1 时,求函数 f (x) 的单调区间与极值; (2)对于任意的 x ? (0, e] , f ( x) ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围。

22.(本小题满分 15 分)如图,已知圆 C1 : x2 ? ( y ? 1)2 ? 4 和抛物线 C2 : y ? x 2 ? 1 ,过坐标 原点 O 的直线与 C2 相交于点 A、 B ,定点 M 坐标为 (0, ?1) ,直线 MA, MB 分别与 C1 相交于 点 D、E 。 (1)求证: MA ? MB 。

(2)记 ?MAB, ?MDE 的面积分别为 S1、S2 ,若

S1 ? ? ,求 ? 的取值范围。 S2 y

A D

E B

x O

M

2013 年宁波市高三“十校”联考 数学(文科)参考答案
一、选择题: 1 B 二、填空题 (11)20 ? (15)1 (12) 0, ( (16) 2 A 3 D 4 B 5 B 6 C 7 A 8 C 9 B 10 C

2 ) 2

(13)30

(14)4025

3 4

(17) ①②③

三、解答题 18.解: (1) sin C ? 2sin B 即 c ? 2b , 又 ?ABC 中, cos A ?

(2 分)
2 2

b ?c ?a 1 5b ? a ,得 ? 2bc 2 4b 2
2 2 2

(5 分)

a (7 分) ? 3 b 1 1 ? 5 (2) sin B ? sin C ? (0, ),? B ? (0, ) ? ( ? , ? ) (9 分) 2 2 6 6 ? 3 3 ? f ( B) ? cos(2 B ? ) ? 2cos 2 B ? cos 2 B ? sin 2 B ? 1 ? 3 cos(2 B ? ) ? 1 3 2 2 6
解得: (12 分) 所以值域为 (1, ) ? ( , 3 ? 1) 19.解: (1) 2a1 ? 3a2 ? 2a1 ? 3(a1 ? d ) ? 5a1 ? 3d ? 11,

5 2

5 2

(14 分)

2a3 ? a2 ? a6 ? 4 ,即 2(a1 ? 2d ) ? a1 ? d ? a1 ? 5d ? 4 ,
得 d ? 2 , a1 ? 1 , (5分)

an ? a1 ? (n ?1)d ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1 .
⑵ S n ? na1 ?

(7分) (9分)

1 1 n(n ? 1)d ? n ?1 ? n(n ? 1) ? 2 ? n 2 2 2

bn ?
(11分)

1 Sn?1 ? 1

?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ), 2 (n ? 1) ? 1 n ? 2n n(n ? 2) 2 n n ? 2

Tn ? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? ) 2 1 3 2 4 3 5 n ?1 n ? 1 n n ? 2 1 1 1 1 1 3 ( ? ? ? )? (n ? N * ) . 2 1 2 n ?1 n ? 2 4
(14分)

20 、 1 ) 解 : (

AD AE ? ? ? ? DE / / BC ? DE ? AD, DE ? BD , ??ADB 为 二 面 角 AB AC

A ? DE ? B 平面角, ?ADB ?

?
2



(2 分) (4 分)

? AD ? 面BCD, 又? BE ? 面BCD,? AD ? BE
又当 ? ?

2 1 BD BC 1 , DE ? , BC ? 1,即 ? ,??BDE ? ?DBC 时, BD ? 2 2 DE BD 2 ??EBD ? ?DCB,? BE ? DC (6 分)
? BE ? 面ADC , 又BE ? 面ABE,?面ABE ? 面ADC
(7 分) A

(2)连结 BE,过点 D 作 DH ? BE 于 H,连结 AH 过点 D 作 DO ? AH 于 O。

? AD ? BE, BE ? DH ? BE ? 面ADH
O D B H C E

DO ? 面ADH ,? BE ? DO , 又DO ? AH ,? DO ? 面ABE
所以 ?DAO 为 AD 与平面 ABE 所成角 (10 分)

Rt ?ADH 中, tan ?DAO ?

DH , Rt ?BDE 中, DA
2(1 ? ? )?

BD ? 2(1 ? ? ), DE ? ? ? DH ?

? 2 ? 2(1 ? ? )2

, 又 AD ? 2? , 若 ?DAO ?

?
6

,则

(1 ? ? )

? ? 2(1 ? ? )
2

2

?

1 3 ,解得 ? ? 3 2

(14 分)

21.解(1)解:当 a ? 1 时, f '( x) ? 2 x ? 则当 x ? (0,

1 2 x2 ? 1 ? x x

(2 分)

2 2 ) 时 f ( x) 单调递减;当 x ? ( , e) 时 f ( x) 单调递增。 (4 分) 2 2 2 2 1 1 当x? 时, f ( x)极小值 ? f ( ) ? ? ln 2 (6 分) 2 2 2 2 1 2ax 2 ? 1 , x ? (0, e] (2)问题即 f ( x)min ? 3 , f '( x ) ? 2ax ? ? x x

f 1)当 a ? 0时,f '( x) ? 0, f ( x)在(0,e]递减; min ( x) ? f (e)

4 f ( e)? a2e ? 1 ? 3 ? a ? e2
2)当 a ? 0 时, f '( x) ?

,所以 a 无解。

(9 分)

2ax 2 ? 1 1 ?0得x?? x 2a



1 1 ? e,即a ? 2 ,则 f '( x) ? 0, f ( x)在(0,e]递减 , f min ( x) ? f (e) 2a 2e

f (e) ? ae2 ? 1 ? 3 ? a ?


4 e2

,所以 a 无解。

(12 分)

1 1 1 1 ? e,即a ? 2 时,当 x ? (0, ) 时 f ( x) 单调递减;当 x ? ( , e) 时 f ( x ) 单 2a 2e 2a 2a
1 1 e5 1 1 1 ) ? ? ln 2a , ? ln 2a ? 3, 解得a ? 2 2 2 2a 2 2
(15 分)

调递增。 f min ( x) ? f (

?a ?

e5 2

22.解

? y ? kx (1)设直线 AB : y ? kx, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则 ? ? x 2 ? kx ? 1 ? 0 y ? x2 ? 1 ?

(2 分)

???? ???? MA ? MB ? ( x1 , y1 ? 1) ? ( x2 , y2 ? 1) ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1=0

?MA ? MB
(2)设直线 MA : y ? k1 x ? 1; MB : y ? k2 x ? 1, k1k2 ? ?1

(7 分)

? x ? k1 ? y ? k1 x ? 1 ?x ? 0 ? , 解得 ? 或? ? A(k1 , k12 ? 1) ? 2 y ? ?1 ? y ? k12 ? 1 ? ? y ? x ?1 ?
B(k2 , k22 ? 1) S1 ?











1 1 2 MA MB ? 1 ? k12 1 ? k2 k1k2 2 2

(10 分)

4k1 ? ? x ? 1 ? 2k 2 ? y ? k1 x ? 1 ?x ? 0 4k1 2k12 ? 1 ? 1 , 解得 ? 或? ? D( , ) ? 2 2 2 1 ? 2k12 1 ? 2k12 ? y ? ?1 ? y ? 2k1 ? 1 ? x ? ( y ? 1) ? 4 ? 1 ? 2k12 ?
4k 2 2k 2 2 ? 1 , ) 同理可得 E ( 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2 k 2

? S2 ?

16k1k2 1 1 2 MD ME ? 1 ? k12 1 ? k2 2 2 2 (1 ? 2k12 )(1 ? 2k2 )
5 ? 2( 1 ? k12 ) k12 9 ? 16 16

(13 分)

2 S1 (1 ? 2k12 )(1 ? 2k2 ) ?? ? ? S2 16

(15 分)

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