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第二章 2.2 2.2.1~2.2.2 向量加法运算及其几何意义 向量减法运算及其几何意义


2.2

2.2.1 ~ 2.2.2 向量 加法 运算 及其 几何 意义 向量 减法 运算 及其 几何 意义

读教材·填要点
课前预习·巧设计

第 二 章
平 面 向 量

小问题·大思维

平 面 向 量 的 线 性 运 算

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[读教材·填要点]
1.向量加法的定义 求两个向量 和的运算 ,叫做向量的加法. 2.向量加法的运算法则
??? ?
已知非零向量 a、 b, 在平面上任取一点 A, 作 AB 向量 求和 的法 则 =a, BC =b,则向量 AC 叫做 a 与 b 的和,记 三角 作 a+b ,即 a+b= AB + BC = AC . 形法 这种求两个向量和的方法,称为 则 向量加法的 三角形 法则. 对于零向量与任一向量 a 的和有 a+0= 0+a = a

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

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向 量 求 和 的 法 则

平 行 四 边 形 法 则

以同一点 O 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作?OACB,则 以O为起

点的对角线 OC 就是 a 与 b 的和.这种作两个向量 和的方法叫做两个向量加法的 平行四边形法则

??? ?

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3.向量加法的运算律 (1)交换律:a+b=b+a; (2)结合律:a+b+c= (a+b)+c = a+(b+c) . 4.相反向量 与a 长度相等,方向相反 的向量,叫做a的相反向量,记 作 -a . (1)规定:零向量的相反向量仍是 零向量 ; (2)-(-a)= a ; (3)a+(-a)= (-a)+a = 0 ; (4)若a与b互为相反向量,则a= -b ,b=-a ,a+b= 0 .
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5.向量的减法 (1)定义:a-b=a+( -b ),即减去一个 向量相当于加上这个向量的 相反向量 . (2)几何意义:以 O 为起点,作向量 OA =a,

???

??? ??? ? OB =b,则 BA =a-b,如图所示,即 a-b 可表示从 向量b的
终点 指向 向量a的终点 的向量.

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[小问题·大思维] 1.任意两个非零向量相加,是否都可以用向量的平行 四边形法则进行? 提示:不一定.当两向量共线时,不能用平行四边形法

则,只能用三角形法则.
2.若a+b=c+d,则a-c=d-b成立吗?

提示:成立.移项法则对向量等式适用.

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[例 1]

如图,已知正方形 ABCD 的边长

等于 1, AB =a, BC =b, AC =c, 试作以下向量并分别求其模. (1)a+b+c; (2)a-b+c.

??? ?

??? ?

??? ?

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[自主解答] (1)如图,由已知 a+b= AB + BC = AC , 又 AC =c,所以延长 AC 到点 E,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? 使|CE |=| AC |,
则 AE =a+b+c, 且| AE |=2 2.

??? ?

??? ?

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(2)作

??? ?

BF = AC ,则四边形ABFC为平行四边形,

??? ?

∴CF綊AB,又DC∥AB,

∴D,C,F三点共线,且| DF |=2| AB |=2, ∴a-b+c= AB - AD + BF = DB + BF = DF , 且|a-b+c|=| DF |=2.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

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用几何法作两个向量的和或差应注意以下几点: (1)两向量是否共起点; (2)弄清减向量与被减向量; (3)灵活选择加法法则.

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1.如图所示,O 是四边形 ABCD 内 任一点,试根据图中给出的向量,确定 a、b、c、d 的方向(用箭头表示),使 a+b=

???

BA,c-d= DC ,并画出 b-c 和 a+d.

??? ?

解:因为 a+b= BA ,c-d= DC ,

???

??? ?

??? ??? ? ??? ? ??? ? 所以 a= OA ,b= BO ,c= OC ,d= OD ;

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如图所示,作平行四边形OBEC,平行四边形ODFA.根据 ??? ? ??? ? 平行四边形法则可得:b-c= EO ,a+d= OF .

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? ??? ? ??? ? ??? [例 2] 化简:( AB - CD )-( AC - BD )=________. ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? [自主解答] 法一:( AB - CD )-( AC - BD ) ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? = AB - CD - AC + BD ??? ? ??? ? ? ??? ??? = AB + DC + CA + BD ??? ? ??? ? ??? ? ??? =( AB + BD )+( DC + CA ) ??? ? ??? ? = AD + DA=0.

??? ?

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? ??? ? ??? ? ??? 法二:( AB - CD )-( AC - BD ) ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? = AB - CD - AC + BD ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? =( AB - AC )+( DC - DB ) ??? ??? ? = CB + BC =0. 法三:设 O 为平面内任意一点,则有 ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ( AB - CD )-( AC - BD ) ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? = AB - CD - AC + BD ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? =( OB - OA )-( OD - OC )-( OC - OA )+( OD - OB ) ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? = OB - OA - OD + OC - OC + OA + OD - OB =0.
??? ?
[答案] 0

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在进行向量加减法运算时,应熟练掌握以下结论: AB +

??? ?

??? ?

BD = AD ; AB - AC = CB ; MN = ON - OM .可不画出图形

??? ?

??? ?

??? ?

???

????

??? ?

????

直接写出类似的一系列式子.

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2.下列四式中不能化简为 AD 的是

??? ?

(

)

??? ? ??? ? A.( AB + CD )+ BC
B.( AD + MB )+( BC + CM )

??? ?

??? ?

????

??? ?

????

? ??? ??? C. OC - OA + CD
D. MB + AD - BM

??? ?

????

??? ?

????

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? ??? ? ??? 解析:对于 A 有 AB + BC + CD = AD ;
??? ?
??? ?
对于 B 有 AD +( MB + BC )+ CM = AD +( MC + CM )= AD ;

??? ?

????

??? ?

????

??? ?

????

????

??? ?

? ? ??? ? ??? ??? ??? ? ??? 对于 C 有(OC - OA )+ CD = AC + CD = AD ,只有 D 无法化简
??? ?
为 AD . 答案:D

??? ?

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[例3]

在静水中船的速度为20 m/min,水流的速度为

10 m/min,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对 岸,求船行进的方向.

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[自主解答]

作出图形,如图.

船速 v 船与岸的方向成 α 角,由图可知 v 水 +v 船=v 实际,结合已知条件, 四边形 ABCD 为平行四边形, ??? ? ??? ? 在 Rt△ACD 中,|CD |=| AB |=|v 水|=10 m/min, | AD |=|v 船|=20 m/min, ??? ? CD |??? | 10 1 ? ∴cos α= = = , | AD | 20 2 ∴α=60° ,从而船与水流方向成 120° 的角. 故船行进的方向是与水流的方向成 120° 的角的方向.
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??? ?

求解应用题时应先根据已知条件建立数学模型,转 化为数学问题求解.本题实际是向量在物理上的一个简单 应用.先根据三个已知速度(即已知向量)之间的关系,判 断ABCD为平行四边形.因为要求方向,所以要转化为平

面几何中求角度的问题.

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3.设 a 表示向西走 10 km,b 表示向北走 10 3 km,则 a-b 表示 A.向南偏西 30° 走 20 km B.向北偏西 30° 走 20 km C.向南偏东 30° 走 20 km D.向北偏东 30° 走 20 km ( )

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??? ? ??? 解析:如图,作 OA =a, OB =b,
则 BA =a-b.在 Rt△ABO 中,OA=10, OB=10 3, 则 AB=20,∠ABO=30° . 易知向南偏西 30° 行走 20 km.

???

答案:A

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已知任意四边形 ABCD, E 为 AD 的中点, F 为 BC 的中点, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 求证: EF + EF = AB + DC . [证明] 法一: 如图, 在四边形 CDEF 中, EF ? ? ??? ??? ? ??? + FC + CD + DE =0, ??? ? ? ? ??? ??? ? ??? 所以 EF =- FC - CD - DE ? ? ??? ??? ? ??? = CF + DC + ED .

??? ?



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在四边形 ABFE 中, EF + FB + BA + AE =0, 所以 EF = BF + AB + EA. ①+②,得

??? ?

??? ?

???

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?



? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ??? ? ??? EF + EF = CF + DC + ED + BF + AB + EA ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? =( CF + BF )+( ED + EA)+( AB + DC ).

??? ?

??? ?

∵E,F 分别是 AD,BC 的中点, ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ∴ ED + EA=0, CF + BF =0. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴ EF + EF = AB + DC .

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法二:如图,在平面内取点 O, 连接 AO,EO,DO,CO,FO,BO,则 ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? EF = EO + OF = EA+ AO + OB + BF , ∵E,F 分别是 AD,BC 的中点, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴ DE = EA, BF = FC .

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∴ EF + EF = EA+ AO + OB + BF + EA+ AO + OB + BF = DE + AO + OB + FC + EA+ AO + OB + BF =( AO + OB )+( DA+ AO + OB + BC ) = AB +( DO + OC ) = AB + DC .

??? ? ??? ?

??? ?
??? ?

??? ?
??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

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??? ?

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??? ?

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??? ?

??? ?

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??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

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[点评]

(1)本题运用向量的加、减运算解决,而不必

考虑图形是平面图形还是空间图形,体现了向量的优点. (2)本例结论可以看作梯形中位线定理的推广.

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