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温州市2015年高一下期末八校联考 (必修1,2)高一数学试卷参考答案


2015 学年第二学期高一年级数学学科期中测试试卷参考答案
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D

二.填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 9. ( ,?? ) (或 ? x x ?

>3 2

? ?

3 3? ; ( 2,0) ?或x ? ) 2 2?
12. 2? ; 2 3 15. 1

10. ( ,

? 1 3 ) ;? ? 6 2 2

11. 3 ; 14. 2

3 5

13. ?? 3,???

三.解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(Ⅰ) cos B ?

4 3 ? 0,? sin B ? 5 5

??????????2 分

cos C ? cos[ ? ? (

?
4

? B)] ? ? cos(

?
4

? B)

??????????4 分

? ? 2 3 2 4 2 ? ?(cos cos B ? sin sin B) ? ? ? ? ?? 4 4 2 5 2 5 10
(Ⅱ)由(Ⅰ)知道 sin C ?

?????7 分

7 2 10

??????????10 分

a ? 2 2, b ? 5
? S ?ABC ? 1 1 7 2 7 5 ??????????14 分 absin C ? ? 2 2 ? 5 ? ? 2 2 10 5

17.(Ⅰ) m ? n ? m ? n ? 0

a c ? 2 cos C ? ? b ? 0 2 2 1 由正弦定理得: sin A cos C ? sin C ? sin B ? 0 2

??????????2 分

sin B ? sin[? ? ( A ? C )] ? sin( A ? C ) ? sin A cosC ? cos A sin C 代入上式???5 分
1 1 ? sin C ? c o sA ? ?A? 2 2 3 b c a ? ? (Ⅱ)由正弦定理: sin B sin C sin A c o sA s i n C?
??????????7 分

得: b ?

4 3

sin B, c ? 4 3

4 3

sin C ? 4 3

4 3

sin[? ? ( A ? B)] ?

4 3

sin(B ?

?
3

) ?11 分

?l ? a ? b ? c ? 2 ?

sin B ?

sin(B ?

?
3

)

? 2?

4

1 3 3 1 (sin B? sin B? cos B) ? 2 ? 4( s i n B? co s B) 2 2 2 2 3 ????13 分

? 2 ? 4 s i nB (?
?0 ? B ?

?

6

)
?

2? 3

?
6

? B?

?
6

?

5? 6

?

1 ? ? s i nB ( ? ) ?1 2 6

? l ? ?4,6?

????????????????????15 分

18.(Ⅰ) f ( x) ? 4 sin 2 x ? 4 sin x cos(x ?

?
6

) ? 1 ? 4 sin 2 x ? 4 sin x(

3 1 cos x ? sin x) ? 1 2 2

????????????????????2 分

? 4 sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 2 sin 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ? ? 2 sin( 2 x ? ? 2x ?
?0 ? x ? ?
(Ⅱ) g ( x) ?

?
6

)

?
?
6

) ? 1? sin( 2 x ? ? 2k? ?

?
6

)?

?
6

6

或2k? ?

?x ?

?
6

或x ?

?
2

5? (k ? Z ) 6

1 2

??????????4 分 ??????????6 分

?????????????????8 分

1 ? 1 ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x 2 12 2 3

g(?x) ? s i n 2(?x) ? c o 2 s (?x) ? s i n 2x ? c o 2 s x ? g( x)
? g ( x) 为偶函数
???????????????????11 分

g ( x) ? s i n 2x ? c o s 2x ? 1 ? 2 s i n 2x c o s 2x ? 1 ? s i n 4x

? g ( x) 的值域为 1, 2 ???????????????????????15 分
19.(Ⅰ)函数 f ( x) ? e 是一个“Ψ 函数”
x

? ?

由 f (a ? x) ? f (a ? x) ? b 得: e

a? x

e a? x ? b

? e 2a ? b

(或 a ?

1 ln b )???????????????????4 分 2

如: (0,1), (1, e 2 ) 等?????????????????????6 分 (Ⅱ) f ( x) ? sin x 不是“Ψ 函数” ???????????????????7 分 若函数 f ( x) ? sin x 是 “Ψ 函数” 则 sin(a ? x) sin(a ? x) ? b 恒成立??????????????????8 分 由 (sin a cos x ? cosa sin x)(sin a cos x ? cosa sin x) ? b 恒成立 得 sin a cos x ? cos a sin x ? b ?????????10 分
2 2 2 2

sin 2 a cos2 x ? cos2 a(1 ? cos2 x) ? b
cos2 x ? cos2 a ? b
即 cos x ? cos a ? b
2 2

∵ x ? R 则 cos2 x ? [0,1] 而 cos a ? b 为常数,这不可能
2

∴函数 f ( x) ? sin x 不是 “Ψ 函数” ????????????????15 分 另法: (其它方法酌情给分) 即 sin a cos x ? cos a sin x ? b(cos x ? sin x)
2 2 2 2 2 2 2 ?( s i 2 na ? b) c o 2 s x ? ( c o2sa ? b) s i n x ? 0 恒成立
2 ? ?s i n a ? b ?? 2 ? ?c o s a ? ?b

若 b ? 0 ,则 sin a ? cos a ? 0 ,不可能
2 若 b ? 0 ,则 tan a ? ?1 ,不可能

∴函数 f ( x) ? sin x 不是 “Ψ 函数” 20.(Ⅰ) a ? ?1 时, f ( x ) ?

1? x 1? x

?

1? x 1? x

为偶函数???????????1 分

只讨论 0 ? x ? 1 时的单调情况 令t ?

1? x 1? x

(0 ? t ? 1) , t ?

1? x 2 ? ? 1 在 x ? ?0,1? 上单调递减 1? x x ?1

1 y ? t ? 在 t ? ?0,1? 上单调递增 t
∴函数 f ( x) 在 ?0,1? 上单调递减?????????????????3 分 ∵函数 f ( x) 为偶函数 (Ⅱ)令 t ? ∴ f ( x) 在 ?? 1,0? 上单调递增?????4 分

1? x 1? x

,由 ?

1 1 2 ?1 ? ? x ? 得t ? ? 1 ? ? ,1? 2 2 x ?1 ?3 ?

a 1 ( ? t ? 1) t 3 1 由题意得:在区间 [ ,1] 上,恒有 2 y min ? ymax . ??????????6 分 3 1 1 a ①当 0 ? a ? 时, y ? t ? 在 [ ,1] 上单调递增, 9 t 3 1 1 y max ? a ? 1, y min ? 3a ? 由 2 ymin ? ymax ,得 a ? , 3 15 1 1 ? a ? . ?????????????????????????8 分 从而 15 9 1 1 1 a ②当 ? a ? 时, y ? t ? 在 [ , a ] 上单调递减,在 [ a ,1] 上单调递增, 9 3 t 3 1 ? y min ? 2 a , y max ? max{ 3a ? , a ? 1} ? a ? 1 , 3 1 1 由 2 y min ? ymax 得 7 ? 4 3 ? a ? 7 ? 4 3 ,从而 ? a ? ;??????10 分 9 3 1 1 a ③当 ? a ? 1 时, y ? t ? 在 [ , a ] 上单调递减,在 [ a ,1] 上单调递增, 3 t 3 1 1 ? y min ? 2 a , y max ? max{ 3a ? , a ? 1} ? 3a ? , 3 3 ?y ?t?
由 2 y min ? ymax 得

1 7?4 3 7?4 3 ,从而 ? a ? 1 ; ???????12 分 ?a? 3 9 9

a 1 在 [ ,1] 上单调递减, t 3 1 y min ? a ? 1, y max ? 3a ? 3 5 5 由 2 y min ? ymax 得 a ? ,从而 1 ? a ? ;?????????????????14 分 3 3 1 5 ? a ? . ?????????????????????????15 分 综上, 15 3
④当 a ? 1 时, y ? t ? 命题:温州中学 张良兵 13706656159 赵大藏 13600688398 审核:瑞安中学

陈绍淡 13958898692 潘贤冲 13958816843


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