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不等关系和不等式1


不等关系和不等式

? 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系. ? 2.了解不等式(组)的实际背景. ? 3.能用作差法比较大小.

实际生活

长短

轻重

大小

高矮

在数学上
B

AB<AB
A
C

AB+A C>BC
B A

AB-A C<BC

这是某酸奶的质量检查规定
脂肪含量(f) 蛋白质含量(p)

不少于2.5%

不少于2.3%

用数学关系来反映就是:

f≥2.5% p≥2.3%

生活中的不等关系
可以利用不等式表达

生活中的不等关 系
? 公路上的限速标志

同一个不等式可以表 达不同的生活背景!

? 满分120的测验的 得分

构建知识:
一、不等关系与不等式的异同
不等式的定义:含有不等号的式子,叫做不等式。 (1)不等号的种类:>、<、≥(≮)、≤(≯)、≠. (2)不等式研究的范围是实数集R.

不等关系则强调的是关系,可用符号>、<、≥(≮)、≤(≯)、 ≠.表示。 不等关系可以用不等式来表示,离开了不等式,不等关系就无从 体现。

二、用不等式来解决生活中的不等关系问题:

探究课本上问题,思考:
1、不等关系有哪几种类型?

2、建立不等式组要注意哪些问题?

构建知识

不等关系反映在日常生活的方方面面,在教学意义上, 不等关系体现在:

1.常量与常量间的不等关系 2.变量与常量间的不等关系 3.函数与函数之间的不等关系 4.一组变量间的不等关系.

练习1、某种杂志原以每本2.5元的价格销售, 可以售出8万本。据市场调查,若单价每提高 0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提 价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示 销售的总收入仍不低于20万元呢? 分析:若杂志的定价为x元,则销售量减少: x ? 2.5 ? 0.2万 本 因此,销售总收入为: 0.1 x ? 2.5 (8 ? ? 0.2)x万 元 用不等式表示为: 0.1 x ? 2.5 (8 ? ? 0.2)x ? 20 0.1

练习2 、某厂使用两种零件A、B,装配两种产 品甲、乙,该厂的生产能力是月产量甲最多 2500件,月产量乙最多1200件,而组装一件 产品,甲需要4个A,2个B;乙需要6个A,8个 B.某个月,该厂能用的A最多有14000个,B 最多有12000个。用不等式将甲、乙两种产 品产量之间的关系表示出来。
?0 ? x ? 2500 分析:设甲、乙两 ?0 ? y ? 1200 ? 种产品的产量分别 ? ?4x ? 6y ? 14000 为x件、y件。则: ?2x ? 8y ? 12000 ? ? ?x,y ? N

回顾反思

(1)不等关系的丰富多彩决定了不等式的多样性
(2)解决实际问题的常规步骤 抽象、概括

实际问题
刻画

数学问题

(3) 建立模型

不等式

不等关系

那么不等式是否与等式有类似的性质呢?
对于不等式在初中我们已经接触过 ,知道不等式 的基本性质与等式的基本性质是有所不同的 ,为什么 会这样呢? 这一章主要从实数的基本性质及不等式的基本概 念出发 ,一步步系统认识不等式 ,掌握一些不等式 ,从 而为以后进一步学习数学和其它学科运用不等式打好 基础.

首先从实数大小比较说起……

对于任意两个实数 a、b,在 a>b,a = b,a<b 三种关系中有且仅有一种成立.
判断两个实数大小的依据是: a ? b? a?b? 0 作差比较法 a ? b? a?b? 0 a ? b? a?b? 0 这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是 推导不等式的性质的基础. 作差比较法其一般步骤是 :

作差

变形

判断

结论
因式分解、配方、 通分等手段

例 1 比较(a+3)(a-5)与(a+ 2)(a- 4)的大小. 作差 解: ∵ (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4)
? (a 2 ? 2a ? 15) ? (a 2 ? 2a ? 8)

变形

? ?7 ∴ (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4) <0 定符号
∴ (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4)

确定大小

例 2.比较 ( x2 ? 1)2 与 x 4 ? x 2 ? 1 的大小.
解: ∵ ( x2 ? 1)2 ? ( x4 ? x2 ? 1)
? x4 ? 2 x 2 ? 1 ? ( x 4 ? x 2 ? 1) ? x2
2 x ? R ∵ , ∴ x ?0

作差

变形

定符号
确定大小



( x ? 1) ? ( x ? x ? 1)
2 2 4 2

(当x=0时取“=”)

!

对于 " ? "或 " ? "的问题, 既要防止 " ? "的遗漏, 又 要说明何时取到" ? ".

b?m b ? 例 3 已知 a 、 b 、m 都是正数,且 a ? b ,求证: a?m a

b ? m b (b ? m)a ? (a ? m)b 证明: ∵ ? ? a?m a (a ? m)a ab ? ma ? ab ? bm ? (a ? m)a m(a ? b) ? (a ? m)a ∵a、 b 、m 都是正数,且 a ? b ∴ m ? 0, m ? a ? 0, a ? 0, a ? b ? 0
b?m b b?m b ? ? 0∴ ? ∴ a?m a a?m a

作差

变形

定符号
确定大小

探研

请用今天所学的数学知识来 描述生活中“糖水加糖甜更 甜”的现象.

大家观察右图,请问这两个人谁更漂亮?

2 .8 ? 0.51 5 .5

a ? 0.58 b
6.5 5.5 3.8

2.8

探究发现
【探究】为什么芭蕾舞演员在表演时,脚尖立起来给 人以美的享受?

理论依据 一般的人,下半身长与全身长的比值,在 0.57~0.60 之间, 当这个比值越接近黄金分割 值0.618时人的身材就越好.

探究发现
【探究2】日常生活中,还有哪些实例满足上 述结论?

归纳小结
1、一般地,设a,b为正实数,且 a ? b , m ? 0 则有
a?m a ? b?m b

2、比较大小的一般步骤是: 作差 变形 判断符号 下结论

作业:


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