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四川高考理科数学试题2008年--2013年数列解答题


四川高考理科数学试题 2008 年--2013 年数列解答题
3. (2008 年四川高考理科 20 题)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 ban ? 2 ? ? b ? 1? Sn
n

(Ⅰ)证明:当 b ? 2 时, an ? n ? 2n ?1 是等比数列; (Ⅱ)求 ?an ? 的通项公式

?

?

4. (2009 年四川高考理科 20 题)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,对任意的正整数 n ,都有

an ? 5Sn ? 1 成立,记 bn ?

4 ? an (n ? N * ) 。 1 ? an

(I)求数列 ?bn ? 的通项公式;
-1-

* (II)记 cn ? b2 n ? b 2 n? 1 (n ? N ) ,设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证:对任意正整数 n 都

有 Tn ?

3 ; 2

(III)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn 。已知正实数 ? 满足:对任意正整数 n, Rn ? ? n 恒成 立,求 ? 的最小值。

5. (2010 年四川高考理科 20 题) * 已知数列{an}满足 a1=0,a2=2,且对任意 m、n∈N 都有 a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2 (Ⅰ)求 a3,a5; * (Ⅱ)设 bn=a2n+1-a2n-1(n∈N ),证明:{bn}是等差数列; - * (Ⅲ)设 cn=(an+1-an)qn 1(q≠0,n∈N ),求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

-2-

6. (2011 年四川高考理科 20 题) 设 d 为非零实数, an ?

1 1 2 2 n ?1 n ?1 n n (Cn d ? 2Cn d ? ? ? (n ? 1)Cn d ? nCn d ](n ? N * ) n

(1)写出 a1 , a2 , a3 并判断 {an } 是否为等比数列。若是,给出证明;若不是,说明理由; (II)设 bn ? ndan (n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n .

7.(2012 年四川高考理科 20 题) 已知数列 (Ⅰ)求 , 的前 项和为 的值; ,且 对一切正整数 都成立。

(Ⅱ)设 最大值。

,数列

的前 项和为

,当 为何值时,

最大?并求出



8. (2013 年四川高考理科 16 题) 在等差数列

?an ?中, a1 ? a3 ? 8 ,且 a4 为 a2 和 a9 的等比中项,求数列 ?an ?的首项,公差
-3-

及前 n 项和。

四川高考理科数学试题(数列)答案
3. (2008 年四川高考理科 20 题) 解:由题意知 a1 ? 2 ,且 ban ? 2 ? ? b ? 1? Sn , ban ?1 ? 2
n n n ?1

? ? b ? 1? S n ?1

两式相减得 b ? an ?1 ? an ? ? 2 ? ? b ? 1? an ?1 ,即 an ?1 ? ban ? 2n ① (Ⅰ)当 b ? 2 时,由①知 an ?1 ? 2an ? 2n
n ?1 于是 an ?1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2 an ? n ? 2

n

n

n

?

?
n ?1

n ?1 又 a1 ? 1? 2n ?1 ? 1 ? 0 ,所以 an ? n ? 2 是首项为 1,公比为 2 的等比数列。

?

?

(Ⅱ)当 b ? 2 时,由(Ⅰ)知 an ? n ? 2n ?1 ? 2n ?1 ,即 an ? ? n ? 1? 2 当 b ? 2 时,由由①得

an ?1 ?

1 1 1 b ? ? ? 2n ? ? 2n ? b ? an ? ? 2n?1 ? ban ? 2n ? ? 2n ?1 ? ban ? 2?b 2?b 2?b 2?b ? ?
1 1 ? ? 2 ?1 ? b ? n ?b ? 2n ?1 ?? b ? an ? ? 2n ? ? 2?b 2?b 2?b ? ?

因此 an ?1 ?

n ?1 ? 2 ? 得 an ? ? 1 ? 2n ? ? 2 ? 2b ? b n ?1 ? n?2 ? ? ? ?2 ? b
4. (2009 年四川高考理科 20 题) 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 5a1 ? 1,? a1 ? ?

1 4 1 an 4

又 Q an ? 5an ? 1, an ?1 ? 5an ?1 ? 1 ,? an ?1 ? an ? 5an ?1 ,即an ?1 ? ?

1 1 ?数列 ?an ? 成等比数列,其首项 a1 ? ? ,公比是 q ? ? 4 4 1 4 ? (? ) n 1 n 4 ……………………..3 分 ? an ? (? ) ? bn ? 1 n 4 1 ? (? ) 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 4 ?

5 (?4) n ? 1
-4-

? cn ? b2 n ? b2 n ?1 ?

5 5 25 ?16n ? ? 42 n ? 1 42 n ?1 ? 1 (16n ? 1)(16n ? 4)

=

25 ?16n 25 ?16n 25 13 4 ? ? n , 又 b1 ? 3, b2 ? ,? c1 ? n 2 n n 2 (16 ) ? 3 ?16 ? 4) (16 ) 16 3 3

3 2 4 1 1 1 当 n ? 2时,Tn ? ? 25 ? ( 2 ? 3 ? K ? n ) 3 16 16 16 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 2 4 16 ? ? 25 ? 16 1 3 1? 16 1 2 4 69 3 ? ? 25 ? 16 ? ? ......................7分 1 3 48 2 1? 16
当 n ? 1时,T1 ? (Ⅲ)由(Ⅰ)知 bn ? 4 ?

5 (?4) n ? 1
*

一方面,已知 Rn ? ? n 恒成立,取 n 为大于 1 的奇数时,设 n ? 2k ? 1(k ? N ) 则 Rn ? b1 ? b2 ? K ? b2 k ?1 ? 4n ? 5 ? (?

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? K K ? 2 k ?1 ) 4 ? 1 4 ?1 4 ? 1 4 ?1 1 1 1 1 1 ? 4n ? 5 ? [ ? 1 ?( 2 ? 3 ) ? K K ? ( 2k ? 2 k ?1 )] > 4n ? 1 4 ? 1 4 ?1 4 ? 1 4 ?1 4 ?1
1

? ? n ? Rn ? 4n ? 1,即(? ? 4)n ? ?1 对一切大于 1 的奇数 n 恒成立

? ? ? 4, 否则,(? ? 4)n ? ?1 只对满足 n ?

1 的正奇数 n 成立,矛盾。 4??

另一方面,当 ? ? 4 时,对一切的正整数 n 都有 Rn ? 4n 事实上,对任意的正整数 k,有

b2 n ?1 ? b2 n ? 8 ?

5 (?4)
2 k ?1

5 ? 1 (?4) 2 k ? 1 ? 8 ? ?

5 20 ? k (16) ? 1 (16) k ? 4

-5-

? 8?

15 ?16k ? 40 ?8 (16k ? 1)(16k ? 4)

?当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N * )
则 Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? K ? (b2 m?1 ? b2 m ) < 8m ? 4n 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ? 1(m ? N )
*

则 Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? K ? (b2 m?3 ? b2 m?2 ) ? b2 m?1 < 8(m ? 1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n ,?对一切的正整数 n,都有 Rn ? 4n 综上所述,正实数 ? 的最小值为 4………………………….14 分 5. (2010 年四川高考理科 21 题) 解:(1)由题意,零 m=2,n-1,可得 a3=2a2-a1+2=6 再令 m=3,n=1,可得 a5=2a3-a1+8=20……………2 分 * (2)当 n∈N 时,由已知(以 n+2 代替 m)可得 a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8,于是[a2(n+1)+1-a2(n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8 即 bn+1-bn=8,所以{bn}是公差为 8 的等差数列……5 分 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为 b1=a3-a1=6,公差为 8 的等差数列 则 bn=8n-2,即 a2n+=1-a2n-1=8n-2 另由已知(令 m=1)可得 an= 那么 an+1-an=


w_w w. k#s 5_u.c o*m

a2 n ?1 ? a2 n ?1 2

a2 n ?1 ? a1 -(n-1)2. 2 8n ? 2 -2n+1 = -2n+1=2n 2
w_w w. k# s5_u.

于是 cn=2nqn 1. 当 q=1 时,Sn=2+4+6+……+2n=n(n+1) - 当 q≠1 时,Sn=2·q0+4·q1+6·q2+……+2n·qn 1. 两边同乘以 q,可得 qSn=2·q1+4·q2+6·q3+……+2n·qn. - 上述两式相减得 (1-q)Sn=2(1+q+q2+……+qn 1)-2nqn
w_w w. k#s5 _u.c o*m

=2·

1 ? qn 1 ? (n ? 1)q n ? nq n ?1 -2nqn=2· 1? q 1? q
Sn = 2·





nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 (q ? 1) 2











Sn



-6-

? n(n ? 1) (q ? 1) ? …………………………12 分 ? nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 2 ? ( q ? 1) 2 ? (q ? 1) ?
6. (2011 年四川高考理科 20 题)

a1 ? d
解析: (1) a2 ? d ( d ? 1)

a3 ? d ( d ? 1) 2
0 1 2 2 3 n ?1 n an ? Cn d ? Cn d ? Cn d ? ? ? Cn d ? d (1 ? d )n ?1

an ?1 ? d (1 ? d )n an ?1 ? d ?1 an
因为 d 为常数,所以 {an } 是以 d 为首项, d ? 1为公比的等比数列。

bn ? nd 2 (1 ? d )n ?1
(2) Sn ? d 2 (1 ? d )0 ? 2d 2 (1 ? d )1 ? 3d 2 (1 ? d ) 2 ? ?? ? nd 2 (1 ? d ) n ?1

? d 2 [(1 ? d )0 ? 2(1 ? d )1 ? 3(1 ? d ) 2 ? ?? ? n(1 ? d ) n ?1 ](1)
(1 ? d ) Sn ? d 2 [(1 ? d )1 ? 2(1 ? d ) 2 ? 3(1 ? d )3 ? ?? ? n(1 ? d ) n ](2)
(2) ? (1) ? dS n ? ?d [
2

1? (1 ? (1 ? d ) n ) ? d 2 n(1 ? d ) n ? d ? (d 2 n ? d )(1 ? d ) n 1 ? (1 ? d )

? Sn ? 1 ? (dn ? 1)(1 ? d )n
7.(2013 年四川高考理科 21 题)取 n=1,得 a 2 a 1 ? s 2 ? s1 ? 2a1 ? a 2 , 取 n=2,得 a 2 ? 2a1 ? 2a 2 , 又②-①,得 a 2 (a 2 ? a1 ) ? a 2 (1)若 a2=0, 由①知 a1=0, (2)若 a2 ? 0,易知a 2 ? a1 ? 1 , 由①④得: a1 ? ④
2



② ③

2 ? 1, a 2 ? 2 ? 2; a1 ? 1 ? 2 , a 2 ? 2 ? 2; …………………5 分 2 ? 1, a 2 ? 2 ? 2;
2)a n ? s 2 ? s n , (2+ 2 )an-1=S2+Sn-1

(2)当 a1>0 时,由(I)知, a1 ? 当 n ? 2时,有(2 ?

所以,an= 2a n ?1 (n ? 2)
-7-

所以 a n ? a1 ( 2 ) 令 bn ? lg

n ?1

? ( 2 ? 1) ? ( 2 ) n ?1

10a1 1 100 , 则bn ? 1 ? lg( 2 ) n ?1 ? lg n ?1 an 2 2

1 lg 2 为公差,且单调递减的等差数列. 2 10 则 b1>b2>b3>…>b7= lg ? lg 1 ? 0 8 1 100 1 当 n≥8 时,bn≤b8= lg ? lg 1 ? 0 2 128 2
所以,数列{bn}是以 ? 所以,n=7 时,Tn 取得最大值,且 Tn 的最大值为 T7=

( 7 b1 ? b7) 21 ? 7 ? lg 2 …………………………12 分 2 2

8. (2013 年四川高考理科 21 题) 解:设等差数列 由已知得 解得

?an ?的公差为 d ,前 n 项和为 S n ,

2a1 ? 2d ? 8, (a1 ? 3d ) 2 ? (a1 ? d )(a1 ? 8d )


a1 ? 4, d ? 0

a1 ? 1, d ? 3

所以数列

?an ?的通项公式为 an ? 4 或 an ? 3n ? 2

3n 2 ? n Sn ? ?a ? S ? 4n 2 所以数列 n 的前 n 项和 n 或

-8-



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