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湖北省黄梅一中2012-2013学年高二下学期综合适应训练(三)数学(理)试题 Word版含答案


理 科 数 学 试 题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的)
1、某产品的广告词为:“幸福的人们都拥有”。初听起来,这似乎只是普通的赞美说词,然而他的实际 效果大得很。原来这句话的等价命题是 ( ) A.没拥有的人们不一定幸福 B.没拥有的人们可能幸福 C.拥有的人们不一定幸福

D.没拥有的人们不幸福 2、 a ? b ? c ? d "和" a ? b ? e ? f "都是真命题,其逆命题都是假命题, c ? d "是" e ? f "的 若" 则" ( A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分 也非必要条件 3、“ a ? 1 ”是“对任意的正数 x ,不等式 2 x ? A.充分不必要条件 C.充要条件 )

A.

y2 x2 ? ?1 16 9
2 2

B.

x2 y2 ? ?1 16 9

C.

y2 x2 ? ?1 9 16

D.

x2 y2 ? ?1 9 16
2 2 ,

8、 椭圆 mx ? ny ? 1 与直线

y ? ?x ? 1 相交于 A, 两点, B 过原点和线段 AB 中点的直线斜率为

则 n 的值是 (

m



A. 2

2
B. 2

a ? 1 成立”的( x

3 C. 2

3 D. 9

) 9、已知点 P 是抛物线 y 2 = 2x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A 的坐标是 A? ,4 ? ,则

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?7 ?2

? ?

4、设定义在 ( a, b) 上的可导函数 f (x) 的导函数 y ? f ?(x) 的图象如右所示,则 f (x) 的极值点的个数为 ( A.1 5、已知向量 a B.2 C.3 D.4 )

y

y ? f ?(x)
b
O O x

| PA | + | PM |的最小值是 ( A.

) C.

11 2

B.4

9 2

D.5

a
O

10、在 极坐标系中,直线 ? sin(? ? A.相交 B.相离

?
4

)?

2 与圆 ? ? 2 cos ? 的位置关系是 ( 2
C.内切 D.外切



b c 是空间的一个单位正交基底,向量 a ? b

a ?b

c 是空间的另一个基底。若 a ?b c 下的坐标是(


向量 p 在基底 a

b c 下的坐标是 (1, 2, 3) ,则 p 在基底 a ? b 3 1 3 1 , ? 3) A. ( , ? , 3) B. (? , 2 2 2 2 3 1 3 1 , ? 3) C. (? , ? , 3) D. ( , 2 2 2 2
1 ( BD ? BC ) 等于( 2
? ??

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) f ?(2) ? 4 x ,则 f (1) ? 11、 已知 f ( x) ? . x
12、如右图,在二面角 ? ? l ? ? 的棱 l 上有 A , B 两点,直线 AC, BD 分别在 这个二面角的两个半平面内,且都垂直于 AB ,若 则二面角 ? ? l ? ? 的大小为 AB ? 4, AC ? 6, BD ? 8, CD ? 2 17 ,

? C
B A

l

6、已知空间四边形 ABCD,M、G 分别是 BC、CD 的中点,连结 AM、AG、MG,则

?

D (二面角 ? ? l ? ? .

AB ?


? ?? ?? 1 ? D. 2 BC

? ??

的大小等于 AC , BD ) 13、已知两点 A(1,?2,3) , B(2,1,?1) ,则直线 AB 与平面 xOz 的交点坐标为 ) 14、 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点作一条直线交抛物线于 A ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? , 则 B
2

???? ??? ?

A. AG

B. CG

C. BC

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 共焦点,而与曲线 ? ? 1 共渐近线的双曲线方程为 ( 7、与曲线 24 49 36 64



x1 x2 为______. y1 y2

1 ? ?x ? t ? t ? 15、已知曲线 C 的参数方程为 ? ( t 为参数,t ? 0 ) ,则曲线 C 的普通方程是 1 ? y ? 3(t ? ) ? t ?
三、解答题: (本大题共 6 小题,75 分)
16、 (12 分)求函数 f ( x) ? x ? 2 cos x 在区间 [0,

(1)求方向向量为 a ? ?? 1 ? 2? 的平行弦的中点轨迹方程。 (即斜率为 2) 。 (2)过 A(2,1)的直线 L 与椭圆相交,求 L 被截得的弦的中点轨迹方程; (3)过点 P(

1 1 , )且被 P 点平分的弦所在直线的方程。 2 2

?
2

] 上的值域.

20、 (13 分)如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的,其中

AB ? 4, BC ? 2, CC1 ? 3, BE ? 1 ]
17、 (12 分)某厂生产某种产品 x 件的总成本 c ( x ) ? 1200 ? 品 件数 x 成反比,生产 100 件这样的产品单价为 50 万元,问产量定为多少件时工厂所获得的总利润 最大?

2 3 x (万元) ,已知产品单价的平方与产 75

(Ⅰ)求 BF 的长; (Ⅱ)求面 AEC1F 与底面 ABCD 所成二面角的余弦值 (Ⅲ)求点 C 到平面 AEC1F 的距离.

21、 (14 分)如图,线段 MN 的两个端点 M.N 分别在 x 轴.y 轴上滑动, MN ? 5 ,点 P 是线段 18、 (12 分)在如图所示的几何体中, AE ? 平面 ABC,CD//AE, F 是 BE 的中点,AC=BC=1, ?ACB ? 90?, AE ? 2CD ? 2. (1)证明 DF ? 平面 ABE; (2)求二面角 A—BD—E 的余弦值。 MN 上一点,且 MP ?

2 PN ,点 P 随线段 MN 的运动而变化. 3

y N P O M x

(1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点(2,0)作直线 l ,与曲线 C 交于 A.B 两点,O 是坐标 原点,设 OS ? OA ? OB, 是否存在这样的直线 l ,使四边形 OASB

的对角线相等(即 | OS |?| AB | )?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,试说明理由.

19、 (12 分)已知椭 圆 ?

? x ? 2 cos? ? y ? sin ?



参考答案
题号 答案 1 D
36 5
? p 4

2 B

3 A

4 C

5 A

6 A

7 A
( 5 3 0 1 ) 3

8 B

9 C

10 B

11
14

12 600
15

13

y ? 3x 2 ? 6
2 6

? ? 16. 解? f ?( x) ? 1 ? 2 sin x ,由于 x ? [0, ] ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? ,
? ?? ?? ? ? 则 f (x) 在 ?0, ? 上递增,在 ? , ? 上递减, ? 6? ?6 2?

? ? ? ? ? 则 f ( x) max ? f ( ) ? 3 ? ,又 f (0) ? 2 , f ( ) ? ,则 f ( x ) min ? , 6 6 2 2 2

?? ?? 从而 f ( x) ? ? , 3 ? ? 6? ?2
17.解:设产品单价为 t ,由条件知, t ?
k x



而 x ? 100 时, t ? 50 以此代入解得 k ? 500 , 从而总利润 y ?
250 x 500 x ? x ? c( x) ? 500 x ? 1200? 2 3 x , 75

y? ?

?

2 2 x ,令 y ? ? 0 ,得 x ? 25 , 25
2650 (万元) 3

易知此函数在 x ? 25 时取得最大值

1 8.解:以 C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系。
则 A(1,0,0) ,B(0,1,0) ,C(0,0,0) ,D(0,0,1) , E(1,0,2) ,F(

1 1 , ,1) 2 2

(1) DF ? AB ? ? ,

?1 ?2

1 ? , 0 ? ? ?? 1, 1, 0? ? 0 2 ?

? DF ? AE , DF ? AB ,而 AE ? AB ? A

? DF ? 面ABE

(6 分)

(2)由(1)知, BD ? (0,?1,1) , AB ? (?1,1,0) , BE ? (1,?1,2) 可求得,平面 ABD 的一个法向量是 n1 ? (1,1,1) ;平面 BDE 的一个法向量是 n2 ? (?1,1,1)

设二面角 A-BD-E 的大小为 ? ,则 cos? ?

n1 ? n 2 n1 n2

?

1 3

故二面角 A-BD-E 的余弦值是

1 。 3

19. 解(1)设这些平行弦的方程为 y=2x+m,弦的中点为 M(x,y). x2 ? y2 ? 1 联立直线方程和椭圆方程 :y=2x+m, 2
消去 y 得,

9 x2 ? 8mx ? 2(m2 ? 1) ? 0 , 8 因此 x1 ? x2 =- m , ? ? 64m2 ? 72(m2 ? 1) ? 72 ? 8m2 ? 0,??3 ? m ? 3 . 9 4 1 4 4 M 的坐标是:x= ? m ,y=2x+m, ?3 ? m ? 3 ,消去 m 得 y= ? x , ? ? x ? . 9 4 3 3 (2)设弦的端点为 P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ),其中点是 M(x,y).
? x12 2 ? 2 ? y1 ? 1 y ?y x ?x x ? ? k PQ ? 2 1 ? ? 2 1 ? ? ? 2 x2 ? x1 2( y2 ? y1 ) 2y ? x2 ? y 2 ? 1 2 ? 2 ? y ?1 k AM ? , k AM ? k PQ x?2 y ?1 x 因此: =? , x?2 2y

x2 2 化简得: x ? 2 x ? 2 y ? 2 y ? 0 (去除包含在椭圆 2 ? y ? 1 内部的 部分). 1 x (3)由(2)可得弦所在直线的斜率为 k= ? = ? ,因此所求直线方程是: 2 2y 1 1 1 y- ? =- (x- ),化简得:2x+4y-3=0. 2 2 2
2 2

2 0. 解: (I)建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) ,
B(2, 4,0) A(2,0,0), C(0, 4,0), E(2, 4,1), C1 (0, 4,3) 设 F (0,0, z) .
∵ AEC1F 为平行四边形,

?由AEC1 F为平行四边形 , ?由AF ? EC1得, (?2,0, z ) ? (?2,0,2), ? z ? 2. ? F (0,0,2). ? EF ? (?2,?4,2). 于是 | BF |? 2 6 , 即BF的长为2 6 .

(II)设 n1 为平面 AEC1F 的法向量, 显然n1不垂直于平面 ADF, 故可设n1 ? ( x, y,1)

?n1 ? AE ? 0, ?0 ? x ? 4 ? y ? 1 ? 0 ? 由? 得? ?n1 ? AF ? 0, ?? 2 ? x ? 0 ? y ? 2 ? 0 ?
? x ? 1, ?? ?? ? ?4 y ? 1 ? 0, ? 1 即? ?? 1 n1 ? (1, ? 4 ,1) n2 ? (0,0,1) 为平面 ABCD 的法向量, ?? 2 x ? 2 ? 0, ? y ? ? . 4 ?

4 33 4 33 ? ? cos n1 , n2 ? 所以面 AEC1F 与底面 ABCD 所成二面角的余弦值为 (8 分) 33 33 ?? (Ⅲ)由上一问求得 n1 ? (1, ? 1 ,1) 又CC1 ? (0,0,3),设CC1与n1 的夹角为 ? ,则 4
cos? ? CC1 ? n1 | CC1 | ? | n1 | ? 3 3? 1? 1 ?1 16 ? 4 33 . 33

∴ C 到平面 AEC1F 的距离 为 d ?| CC1 | cos? ? 3 ?

4 33 4 33 ? . 33 11
13 分

???? ?? ? CC1 ? n1 ?? (d ? | n1 |

?

3 4 33 ? .) 11 1 1? ?1 16

2 2 21. 解: (1)设 M ( x0 ,0), N (0, y0 ) ,P(x , y) 因为 MN ? 5 ,所以 x0 ? y0 ? 25

(*)

又点 P 是线段 MN 上一点,且 MP ?

2 PN 3

即 ?x ? x0 , y ? ?

2 ( ? x, y 0 ? y ) 3

2 ? ? x ? x0 ? ? 3 x ?? 2 ? y ? ( y0 ? y) 3 ?

5 ? ? x0 ? 3 x ? ?? ?y ? 5 y ? 0 2 ?

将其代入(*)得

x2 y2 ? ? 1 即为所求的方程…… 6 分 9 4

(2) OS ? OA ? OB ,所以四边形 OASB 为平行四边形,若存在 l 使得| OS |=| AB |, 则四边形 OASB 为矩形? OA ? OB ? 0 若 l 的斜率不存在,直线 l 的方程为 x=2,由
?x ? 2 ?x ? 2 ? 2 ? 2 得? ?x y 2 5 ?1 ?y ? ? ? ? 4 ?9 3 ?

? OA ? OB ?

16 ? 0, 与OA ? OB ? 0 矛盾,故 l 的斜率存在. …………8 分 9

设 l 的方程为 y ? k ( x ? 2), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

? y ? k ( x ? 2) ? 由? x 2 y 2 ? (9k 2 ? 4) x 2 ? 36k 2 x ? 36(k 2 ? 1) ? 0 ?1 ? ? 4 ?9
36k 2 36(k 2 ? 1) ? x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 9k ? 4 9k 2 ? 4


y1 y2 ? [k ( x1 ? 2)][k ( x2 ? 2)] ? k 2 [ x1 x2 ? 2( x1 ? x 2 ) ? 4] ? ?

20k 2 ②…11 分 9k 2 ? 4

把①.②代入 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0得k ? ?

3 2

∴存在直线 l : 3x ? 2 y ? 6 ? 0或3x ? 2 y ? 6 ? 0 使得四边形 OASB 的对角线相等


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