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四川省成都七中2011-2012学年高二下学期期中考试数学(理)试题


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成都七中 2011-2012 学年高二下学期期中考试数学(理)试题
考试时间:120 分 总分:150 分

(请将选择题的选项填在机读卡 上,填空题及解答题的作答写在答题卷 上) ... ... 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1、现有以下两项调查:①某校高二年级共有 15 个班,现从中选择 2 个班,检查其清洁卫生 状况;②某市有大型、中型与小型的商店共 1500 家,三者数量之比为 1∶5∶9.为了调 查全市商店每日零售额情况,抽取其中 15 家进行调查.完成①、②这两项调查宜采用的 抽样方法依次是( ▲ ) A. 简单随机抽样法,分层抽样法 B. 系统抽样法,简单随机抽样法 C.分层抽样法,系统抽样法 D.系统抽样法,分层抽样法 2、不等式 2 x ? 1 ? 3 的解集为( ▲ ) A. (?1,2) B. (??, ?1) ? (2, ??) C. (??, ?2) ? (1, ??) D. (?2,1)

3、命题“ ?x0 ? R, f ( x0 ) ? 0 ”的否定是( ▲ ) A. ?x0 ? R, f ( x0 ) ? 0 C. ?x ? R, f ( x) ? 0 B. ?x ? R, f ( x) ? 0 D. ?x ? R, f ( x) ? 0

4、已知 a, b, c ? R ,且 c ? 0 ,则下列命题正确的是( ▲ )

a b ? c c 1 1 C.如果 a ? b ,那么 ? a b
A. 如果 a ? b ,那么

B. 如果 ac ? bc ,那么 a ? b D.如果 ac 2 ? bc 2 ,那么 a ? b

5、在投掷两枚硬币的随机试验中, 记“一枚正面朝上,一枚反面朝上” 为事件 A , “两枚 正面朝上” 为事件 B ,则事件 A , B ( ▲ ) A. 既是互斥事件又是对立事件 C.既非互斥事件也非对立事件 B. 是对立事件而非互斥事件 D.是互斥事件而非对立事件

6、若函数 f ( x) ? x3 ? 3ax 在 R 上单增,则 a 的取值范围为( ▲ ) A. [0, ??) B. (0, ??) C. (??,0] D. (??,0)

7、根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20~80 mg/100mL(不含 80)之间,属于酒后驾车;血液酒精浓度在 80mg/100mL(含 80)以上 时,属醉酒驾车。据有关报道,2012 年 3 月 15 日至 3 月 28 日间,某地区查处酒后驾车 和醉酒驾车共 500 人,右图为对这 500 人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布 直方图,则属于醉酒驾车的人数为( ▲)

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A. 25

B.50

C.75

D.100

8、不等式 a ? b ? a ? 1 ? b ? 1 取等号的条件是( ▲ ) A. (a ? 1)(b ? 1) ? 0 C. (a ? 1)(b ? 1) ? 0 B. (a ? 1)(b ? 1) ? 0 D. (a ? 1)(b ? 1) ? 0
2 2 3 3

9、下列四个条件中,使 a ? b 成立的充分不必要条件是( ▲ ) A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1 C. a ? b D. a ? b 10、若 a, b, c ? R? , 且a ? b ? c ? 6 ,则 lg a ? lg b ? lg c 的取值范围是( ▲ ) A. (??,lg 6] B. (??,3lg 2]
?

C. [lg 6, ??)

D. [3lg 2, ??)

11、直线 l 与函数 y ? x (? ? 0) 的图象切于点 (1,1) ,则直线 l 与坐标轴所围成三角形的面积

S 的取值范围为( ▲ )
A. (0, 4] B. (0, 2] C. [4, ??) D. [2, ??) 12、如右下图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液体,经过 3 分钟漏完,已知圆柱中液面上升的速度是一个常量,H 是圆锥形漏斗中液面下落的距 离,则 H 与下落时间 t 的函数关系表示的图象只可能是( ▲ )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)

1 22 13、在茎叶图 2 0 4 5 中,样本的中位数为 33
14、已知函数 f (? ) ?



,众数为



.

sin ? ,则 f ?(0) ? 2 ? cos ?



.

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15、已知 a, b, c ? R? ,若

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▲ .

1 1 1 k ? ? ? ,则 k 的最大值为 a b c a?b?c

16、函数① f ( x) ? 2 x ? 1,② f ( x) ? 中,满足条件“ ?x0 ? R, f ?( x0 ) ? (写出所有正确的序号)

x ,③ f ( x) ? x2 ? x ? 1 ,④ f ( x) ? ex ,⑤ f ( x) ? x3
f ( x0 ? 1) ? f ( x0 ? 1) ”的有 2
▲ .

三、解答题(本大题共 6 小题,17~21 题每题 12 分,22 题 14 分,共 74 分.解答应写出文 字说明,证明过程或演算步骤) 17、在区间 [0,6] 内任取两个数(可以相等) ,分别记为 x 和 y , (1)若 x 、 y 为正整数,求这两数中至少有一个偶数的概率; (2)若 x 、 y ? R ,求 x 、 y 满足 x 2 ? y 2 ? 16 的概率.

18、设 f ( x) ? x ? 2 ? x ? 2 , (1)证明: f ( x) ? 4 ; (2)解不等式 f ( x) ? x ? 2 x ? 4 .
2

19、如图,已知球的半径为定值 R ,球内接圆锥的高为 h(h ? R) ,体积为 V , (1)写出以 h 表示 V 的函数关系式 V (h) ; (2)当 h 为何值时, V (h) 有最大值,并求出该最大值.

20、已知 x ? 1 为奇函数 f ( x ) ? (1)求 f ( x) 的解析式;
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1 3 ax ? bx 2 ? (a 2 ? 6) x 的极大值点, 3

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(2)若 P(m, n) 在曲线 y ? f ( x) 上,证明:过点 P 作该曲线的切线至多存在两条.

21、设 f ( x) ? [ x2 ? (t ? 3) x ? 2t ? 3] ? e x , t ? R (1)若 f ( x) 在 R 上无极值,求 t 值;

2] 上的最小值 g (t ) 表达式; (2)求 f ( x) 在 [1,
2] ,均有 m ? f ( x) 成立,求 m 的取值范围. , ? ?) ,任意的 x ? [1, (3)若对任意的 t ? [1

22、已知函数 f ( x) ? ln(1 ? 2 x) ? 2 x ? ax2 , (1)若 a ? 1 ,求 f ( x) 的单调区间; (2)若函数 f ( x) 存在两个极值点,且都小于 1,求 a 的取值范围; (3)若对 f ( x) 定义域内的任意 x ,不等式 f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

成都七中 2011-2012 学年下期 2013 级半期考试数学(理)参考答案

三、解答题(本大题共 6 小题,17~21 题每题 12 分,22 题 14 分,共 74 分) 17、 (本题满分 12 分) 解:(1)当 x, y 为正整数,同时抛掷两枚骰子,等可能性的基本事件共 36 个,如下:

?1,1? 、 ?1,2? 、 ?1,3? 、 ?1,4? 、 ?1,5? 、 ?1,6? ; ?2,1? 、 ?2,2? 、 ?2,3? 、 ?2,4? 、?2,5? 、?2,6? ; ?3,1? 、?3,2? 、?3,3? 、?3,4? 、?3,5? 、?3,6? ; ?4,1? 、?4,2? 、?4,3? 、?4,4? 、?4,5? 、?4,6? ; ?5,1? 、?5,2? 、?5,3? 、?5,4? 、?5,5? 、?5,6? ; ?6,1? 、?6,2? 、?6,3? 、?6,4? 、?6,5? 、?6,6? .
记“两个数 x, y 中至少有一个为偶数”为事件 A, 包含上述基本事件的个数为 27, 由古典概 型可知 P ( A) ?
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27 3 ? . 36 4

?? 6 分

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?0 ? x ? 6 ?0 ? x ? 6 ? (2)当 x, y ? R 时, 记事件总体为 ? , 所求事件为 B, 则有 ? : ? , B: ?0 ? y ? 6 , ?0 ? y ? 6 ? x 2 ? y 2 ? 16 ?
? 对应的区域为正方形,其面积为 36 ,B 对应的区域为四分之一圆,其面积为 4? ,由
几何概型可知 P ( B ) ? 18、 (本题满分 12 分) 解:(1) ? x ? 2 ? x ? 2 ? x ? 2 ? 2 ? x ? ( x ? 2) ? (2 ? x) ? 4 ,? f ( x) ? 4 . (2)当 x ? ?2 时, f ( x) ? ?2x ? x2 ? 2x ? 4 ,解集为 ? ; 当 ? 2 ? x ? 2 时, f ( x) ? 4 ? x 2 ? 2x ? 4 ,解集为 [0, 2] ; 当 x ? 2 时, f ( x) ? 2 x ? x 2 ? 2x ? 4 ,解集为 ? . 综上所述, f ( x) ? x2 ? 2 x ? 4 的解集为 [0, 2] . 19、 (本题满分 12 分) 解:(1)连接 OC ,设 O?C ? r ,有 OC ? R , O?O ? h ? R ,则有

4? ? ? . 36 9

??12 分

?? 5 分 ?? 7 分 ?? 9 分

??11 分 ??12 分

(h ? R)2 ? r 2 ? R2 ,即 r 2 ? 2Rh ? h2 .

??3 分

1 1 2? Rh2 ? h3 V (h) ? ? r 2 h ? ? (2Rh ? h 2 )h ? ? ( R ? h ? 2R) 3 3 3 3
?? 6 分
(2) V (h) ?

1 1 4 R ? 2h ? h ? h 3 32 ? (4 R ? 2h) ? h ? h ? ? ( ) ? ? R3 6 6 3 81 4 32 R 时, V (h) max ? ? R 3 . 3 81

??10 分

不等式取等条件为 4 R ? 2h ? h ,即当 h ? 20、 (本题满分 12 分)

??12 分

解:(1) f ( x) 为奇函数,故 b ? 0 . f ?( x) ? ax2 ? a2 ? 6 .

? ?2 分 ? ?4 分

f ?(1) ? a ? a2 ? 6 ? 0 ,得 a ? ?3 或 a ? 2 .
当 a ? 2 时, x ? 1 为 f ( x) 的极小值点,与已知矛盾,舍去. 故 f ( x) ? ? x3 ? 3x .
3 (2)由(1)知 n ? ?m3 ? 3m ,设切点为 ( x0 , ? x0 ? 3x0 ) ,则切线方程为 3 2 y ? (? x0 ? 3x0 ) ? (?3x0 ? 3)( x ? x0 ) . 3 2 ? 3x0 ) ? (?3x0 ? 3)(m ? x0 ) , P 点在切线上,有 (?m3 ? 3m) ? (?x0 3 2 ?(m3 ? x0 ) ? 3(m ? x0 ) ? (?3x0 ? 3)(m ? x0 ) ,

?? 6 分

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2 2 ?(m ? x0 )(m2 ? mx0 ? x0 ) ? 3(m ? x0 ) ? (?3x0 ? 3)(m ? x0 ) , 2 ( x0 ? m)(2x0 ? mx0 ? m2 ) ? 0 ,



( x0 ? m) 2 ( x0 ?

?m ) ? 0. 2

??10 分

当 m ? 0 时, x0 ? 0 ,此时原曲线仅有一条切线; 当 m ? 0 时, x0 ? m 或 x0 ? ? 原命题获证.

m ,此时原曲线有两条切线. 2

??12 分

21、 (本题满分 12 分) 解: f ?( x) ? ( x ? 1)(x ? t ) ? e x . (1)函数 f ( x) 在 R 上无极值,则方程 ( x ? 1)( x ? t ) ? 0 有等根,即 t ? 1 . (2)当 t ? 1 时, x ? (1,2) , f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 [1,2] 上单调递增, 则 f ( x)min ? f (1) ? (t ? 1) ? e . 当 1 ? t ? 2 时, x ? (1, t ) , f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 [1, t ] 上单调递减;

? ?2 分

??3 分

x ? (t ,2) , f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (t ,2] 上单调递增,
则 f ( x)min ? f (t ) ? (3 ? t ) ? et . 当 t ? 2 时, x ? (1,2) , f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 [1,2] 上单调递减, 则 f ( x)min ? f (2) ? e2 .

?? 5 分

?? 6 分

?(t ? 1) ? e, t ? 1, ? t 综上, g (t ) ? ?(3 ? t ) ? e , 1 ? t ? 2, ?e 2 , t ? 2. ?
, ? ?) , m ? g (t ) ,即 m ? g (t )min , t ? [1, ??) . (3)问题等价于: ?t ? [1
当 t ? 1 时, g (t ) ? 2e ;

?? 7 分

??8 分

当 1 ? t ? 2 时, g ?(t ) ? (2 ? t ) ? et ? 0 ,故 g (t ) 在 (1,2) 上单增,且 g (t ) 的图象连续不断, 有 2e ? g (1) ? g (t ) ? g (2) ? e2 ;
2 当 t ? 2 时, g (t ) ? e .

??10 分

??11 分 ??12 分
x(2 x ? 1) 1 (x ? ? ) . 1 ? 2x 2

综上, m ? 2e . 22、 (本题满分 14 分) 解:(1)若 a ? 1 时, f ( x) ? ln(1 ? 2x) ? 2x ? x2 , f ?( x) ? 2

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1 2 1 2

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1 2 1 2

当 x ? ( ? ,0) ?( , ??) , f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 的单调递增区间为 ( ? ,0) 和 ( , ??) ; 当 x ? (0, ) , f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 的单调递减区间为 (0, ) .

1 2

1 2

? ?2 分

1 1 2ax[ x ? ( ? )] a 2 , 且 1 ? 1 ? ? 1 . 当 x ? ( ? 1 ,0) , (3) 1 若 a ? 0 , 则 f ?( x) ? 2 ? 2 a 2 2 1 ? 2x
?

f ?( x) ? 0 ,f ( x) 单增; 当 x ? (0, ??) ,f ?( x) ? 0 ,f ( x) 单减, 则 f ( x)max ? f (0) ? 0 .
故 f ( x) ? f ( x)max ? 0 ,满足题设.

2 ? 若 a ? 0 ,则 f ?( x) ?

1 ?4 x .当 x ? ( ? ,0) , f ?( x) ? 0 , f ( x) 单增;当 x ? (0, ??) , 2 1 ? 2x

f ?( x) ? 0 , f ( x) 单减,则 f ( x)max ? f (0) ? 0 .
故 f ( x) ? f ( x)max ? 0 ,满足题设.

??8 分

3 ? 若 a ? 2 ,当 x ? (0, ??) 时,则 2ax2 ? (2 ? a) x ? 0 , f ?( x) ? 0 , f ( x) 单增,
故 f ( x) ? f (0) ? 0 ,不满足题设. 先证不等式 ln(1 ? t ) ?

?? 9 分 ??10 分

t 恒成立,证略. t ?1

令 t ? 2 x ,则有 f ( x) ? ln(1 ? 2 x) ? 2 x ? ax 2 ?

2x 2ax 2 4?a ? 2 x ? ax 2 ? (x ? ). 2x ? 1 2x ? 1 2a

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