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2015年高中数学作业第8篇 第1讲直线与方程


第八篇
第1讲

解析几何
直线与方程

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.直线 3x-y+a=0(a 为常数)的倾斜角为 A.30° C.150° 解析 答案 B.60° D.120° ( ).

直线的斜率为 k=tan α= 3,又因为 α∈[0,π),所以 α=60° . B ( ).

3 2.已知直线 l 经过点 P(-2,5),且斜率为-4.则直线 l 的方程为 A.3x+4y-14=0 C.4x+3y-14=0 解析 B.3x-4y+14=0 D.4x-3y+14=0

3 由点斜式,得 y-5=-4(x+2),

即 3x+4y-14=0. 答案 A

3.若直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1 在 x 轴上的截距为 1,则实数 m 是 ( A.1 1 C.-2 解析 B.2 1 D.2 或-2 ).

3 由题意可知 2m2+m-3≠0,即 m≠1 且 m≠-2,在 x 轴上截距为

4m-1 1 =1,即 2m2-3m-2=0,解得 m=2 或-2. 2 2m +m-3 答案 D

4.(2014· 佛山调研)直线 ax+by+c=0 同时要经过第一、第二、第四象限,则 a, b,c 应满足 A.ab>0,bc<0 C.ab<0,bc>0 解析 B.ab>0,bc>0 D.ab<0,bc<0 ( ).

c c 由题意,令 x=0,y=-b>0;令 y=0,x=-a>0.即 bc<0,ac<0,从

而 ab>0. 答案 A

5.(2014· 郑州模拟)直线 l 经过点 A(1,2),在 x 轴上的截距的取值范围是(-3,3), 则其斜率的取值范围是 1? ? A.?-1,5? ? ? ?1 ? C.(-∞,1)∪?5,+∞? ? ? 1? ? B.?-∞,2?∪(1,+∞) ? ? ?1 ? D.(-∞,-1)∪?2,+∞? ? ? ( ).

解析

设直线的斜率为 k,如图,过定点 A 的直线经过点 B 时,直线 l 在 x

轴上的截距为 3,此时 k=-1;过定点 A 的直线经过点 C 时,直线 l 在 x 轴 1 的截距为- 3,此时 k=2,满足条件的直线 l 的斜率范围是(- ∞ ,-1)∪ ?1 ? ?2,+∞?. ? ? 答案 D

二、填空题 6.(2014· 长春模拟)若点 A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则 a 的值为________. 解析 ∵kAC= 5-3 a-3 =1,kAB= =a-3. 6-4 5-4

由于 A,B,C 三点共线,所以 a-3=1,即 a=4. 答案 4

7.(2014· 温州模拟)直线 3x-4y+k=0 在两坐标轴上的截距之和为 2,则实数 k =________. 解析 k k 令 x=0,得 y=4;令 y=0,得 x=-3.

k k 则有4-3=2,所以 k=-24. 答案 -24

8.一条直线经过点 A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1,则此直 线的方程为________. 解析 x y 设所求直线的方程为a+b=1,

2 2 ∵A(-2,2)在直线上,∴-a+b=1.① 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为 1, 1 ∴2|a|· |b|=1.② ?a-b=1, ?a-b=-1, 由①②可得(1)? 或(2)? ?ab=2 ?ab=-2. ?a=2, ?a=-1, 由(1)解得? 或? 方程组(2)无解. ?b=1 ?b=-2, x y x y 故所求的直线方程为2+1=1 或 + =1, -1 -2 即 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0 为所求直线的方程. 答案 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0

三、解答题 9.(2014· 临沂月考)设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. 解 (1)当直线过原点时,该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 0,当然相等.∴a

=2,方程即为 3x+y=0. 当直线不过原点时,由截距存在且均不为 0, 得 a-2 =a-2,即 a+1=1, a+1

∴a=0,方程即为 x+y+2=0. 综上,l 的方程为 3x+y=0 或 x+y+2=0. (2)将 l 的方程化为 y=-(a+1)x+a-2, ?-?a+1?>0, ?-?a+1?=0, ∴? 或? ∴a≤-1. ?a-2≤0 ?a-2≤0. 综上可知 a 的取值范围是(-∞,-1]. 10.已知直线 l 过点 M(2,1),且分别与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A,B 两点,O 为原点,是否存在使△ABO 面积最小的直线 l?若存在,求出直线 l 的方程; 若不存在,请说明理由. 解 存在.理由如下:

1 ? ? 设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2)(k<0),则 A?2-k,0?,B(0,1-2k),△AOB ? ? 1? 1? 1 ? ? 1?? 1 的面积 S=2(1-2k)?2-k?=2?4+?-4k?+?- k??≥2(4+4)=4.当且仅当-4k ? ? ? ? ?? 1 1 1 =-k,即 k=-2时,等号成立,故直线 l 的方程为 y-1=-2(x-2),即 x +2y-4=0. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 1.(2014· 北京海淀一模)已知点 A(-1,0),B(cos α,sin α),且|AB|= 3,则直线 AB 的方程为( ).

A.y= 3x+ 3或 y=- 3x- 3 3 3 3 3 B.y= 3 x+ 3 或 y=- 3 x- 3 C.y=x+1 或 y=-x-1 D.y= 2x+ 2或 y=- 2x- 2 解析 1 |AB|= ?cos α+1?2+sin2α= 2+2cos α= 3,所以 cos α=2,sin α=

3 3 3 ± 2 ,所以 kAB=± 3 ,即直线 AB 的方程为 y=± 3 (x+1),所以直线 AB 的方

3 3 3 3 程为 y= 3 x+ 3 或 y=- 3 x- 3 . 答案 B

2.若直线 l:y=kx- 3与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则直线 l 的 倾斜角的取值范围是 ?π π? A.?6,3? ? ? ?π π? C.?3,2? ? ? 解析 ?π π? B.?6,2? ? ? ?π π? D.?6,2? ? ? ( ).

3 如图,直线 l:y=kx- 3,过定点 P(0,- 3),又 A(3,0),∴kPA= 3 ,则直 π ?π π? 线 PA 的倾斜角为6,满足条件的直线 l 的倾斜角的范围是?6,2?. ? ? 答案 B

二、填空题 3.已知直线 x+2y=2 分别与 x 轴、y 轴相交于 A,B 两点,若动点 P(a,b)在线 段 AB 上,则 ab 的最大值为________. 解析 x 直线方程可化为2+y=1,故直线与 x 轴的交点为 A(2,0),与 y 轴的交

点为 B(0,1),由动点 P(a,b)在线段 AB 上,可知 0≤b≤1,且 a+2b=2,从 1? 1 ? 而 a=2-2b,故 ab=(2-2b)b=-2b2+2b=-2?b-2?2+2,由于 0≤b≤1, ? ? 1 1 故当 b=2时,ab 取得最大值2. 答案 1 2

三、解答题

4.如图,射线 OA,OB 分别与 x 轴正半轴成 45° 和 30° 角,过点 P(1,0)作直线 AB 1 分别交 OA,OB 于 A,B 两点,当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y=2x 上时, 求直线 AB 的方程.



3 由题意可得 kOA=tan 45° =1,kOB=tan(180° -30° )=- 3 ,

3 所以直线 lOA:y=x,lOB:y=- 3 x, 设 A(m,m),B(- 3n,n), ?m- 3n m+n? 所以 AB 的中点 C? , 2 ?, ? 2 ? 1 由点 C 在 y=2x 上,且 A,P,B 三点共线得 m+n 1 m- 3n ? ? 2 =2· 2 , ?m-0 n-0 ? ?m-1=- 3n-1,

解得 m= 3,所以 A( 3, 3).

又 P(1,0),所以 kAB=kAP= 所以 lAB:y= 3+ 3 (x-1), 2

3+ 3 3 = 2 , 3-1

即直线 AB 的方程为(3+ 3)x-2y-3- 3=0.



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